高中概率知识点考点易错点归纳.docx

高中数学第十一章-概率学问要点3.1随机事务的概率3.1.1 随机事务的概率1、必定事务：一般地，把在条件S下，肯定会发生的事务叫做相对于条件S的必定事务。2、不行能事务：把在条件S下，肯定不会发生的事务叫做相对于条件S的不行能事务。3、确定事务：必定事务和不行能事务统称相对于条件S确实定事务。4、随机事务：在条件S下可能发生也可能不发生的事务，叫相对于条件S的随机事务。5、频数：在一样条件S下重复n次试验，视察某一事务A是否出现，称n次试验中事务A出现的次数nA为事务A出现的频数。6、频率：事务A出现的比例。7、概率：随机事务A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.3.1.2 概率的意义1、概率的正确说明：随机事务在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性。相识了这种随机中的规律性，可以比拟精确地预料随机事务发生的可能性。2、嬉戏的公允性：抽签的公允性。3、决策中的概率思想：从多个可选答案中选择出正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则。极大似然法、小概率事务4、天气预报的概率说明：明天本地降水概率为70%说明是“明天本地下雨的时机是70%”。5、试验与发觉：孟德尔的豌豆试验。6、遗传机理中的统计规律。3.1.3 概率的根本性质1、事务的关系与运算（1）包含。对于事务A与事务B，假如事务A发生，则事务B肯定发生，称事务B包含事务A（或事务A包含于事务B），记作。不行能事务记作。（2）相等。若，则称事务A与事务B相等，记作A=B。（3）事务A与事务B的并事务（和事务）：某事务发生当且仅当事务A发生或事务B发生。（4）事务A与事务B的交事务（积事务）：某事务发生当且仅当事务A发生且事务B发生。（5）事务A与事务B互斥：为不行能事务，即，即事务A与事务B在任何一次试验中并不会同时发生。（6）事务A与事务B互为对立事务：为不行能事务，为必定事务，即事务A与事务B在任何一次试验中有且仅有一个发生。2、概率的几个根本性质（1）.（2）必定事务的概率为1.（3）不行能事务的概率为0. .（4）事务A与事务B互斥时，P(AB)=P(A)+P(B)概率的加法公式。（5）若事务B与事务A互为对立事务，则为必定事务，.3.2 古典概型3.2.1 古典概型1、根本领件：根本领件的特点：（1）任何两个事务是互斥的；（2）任何事务（除不行能事务）都可以表示成根本时间的和。2、古典概型：（1）试验中全部可能出现的根本领件只有有限个；（2）每个根本领件出现的可能性相等。具有这两个特点的概率模型称为古典概型。3、公式：3.2.2 （整数值）随机数的产生如何用计算器产生指定的两个整数之间的取整数值的随机数？书上例题。3.3 几何概型3.3.1 几何概型1、几何概型：每个事务发生的概率只有与构成该事务区域的长度（面积或体积）成比例的概率模型。2、几何概型中，事务A发生的概率计算公式：3.3.2 匀称随机数的产生常用的是上的匀称随机数，可以用计算器来产生01之间的匀称随机数。本章学问小结随机事务频率概率，概率的意义与性质应用概率解决实际问题古典概型几何概型随机数与随机模拟（1）在详细情境中，理解随机事务发生的不确定性和频率的稳定性，进一步理解概率的意义以及频率与概率的区分。（2）通过实例，理解两个互斥事务的概率加法公式。（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事务所含的根本领件数及事务发生的概率。（4）理解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进展模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（参见例3）。（5）通过阅读材料，理解人类相识随机现象的过程。重难点的归纳：重点：1、理解随机事务发生的不确定性和频率的稳定性，正确理解概率的意义2、理解古典概型及其概率计算公式3、关于几何概型的概率计算4、体会随机模拟中的统计思想：用样本估计总体难点：1、理解频率与概率的关系.2、设计和运用模拟方法近似计算概率3、把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题（二）高考概率概率考试内容：随机事务的概率等可能性事务的概率互斥事务有一个发生的概率互相独立事务同时发生的概率独立重复试验 考试要求：（1）理解随机事务的发生存在着规律性和随机事务概率的意义（2）理解等可能性事务的概率的意义，会用排列组合的根本公式计算一些等可能性事务的 概率。 （3）理解互斥事务、互相独立事务的意义，会用互斥事务的概率加法公式与互相独立事务的概率乘法公式计算一些事务的概率（4）会计算事务在 n 次独立重复试验中恰好发生次的概率以下归纳9个常见考点：解析概率与统计试题是高考的必考内容。它是以实际应用问题为载体，以排列组合和概率 统计等学问为工具，以考察对五个概率事务的推断识别及其概率的计算和随机变量概率分 布列性质及其应用为目的的中档师，预料这也是今后高考概率统计试题的考察特点和命题趋向。下面对其常见题型和考点进展解析。考点 1 考察等可能事务概率计算。在一次试验中可能出现的结果有n个，而且全部结果出现的可能性都相等。假如事务A包含的结果有m个，那么。这就是等可能事务的推断方法及其概率的计n算公式。高考常借助不同背景的材料考察等可能事务概率的计算方法以及分析和解决实际问题的实力。例 1（2019 天津）从4名男生和2名女生中任3人参与演讲竞赛.(I)求所选3人都是男生的概率；(II)求所选3人中恰有1名女生的概率；(III)求所选3人中至少有1名女生的概率.考点 2 考察互斥事务至少有一个发生与互相独立事务同时发生概率计算。不行能同时发生的两个事务A、B叫做互斥事务，它们至少有一个发生的事务为A+B，用概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)计算。事务A（或B）是否发生对事务B（或A）发生的概率没有影响，则A、B叫做互相独立事务，它们同时发生的事务为AB。用概率的乘法公式P(AB)=P(A)P(B)计算。高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事务的识别及其概率的综合计算实力进展考察。例 2.（2019 全国卷）设甲、乙、丙三台机器是否须要照看互相之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都须要照看的概率为0.05，甲、丙都须要照看的概率为0.1，乙、丙都须要照看的概率为0.125，（）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内须要照看的概率分别是多少；（）计算这个小时内至少有一台须要照看的概率。考点 3 考察对立事务概率计算。必有一个发生的两个互斥事务A、B叫做互为对立事务。用概率的减法公式P(A)=1-P(A)计算其概率。高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事务的推断识别及其概率计算进展考察。例 3(2019 福建卷文）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为。（）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；考点 4 考察独立重复试验概率计算。若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依靠其它各次试验的结果，则此试验叫做n次独立重复试验。若在1次试验中事务A发生的概率为 P，则在n次独立重复试验中，事务A恰好发生k次的概率为Pn(k)=。高考结合实际应用问题考察n次独立重复试验中某事务恰好发生k次的概率的计算方法 和化归转化、分类探讨等数学思想方法的应用。例 4（2019 湖北卷）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各运用灯泡一只，且型号一样。假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2。从运用之日起每满1年进展一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平常不换。（）在第一次灯泡更换工作中，求不须要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯须要更换灯泡的概率；（）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少须要更换4只灯泡的概率（结果保存两个有效数字）考点 5 考察随机变量概率分布与期望计算。解决此类问题时，首先应明确随机变量可能取哪些值，然后依据互相独立事务同时发生概率的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列，最终依据分布列和期望、方差公式去获解。以此考察离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率学问解决 实际问题的实力。例 5（2019 湖北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参与考试的时机，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参与以后的考试，否则就始终考到第4次为止。假如李明确定参与驾照考试，设他每次参与考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参与驾照考试次数的分布列和的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率。考点 6 考察随机变量概率分布列与其他学问点结合1、考察随机变量概率分布列与函数结合。例 6.（2019 湖南卷）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人巡游这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否巡游哪个景点互不影响，设表示客人分开该城市时巡游的景点数与没有巡游的景点数之差的肯定值。（）求的分布及数学期望；（）记“函数f(x)x23x1在区间2，)上单调递增”为事务A，求事务A的概率。2、考察随机变量概率分布列与数列结合。例 7 甲乙两人做射击嬉戏，甲乙两人射击击中与否是互相独立事务，规则如下：若射击一次击中，原射击者接着射击，若射击一次不中，就由对方接替射击。已知甲乙两人射击一次击中的概率均为7，且第一次由甲开场射击。（1）求前4次射击中，甲恰好射击3次的概率。（2）若第n次由甲射击的概率为，求数列的通项公式；求lim，并说明极n限值的实际意义。3、考察随机变量概率分布列与线形规划结合。例 8（2019 辽宁卷）某工厂消费甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果互相独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品。（）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求消费出的甲、乙产品为一等品的概P(甲)、P(乙)；（）已知一件产品的利润如表二所示，用、分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求、的分布列及E、E；（）已知消费一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元。设x、y分别表示消费甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，y为何值时，z=xE + yE x最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）考察随机变量概率分布列性质 性质应用 考点 7 考察随机变量概率分布列性质应用。离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.，高考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质的应用进展考察。例 9(2019 年全国高考题)某同学参与科普学问竞赛,需答复三个问题,竞赛规则规定：每题答复正确得100分，答复不正确得0分。假设这名同学每题答复正确的概率均为0.8,且各题答复正确与否互相之间没有影响.。求这名同学答复这三个问题的总得分的概率分布和数学期望；求这名同学总得分不为负分(即0)的概率。考点 8 样本抽样识别与计算。简洁随机抽样，系统抽样，分层抽样得共同特点是不放回抽样，且各个体被抽获得概率相等，均为(N为总体个体数，n为样本容量)。系统抽样、分层抽样的本质分别是等距抽样与按比例抽样，只需依据定义，适用范围和抽样步骤进展，就可得到符合条件的样本。高考常结合应用问题，考察构照抽样模型，识别图形，搜集数据，处理材料等探讨性学习的实力。例 11 （2019 年湖北湖北高考题）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参与某项调查，考虑选用简洁随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，运用简洁随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，270；运用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，270，并将整个编号依次分为10段.假如抽得号码有下列四种状况：7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； 11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A、都不能为系统抽样B、都不能为分层抽样C、都可能为系统抽样D、都可能为分层抽样考点 9 考察直方图。这是统计的学问，不是概率的吧？例 12.（2019 江西卷）为理解某校高三学生的视力状况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力状况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将局部数据丧失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a、b的值分别为（）A0,27,78 B0,27,83 C2.7,78 D2.7,83方法小结：解决概率问题时，肯定要依据有关概念，推断问题是否是等可能性事务、互斥事务、互相独立事务，还是某一事务在n次独立重复试验中恰好发生k次的状况，以便选择正确的计算方法，同时留意上述各类事务的综合问题，要全面考虑，特殊是近几年高考概率与期望的综合，表达了高考对概率学问要求的进一步进步。下面仅以几个例题作以小结。一、用排列组合求概率例1从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个三位数不能被3整除的概率为（）(A)19/54 (B)35/5 (C)38/54 (D)41/60分析：等可能事务的概率关键是利用排列组合出根本领件数。答案：B点评：本题将等可能事务与对立事务的概率，以及分类探讨综合在一起，表达了学问交汇点的命题精神，是高考的热点。二、互斥事务有一个发生的概率例2某厂消费A产品,每盒10只进展包装,每盒产品都须要检验合格后才能出厂,规定以下,从每盒10只中随意抽4只进展检验,假如次品数不超过1只,就认为合格,否则就认为不合格,已经知道某盒A产品中有2只次品 （1）求该盒产品被检验合格的概率 （2）若对该盒产品分别进展两次检验,求两次检验的结果不一样的概率 分析：对一个困难事务的概率可以分拆成几个互斥事务的概率或者转化为求其对立事务的概率。点评：求互相独立事务同时发生的概率，要保证两者确是“互相独立”事务。本例的“竞赛型”题，分析比拟简洁，只要结合有关竞赛规则即可解决，此类题也是高考的热点题。三、对立重复试验例3一位学生每天骑自行车上学,从他家到学校有5个交通岗,假设他在交通岗遇到红灯是互相独立的,且首末两个交通岗遇到红灯的概率均为p，其余3个交通岗遇到红灯的概率均为。(1) 若p=2/3，求该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率;(2) 若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过5/18，求p的取值范围。分析：首末两个交通岗遇红灯的概率一样，其余3个交通岗遇红灯的概率也一样，可看作独立重复试验。点评：要留意恰有k次发生和某指定的k次发生的差异。对独立重复试验来说，前者的概率为总结：概率初步的考题一般以（1）等可能事务；（2）互斥事务有一个发生；（3）互相独立事务同时发生；（4）独立重复试验为载体。有的考题可能综合多个概率题型；在等可能事务的概率计算中，关键有二：一是谁是一次试验（一次事务所含的根本领件的总数）；二是事务A所含根本领件数。当然，全部根本领件是等可能的是前提；擅长将困难的事务分解为互斥事务的和与独立事务的积是解题的关键。（三）高考数学概率中的易错题辨析一、概念理解不清致错例1抛掷一枚匀称的骰子，若事务A：“朝上一面为奇数”，事务B：“朝上一面的点数不超过3”，求P（A+B）错误会法1：事务A：朝上一面的点数是1，3，5；事务B：趄上一面的点数为1，2，3，P（A+B）=P（A）+P（B）=错因分析：事务A：朝上一面的点数是1，3，5；事务B：趄上一面的点数为1，2，3，很明显，事务A与事务B不是互斥事务。即P（A+B）P（A）+P（B），所以上解是错误的。事实上：正确解法为：A+B包含：朝上一面的点数为1，2，3，5四种状况P（A+B）=错误会法2：事务A：朝上一面的点数为1，3，5；事务B：朝上一面的点数为1，2，3，即以A、B事务中重复的点数1、3P（A+B）=P（A）+P（B）P（A·B）错因分析：A、B事务中重复点数为1、3，所以P（A·B）=；这种错误会法在于简洁地类比应用容斥原理致错正确解答：P（A+B）=P（A）+P（B）P（A·B）例2某人抛掷一枚匀称骰子，构造数列，使，记 求且的概率。错解：记事务A：，即前8项中，5项取值1，另3项取值1的概率记事务B：，将分为两种情形：（1）若第1、2项取值为1，则3，4项的取值随意（2）若第1项为1，第2项为1，则第3项必为1第四项随意P（B）=所求事务的概率为P=P（A）·P（B）=错因分析：且是同一事务的两个关联的条件，而不是两个互相独立事务。对的概率是有影响的，所以解容许为：正解： 前4项的取值分为两种情形若1、3项为1；则余下6项中3项为1，另3项为-1即可。即；若1、2项为正，为避开与第类重复，则第3项必为-1，则后5项中只须3项为1，余下2项为-1，即，所求事务的概率为二、有序与无序不分致错例3甲、乙两人参与普法学问竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，推断题4个，甲、乙依次各抽一题。求：（1）甲抽到选择题，乙提到推断题的概率是多少？（2）甲、乙两人中至少有1人抽到选择题的概率是多少？错误会法：（1）甲从选择题抽到一题的结果为乙从推断题中抽到一题的结果为而甲、乙依次抽到一题的结果为所求概率为：错因分析：甲、乙依次从10个题目各抽一题的结果，应当是先选后排，所以应为。为避开错误，对于根本领件总数也可这样做：甲抽取一道题目的结果应为种，乙再抽取余下的9道题中的任一道的结果应为种，所以正确解答：（2）错误会法：从对立事务考虑，甲、乙都抽到推断题的结果为种，所以都抽到推断题的概率为，所求事务的概率为错因分析：指定事务中指明甲、乙依次各抽一题，那么甲、乙都提到推断题的结果应为种，所以所求事务概率应为说明：对于第（2）问，我们也可以用这样解答：，这里启示我们，当根本领件是有序的，则指定事务是有序的（指定事务包含在根本领件中）；当根本领件是无序的，则指定事务也必无序。关键在于根本领件相识角度必需精确。例4已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支，求：A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率。错解：将8支球队均分为A、B两组，共有种方法：A、B两组中有一组恰有两支弱队的分法为：先从3支弱队取2支弱队，又从5支强队取2支强队，组成这一组共有种方法，其它球队分在另一组，只有一种分法。所求事务的概率为：。错因分析：从根本领件的结果数来看，分组是讲求依次的，那么指定事务：“A、B组中有一组有2支弱队”应分为两种情形。即“A组有”或“B组有”，所以正确解答为：正解：或说明：这道题也可从对立事务求解：3支弱队分法同一组共有：种结果。所求事务概率为三、分步与分类不清致错例5某人有5把不同的钥匙，逐把地试开某房门锁，试问他恰在第3次翻开房门的概率？错误会法：由于此人第一次开房门的概率为，若第一次未开，第2次能翻开房门的概率应为；所以此人第3次翻开房门的概率为。错因分析：此人第3次翻开房门实际是第1次未翻开，第2次未翻开，第3次翻开“这三个事务的积事务” ，或者理解为“开房门是经过未开、未开、开”这三个步骤，不能理解为此事务只有“开房门”这一个步骤，所以，正确解容许为：正解：第1次未翻开房门的概率为；第2次未开房门的概率为；第3次翻开房门的概率为，所求概率为：。例5某种射击竞赛的规则是：开场时在距目的100m处射击，若命中记3分，同时停顿射击。若第一次未命中，进展第二次射击，但目的已在150m远处，这时命中记2分，同时停顿射击；若第2次仍未命中，还可以进展第3次射击，此时目的已在200m远处。若第3次命中则记1分，同时停顿射击，若前3次都未命中，则记0分。已知身手甲在100m处击中目的的概率为，他命中目的的概率与目的的间隔 的平方成反比，且各次射击都是独立的。求：射手甲得k分的概率为Pk，求P3，P2，P1，P0的值。：设射手射击命中目的的概率P与目的间隔 之间的关系为，由已知 错误会法：错因分析：求P2时，将第150m处射击命中目的的概率作为第2次命中目的的概率，隔离了第1次射击与第2次射击的关系，事实上，第2次射击行为的发生是在第1次未击中的前提下才作出的。P2应为“第1次未击中，第2次击中”这两个事务的积事务的概率。求P1时也如此。正解：四、考虑不周致错例6某运发动射击一次所得环数的分布列如下：78910P0.20.20.20.2现进展两次射击，以该运发动两次射击中最高的环数作为他的成果记为，求：的分布列。错误会法：的取值为8，9，10。=7，两次环数为7,7；=8，两次成果为7，8或8，8；=9，两次成果7，9或8，9或9，9；=10，两次队数为7，10或8，10或9，10或10，10。（分布列略）错因分析：，即两次成果应为7，8或8，7或8，8实际为三种情形，两次环数分别为7,9（或9,7）；8,9（或9,8），9.9 同理例7将n个球等可能地放入到N（n×n）个有编号的盒子中（盒子中包容球的个数不限）。求A：某指定的n个盒子中恰有一球的概率。错误会法：将n个球等可能地放入到N个盒子中，共有Nn种方法。而指定的n个盆中各有一球的放法有：n!种，则所求概率：错因分析：这种解法不全面，假如球是有编号的，则答案是对的。若球是不行分辨的，则答案错了，若球是不行分辨的，则若考虑盒子中球的个数而不考虑放的是哪几个球，为此，我们用“”表示一个盒子；用“”表示一个球，先将盒子按编号12345n把n个球放入N中盒子中，形如：101001110001，正好看作N+1个“1”和n个“0”的全排列。由于两边必为“1”所以排法只有种；而指定的n个盒子中恰有一球的放法只有1种，故五、混淆“互斥”与“独立”出错例8甲投篮命中概率为0.8，乙投篮命中概率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？错解：设“甲恰好投中2次”为事务A，“乙恰好投中2次”为事务B，则两人恰好投中2次为A+B。所以P（A+B）=P（A）+P（B）=。错因分析：本题解答错误的缘由是把互相独立同时发生的事务当成互斥事务来考虑。将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中2次”与“乙恰好投中2次”的和。正解：设“甲恰好投中2次”为事务A，“乙恰好投中2次”为事务B，则两人恰好都投中2次为AB。所以P（AB）=P（A）×P（B）=六.混淆有放回与不放回致错例9某产品有3只次品，7只正品，每次取1只测试，取后不放回，求：（1）恰好到第5次3只次品全部被测出的概率；（2）恰好到第k次3只次品全部被测出的概率的最大值和最小值。错解：（1）P（A）=（2）。错因分析：错解（1）的错误的缘由在于无视了“不放回摸球”问题的每一次摸球是不独立的；而错解（2）的错误的缘由则在于无视了“不放回摸球”问题的每一次摸球袋内球的总数是变的（比前一次少一个）。正解：（1）（2）当时，；当时，。