优秀教案28方程的根与函数的零点.docx

第三章 函数的应用3.1 函数及方程3.1.1 方程的根及函数的零点(1) 教材分析本节内容是数学1第三章函数的应用 3.1函数及方程的起始课方程的根及函数的零点. 函数是中学数学的核心概念，核心的根本缘由之一在于函数及其他学问具有广泛的联络性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数及形,函数及方程有机的联络在一起.本节是函数应用的第一课，学生在系统地驾驭了函数的概念及性质，根本初等函数学问后，学习方程的根及函数零点之间的关系，并结合函数的图象和性质来推断方程的根的存在性及根的个数，从而驾驭函数在某个条件上存在零点的断定方法.为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习的算法供应了根底.因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要对函数及方程的关系有一个逐步相识的过程，教材遵循了由浅入深、按部就班的原则从学生认为较简洁的一元二次方程及相应的二次函数入手，由详细到一般，建立一元二次方程的根及相应的二次函数的零点的联络，然后将其推广到一般方程及相应的函数的情形.课时安排 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解函数的零点的概念及零点存在性的断定.教学目的重点: 函数的零点的概念及零点存在性的断定.难点：探究推断函数的零点的存在性.学问点：函数的零点的概念，函数的零点的存在性定理.实力点：化归及转化、数形结合、函数及方程的数学思想的运用.教化点：培育学生锲而不舍的探究精神和严密思索的良好学习习惯，使学生感受学习、探究发觉的乐趣及胜利感.自主探究点：函数的零点及方程的根的关系，函数的零点的存在性.考试点：求函数的零点、推断函数的零点个数和所在区间的方法.易错易混点：推断函数的零点的存在性以及零点的个数和所在区间.拓展点：体会函数及方程的数学思想.教具打算 多媒体课件和三角板课堂形式 学案导学一、引入新课师：通过第二章的学习，我们已经相识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质，而这一章我们就要运用函数思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简洁问题.为此，我们还要做一些根本的学问储藏.方程的根，我们在初中已经学习过了，而我们在初中探讨的“方程的根”只是侧重“数”的一面来探讨，那么，我们这节课就主要从“形”的角度去探讨“方程的根及函数的零点”的关系. 老师活动：板书标题（方程的根及函数的零点）.二、探究新知（一）方程的根及函数零点 师：（多媒体展示）问题1 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数的图象及轴的交点坐标.方程函数函数的图 象方程的实数根 无实数根函数图象及轴的交点(1,0)、(3,0) (1,0)无交点 问题2 若将上面特别的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象及x轴交点的关系，上述结论是否仍旧成立？判别式    方程的根 两个不相等的实数根两个相等的实数根没有实数根 函数的图象  函数的图象及 轴的交点   没有交点 学生活动：学生探讨探讨，得到方程的实数根应当是函数图象及轴交点的横坐标的结论.师总结：详细的二次函数及相应的二次方程的关系 一般的二次函数及相应的二次方程的关系 函数 的图象及 轴交点的横坐标，就是相应方程 的实数根.【设计意图】设置问题情境，让学生探究二次函数图象及 轴交点及方程的根的关系，体会从特别到一般的数学思想方法.师：(多媒体展示)思索1:对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点，那么函数的零点是一个点吗？思索2：函数有零点可等价于哪些说法？学生活动：比照定义，视察图象，思索作答.师总结：对于函数有零点，从“数”的角度理解，就是方程有实根，从“形”的角度理解，就是图象及轴有交点.从我们刚刚的探究过程中，我们知道，方程有实根和图象及轴有交点也是等价的关系.所以函数的零点事实上是方程有实根和图象及轴有交点的一个统一体.通过上面的探究，我们可以得到以下结论：1.函数的零点定义：对于函数, 使的实数 叫做函数的零点.2.等价关系方程有实数根函数的图象及轴有交点 函数有零点3.零点的求法 代数法 图象法师：下面就检验一下大家的实际应用实力. 老师活动：（多媒体展示）练习：求下列函数的零点.；学生活动：由四位同学分别答复他们确定零点的方法.画图象时要求用语言描绘4个图象的画法；老师活动：依据学生的描绘，在黑板上作出图象. 【设计意图】稳固所学学问，同时在接下来探究零点存在性定理时，图象会成为同学们思索问题的很好的参考.（二）函数零点存在性原理 师：(多媒体展示) 思索3:二次函数的零点是什么？函数的图象在零点旁边如何分布？探究: （）视察二次函数的图象：在区间(-2,1)上有零点_；_，_,·_（或）在区间(2,4)上有零点_；·_（或）（）视察下面函数的图象 在区间上_(有/无)零点；·_（或） 在区间上_(有/无)零点；·_（或） 在区间上_(有/无)零点；·_（或）学生活动：思索、探讨、答复.【设计意图】使学生应用数形结合进展答复.培育学生擅长思索的好习惯.师：我们看到，当函数图象穿过轴时，图象就及轴产生了交点，图象穿过轴这是一种几何现象，那么如何用代数形式来描绘呢？用屏幕显示的函数图象，屡次播放抛物线穿过轴的画面.学生活动：通过视察图象，得出函数零点的左右两侧函数值异号的结论.师：好！我们明确一下这个结论，函数具备什么条件时，能在区间上存在零点？学生活动：得出的结论.师：若,函数在区间上就存在零点吗？学生活动：可从黑板上的图象中受到启发，得出只有在上连绵不断的函数，在满意的条件时，才会存在零点的结论.师：其实同学们无形之中已经说出了我们数学中的一个重要定理，那就是零点存在性定理.这是我们本节课的第三个学问点.老师活动：用屏幕显示函数零点存在性定理：假如函数在区间上的图象是连绵不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间 内有零点即存在，使得，这个也就是方程的根.学生活动：朗读出定理.【设计意图】使学生通过对定理的记忆，进一步深化刚刚探究的结果.三、理解新知师：大家留意到了么，定理中，开场时是在闭区间上连续，结果推出时却是在开区间上存在零点.你怎样理解这种差异？学生活动：思索作答.师：虽然我们已经得到了零点存在性定理，但同学们真的那么坦然么？结合黑板上的图象，再结合定理的叙述形式，你对定理的内容可有疑问？学生活动：通过视察黑板上的板书图象，大致说出以下问题：1.若函数在区间上连续，且，则在区间内会是只有一个零点么2.若函数在区间上连续，且，则在区间内就肯定没有零点么？3.在什么条件下，函数在区间上可存在唯一零点？师：那我们就来解决一下这些问题.学生活动：通过黑板上的图象举出反例，得出结论.1.若函数在区间上连续，且，则只能确定在区间内有零点，有几个不肯定.2.若函数在区间上连续，且，则在区间内也可能有零点.3.在零点存在性定理的条件下，假如函数再具有单调性,函数在区间上可存在唯一零点.【设计意图】通过上面的探究，使学生真正明白零点存在性定理的内涵.四、运用新知（多媒体展示）例1、求函数的零点小结：求函数零点的步骤：（1）令；（2）解方程;（3）写出零点.学生活动：（变式练习）求下列函数的零点：（1）； （2） (3)【设计意图】进一步深化求函数的零点的代数方法，稳固根本学问.（多媒体展示）例2求函数的零点个数分析：（1）你可以想到什么方法来推断函数零点个数？（2）推断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？解：用计算器或计算机作出、的对应值表（表3-1）和图象（图3.13）123456789-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972由表3-1和图3.13可知，这说明函数在区间（2，3）内有零点.由于函数在定义域内是增函数，所以它仅有一个零点.学生活动：能给出这个函数是增函数的证明吗？师总结：（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它及函数的图象联络起来，并利用函数的性质找出零点【设计意图】引导学生探究推断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的相识学生活动：（课堂达标）完成下列各题： 1.函数的零点为(  ). (0,0),(4,0)       .0,4     . (4,0),(0,0),(4,0)     .4,0,42.已知函数是定义域为的奇函数，且在上有一个零点，则的零点个数为(   ) .        .      .       .不确定3.已知函数的图象是连绵不断的，有如下对应值表：1234567239-711-5-12-26那么函数在区间1，6上的零点至少有（   ）个   A.5个       B.4个        C.3个       D.2个4.函数的零点所在的大致区间为（    ） A.( 2 ，0) B. (1，2) C. (0，1) D. (0，0.5) 五、课堂小结1函数零点的定义2等价关系 3函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的推断 六、布置作业必做题：习题3.1  A组第2题；  选做题：已知求 取何值时能分别满意下列条件.有2个零点; 3个零点; 4个零点.七、教后反思 教学设计亮点：1、在本节课的教学中，充分发挥了学生自主探究、合作沟通、严密思索的实力. 通过化归及转化思想的引导，培育学生从已有认知构造动身，寻求解决麻烦问题方法的习惯；通过数形结合思想的浸透，培育学生主动应用数学思想的意识；通过习题及探究学问的相关性设置，引导学生深化探究得出推断函数的零点个数和所在区间的方法；通过对函数及方程思想的不断剖析，促进学生对学问敏捷应用的实力.2、本教案在设计上环环相扣，多处设伏，前后照应，便于学问的连接和串联、照应.课堂教学缺乏之处：由于本节课以学生探究发觉为主，时间上显得比拟惊慌，课堂上留给学生探究的时间还是少了些，造成少局部根底不好的学生没有发觉规律.八、板书设计 方程的根及函数的零点一、函数的零点1、定义2、方程有实数根函数的图象及轴有交点 函数有零点3、练习：求下列函数的零点.（ 四个函数图象）二函数零点存在性定理三、例题讲解例1例2四、课堂小结五、布置作业必做题：习题3.1  A组第2题选做题：已知求 取何值时能分别满意下列条件.有2个零点; 3个零点; 4个零点.