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圆学问点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的间隔 等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的间隔 大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的间隔 小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的间隔 等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端间隔 相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边间隔 相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的间隔 相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的间隔 等于定长的两条直线； 5、到两条平行线间隔 相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线间隔 都相等的一条直线。二、点及圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内；2、点在圆上 点在圆上；3、点在圆外 点在圆外；三、直线及圆的位置关系1、直线及圆相离 无交点；2、直线及圆相切 有一个交点；3、直线及圆相交 有两个交点；四、圆及圆的位置关系外离（图1） 无交点 ；外切（图2） 有一个交点 ；相交（图3） 有两个交点 ；内切（图4） 有一个交点 ；内含（图5） 无交点 ； 五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： 是直径 弧弧 弧弧中随意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在中， 弧弧六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：； 弧弧七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角 2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在中，、都是所对的圆周角 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在中，是直径 或 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在中， 四边形是内接四边形 九、切线的性质及断定定理（1）切线的断定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不行 即：且过半径外端 是的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推肯定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个。十、切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线 平分十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在中，弦、相交于点， （2）推论：假如弦及直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在中，直径， （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线及圆交点的两条线段长的比例中项。即：在中，是切线，是割线 （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线及圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在中，、是割线 十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。即：、相交于、两点 垂直平分十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：中，；（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进展：；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进展，；（3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进展，.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积2、圆柱： （1）圆柱侧面绽开图 =（2）圆柱的体积：（2）圆锥侧面绽开图（1）=（2）圆锥的体积：十六、学问框图： 【典型例题】 例1. 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人须要跑到离爆破点120m以外的平安区域。这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否平安？ 分析：爆破时的平安区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示： 解： 点导火索的人特别平安例2. 已知梯形ABCD内接于O，ABCD，O的半径为4，AB6，CD2，求梯形ABCD的面积。 分析：要求梯形面积必需先求梯形的高，即弦AB、CD间间隔 ，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理，故作OECD于E，延长EO交AB于F，证OFAB。 此题简单出现丢解的状况，要留意分状况探讨。 解：分两种状况探讨： （1）当弦AB、CD分别在圆心O的两侧时，如图（1）： 过O作OECD于E，延长EO交AB于F 连OC、OB，则CEDE ABCD，OECD OFAB，即EF为梯形ABCD的高 在RtOEC中，EC1，OC4 （2）当弦AB、CD在圆心O的同侧时，如图（2）： 过O作OECD于E，交AB于F 以下证法同（1），略。 圆练习一、填空题1、已知O1和O2的半径分别为2和3，两圆相交于点A、B，且AB2，则O1O2_ 2、已知四边形ABCD是O的外切等腰梯形，其周长为20，则梯形的中位线长为_3、如图，在ABC中，ABAC，C72°，O过A、B两点，且及BC切于点B，及AC交于D，连结BD，若BC1，则AC_4、用铁皮制造一个圆柱形的油桶，上面有盖，它的高为80厘米，底面圆的直径为50厘米，那么这个油桶须要铁皮（不计接缝）      厘米2（不取近似值）5、已知两圆的半径分别为3和7，圆心距为5，则这两个圆的公切线有_条6、如图，以AB为直径的O及直线CD相切于点E，且ACCD，BDCD，AC8 cm，BD2 cm，则四边形ACDB的面积为_7、如图，PA、PB、DE分别切O于A、B、C，O的半径长为6 cm，PO10 cm，则PDE的周长是_图中知，CMR8，MDR8，8、一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，则此正方形及正六边形的面积之比为_9、如图，已知PA及圆相切于点A，过点P的割线及弦AC交于点B，及圆相交于点D、E，且PAPBBC，又PD4，DE21，则AB_二、选择题10、有4个命题：直径相等的两个圆是等圆；长度相等的两条弧是等弧；圆中最大的弧是过圆心的弧；一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不行能是等弧其中真命题是（    ）（A）   （B）   （C）   （D）11、如图，点I为ABC的内心，点O为ABC的外心，O140°，则I为（   ）（A）140°   （B）125°   （C）130°    （D）110°12、假如正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为（    ）（A）4         （B）5        （C）6        （D）7 13、如图，AB是O的弦，点C是弦AB上一点，且BCCA21，连结OC并延长交O于D，又DC2厘米，OC3厘米，则圆心O到AB的间隔 为（    ）（A）厘米     （B）厘米     （C）2厘米     （D）3厘米14、等边三角形的周长为18，则它的内切圆半径是（    ）（A）6    （B）3     （C）     （D）15、如图，O的弦AB、CD相交于点P，PA4厘米，PB3厘米，PC6厘米，EA切O于点A，AE及CD的延长线交于点E，AE2厘米，则PE的长为（    ）（A）4厘米    （B）3厘米    （C）厘米    （D）厘米16、一个扇形的弧长为20p 厘米，面积是240p 厘米2，则扇形的圆心角是（    ）（A）120°    （B）150°    （C）210°    （D）240°17、两圆半径之比为23，当两圆内切时，圆心距是4厘米，当两圆外切时，圆心距为（    ）（A）5厘米    （B）11厘米    （C）14厘米    （D）20厘米18、一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面绽开图的圆周角是（    ）（A）60°    （B）90°    （C）120°    （D）180°19、如图，等腰直角三角形AOB的面积为S1，以点O为圆心，OA为半径的弧及以AB为直径的半圆围成的图形的面积为S2，则S1及S2的关系是（    ）（A）S1S2    （B）S1S2    （C）S1S2    （D）S1S2 三、解答题20、如图，在ABCD中，AB4，AD2，BDAD，以BD为直径的O交AB于E，交CD于F，则ABCD被O截得的阴影局部的面积为_21、如图，ABC内接于O，AB的延长线及过C点的切线GC相交于点D，BE及AC相交于点F，且CBCE，求证：（1）BEDG；（2）CB2CF2BF·FE22、如图，O表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，且MBMA14，求工件半径的长23、已知：如图（1），O1及O2相交于A、B两点，经过A点的直线分别交O1、O2于C、D两点（C、D不及B重合），连结BD，过点C作BD的平行线交O1于点E，连BE（1）求证：BE是O2的切线；（2）如图（2）若两圆圆心在公共弦AB的同侧，其他条件不变，推断BE和O2的位置关系（不要求证明）      24、如图，已知CP为O的直径，AC切O于点C，AB切O于点D，并及CP的延长线相交于点B，又BD2 BP求证：（1）PC3 PB；（2）ACPC圆参考答案一、填空题1、当两圆在AB的两侧时，设O1O2交AB于C，则O1O2AB，且ACBC，  AC1在RtAO2C中，O2C2；在RtAO1C中，O1C  O1O22当两圆在AB的同侧时，同理可求O1O22 【答案】2±2、圆外切四边形的两组对边之和相等，则上、下底之和为10，故中位线长为5【答案】53、在ABC中，ABAC，则  ABCACB72°，  BAC36°又  BC切O于B，  ADBC36°  BDC72°  ABD72°36°36°  ADBDBC易证CBDCAB，  BC 2CD·CA  ADBDBC，  CDACADACBC  BC2（ACBC）·CA解关于AC的方程，得ACBC  AC·（1）2【答案】24、铁皮的面积即圆柱的侧面积及两底的面积的和底面圆面积为p·502625p（厘米2），底面圆周长为p×5050p（厘米），则铁皮的面积为2×625p80×50p5250p（厘米2）【答案】5250p厘米25、  73573，  两圆相交，  外公切线有2条，内公切线有0条【答案】26、设AC交O于F，连结BF  AB为O的直径，  AFB90°连结OE，则OECD，  ACOEBD  点O为AB的中点，  E为CD的中点  OE（BDAC）（82）5（cm）  AB2×510（cm）在RtBFA中，AFCABD826（cm），AB10 cm，  BF8（cm）  四边形ACDB的面积为（28）·840（cm2）【答案】40 cm27、连结OA，则OAAP在RtPOA中，PA8（cm）由切线长定理，得EAEC，CDBD，PAPB，  PDE的周长为PEDEPDPEECDCPD，PEEAPDDBPAPB16（cm）【答案】16 cm8、设两正多边形的外接圆半径为R，则正方形面积为4×·R22 R2，正六边形的面积为6×R2R2，所以它们的比为2 R2：R249【答案】499、由切割线定理，得  PA2PD·PE  PA10  PBBC10  PEPDDE25，  BE251015  DB21156由相交弦定理，得  AB·BCBE·BD  AB·1015×6  AB9【答案】9二、选择题10、长度相等的两弧不肯定是等弧，故不对；当弦是直径时，直径把圆分为两个半圆，它们是等弧，故不对【答案】A 11、因点O为ABC的外心，则BOC、A分别是所对的圆心角、圆周角，所以O2A，故A×140°70°又因为I为ABC的内心，所以I90°A90°×70°125°【答案】B12、正多边形的外角等于它的中心角，所以60°，故n6【答案】C13、延长DO交O于E，过点O作OFAB于F，则CE8厘米由相交弦定理，得DC·CEAC·CB，所以AC·2 AC2×8，故AC2（厘米），从而BC4厘米由垂径定理，得AFFB（24）3（厘米）所以CF32（厘米）在RtCOF中，          OF（厘米）【答案】C14、等边三角形的边长为6，则它的面积为×629又因为三角形的面积等于内切圆的半径及三角形的周长的积的一半，所以9r·18（r为内切圆半径）解此方程，得r【答案】C15、由相交弦定理，得PA·PBPD·PC  4×3PD·6  PD2（厘米）由切割线定理，得   AE2ED·EC （2）2ED ·（ED26）解此方程得ED2或ED10（舍去）  PE224（厘米）【答案】A16、设扇形的圆心角为n度，半径为R，则解方程组得【答案】B17、设两圆半径分别为2 x、3 x厘米，则内切时有3 x2 x4，所以x4于是两圆半径分别为8厘米、12厘米故外切时圆心距为20厘米【答案】D18、设圆锥的母线长为a，圆心角度数为n，底面圆的半径为r，则解此方程组，得  n180【答案】D19、设OAa，则S1a2，弓形ACB的面积pa2a2在RtAOB中，ABa，则以AB为直径的半圆面积为·p·（）2p·（a）2pa2则S2pa2（pa2a2）a2【答案】C三、简答题20、连结OE、DE  ADBD，且AB4，AD2，  DBA30°，且BD6  BD为直径，  DEB90°  DEBD·sin 30°6×3，BE6×3  SDEB×3×3  O为BD的中点，  SBOESDEB  DOBD3，DOE2×30°60°，  S阴影2（SADBS扇形DOESEOB）2（×2×6p·32）3p【答案】21、【略证】（1）  CG为O的切线，  EBCGCE  CBCE，    EBCE  EGCE  GCEB（2）  EBCEA，FCBO为公共角，  CBFCAB  CB2CF·CACF·（CFAF）CF2CF·AF由相交弦定理，得  CF·FABF·FE，  CB2CF2BF·FE即  CB2CF2BF·FE22、把OM向两方延长，分别交O于C、D两点设O的半径为R从图中知，AB15 cm又  MBMA14，  MB×153（cm），MA12 cm从图中知，CMR8，MDR8，由相交弦定理，得  AM·BMCM·MD  12×3（R8）（R8）解此方程，得  R10或R10（舍去）故工件的半径长为10 cm23、【证明】（1）连结AB，作O2的直径BH，连结AH则  ABHH90°，HADB，EBAECA  ECBD，  ADBACEEBA  EBAABH90°即  EBH90°  BE是O2的切线（2）同理可知，BE仍是O2的切线24、（1）  BD是O的切线，BPC是O的割线，  BD2BP·BC  BD2 BP，  4 BD2BP·BC  4 BPBC  BCBPPC，  4 BPBPPC  PC3 BP（2）连结DO  AB切O于点D，AC切O于点C，  ODBACB90°  BB，  ODBACB    AC2 DO  PC2 DO  ACPC25、（1）【略证】连结OD  OA是半圆的直径，  ADO90°  AE切O于点D（2）【略解】  AC、AD的长是关于x的方程x2kx40的两个根，且AC2，AC·AD2，  AD4  AD是O的切线，ACB为割线，  AD2AC·AB又  AD2，AC2，  AB10则BC8，OB4  BEAB，  BE切O于B又  AE切O于点D，  EDEB在RtABE中，设BEx，由勾股定理，得（x2）2x2102解此方程，得  x4即BE的长为4（3）连结BD，有CDB90°  AD切O于D，  ADCABD，且tan ADCtan ABD在ADC和ABD中，AA，ADCABD，  ADCABD    tan ADC