高中直线与方程知识点解析及经典例题1.docx
高中数学必修2学问点直线与方程一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特殊地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°180°（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与x轴的倾斜程度。当时，； 当时，； 当时，不存在。过两点的直线的斜率公式： 留意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的依次无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标干脆求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。xyoa1a2l1l2例.如右图，直线l1的倾斜角a=30°，直线l1l2，求直线l1和l2的斜率.解：k130°= l1l2 k1·k2 =1k2 =例：直线的倾斜角是( )A.120° B.150° C.60° D.30°（3）直线方程点斜式：直线斜率k，且过点留意：当直线的斜率为0°时，0，直线的方程是1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是1。斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：（）即不包含于平行于x轴或y直线两点轴的直线，直线两点，当写成的形式时，方程可以表示任何一条直线。截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。对于平行于坐标轴或者过原点的方程不能用截距式。一般式：（A，B不全为0）留意：各式的适用范围 特殊的方程如：平行于x轴的直线：（b为常数）； 平行于y轴的直线：（a为常数）；例题：依据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是，经过点A(8，2)； .(2)经过点B(4,2)，平行于x轴； .(3)在轴和轴上的截距分别是； .4)经过两点P1(3，2)、P2(5，4)； .例1：直线的方程为0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ）A0，B>0B0，B>0，A>0 C0，<0 D0，>0例2：直线的方程为0，若A、B、C满意.>0且<0，则l直线不经的象限是（ ） A第一 B第二 C第三 D第四 （4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）（二）过定点的直线系（）斜率为k的直线系：，直线过定点；（）过两条直线，的交点的直线系方程为（为参数），其中直线不在直线系中。（三）垂直直线系垂直于已知直线（是不全为0的常数）的直线系： 例1：直线l：(21)(1)y7m4=0所经过的定点为 。(mR)（5）两直线平行与垂直当，时，（1）；（2）留意：利用斜率推断直线的平行与垂直时，要留意斜率的存在与否。（3）与重合；（4）与相交。另外一种形式：一般的，当， 与时，（1），或者。（2）。（3）与重合0。（4）与相交。例.设直线 l1经过点A(m，1)、B(3，4)，直线 l2经过点C(1，m)、D(1，1)， 当(1) l1/ / l2 (2) l1l1时分别求出m的值例1.已知两直线l1： (1) y =2m和l2：2416=0，m为何值时l1与l2相交平行例2. 已知两直线l1：(32) (14a) y +8=0和l2：(5a2)(4)y7=0垂直，求a值（6）两条直线的交点 相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解 ； 方程组有多数解与重合例3.求两条垂直直线l1：2 y +2=0和l2： 4y2=0的交点坐标例4. 已知直线l的方程为，(1)求过点（2，3）且垂直于l的直线方程；(2)求过点（2，3）且平行于l的直线方程。例2：求满意下列条件的直线方程(1) 经过点P(2，3)及两条直线l1： 3y4=0和l2：521=0的交点Q；(2) 经过两条直线l1： 28=0和l2：x21=0的交点且与直线4x3y7=0平行；(3) 经过两条直线l1： 2x310=0和l2：34y2=0的交点且与直线3x24=0垂直；（7）两点间间隔 公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则 （8）点到直线间隔 公式：一点到直线的间隔 （9）两平行直线间隔 公式在任始终线上任取一点，再转化为点到直线的间隔 进展求解。对于 来说：。例1：求平行线l1：3 4y 12=0与l2： 811=0之间的间隔 。例2：已知平行线l1：32y 6=0与l2： 64y3=0，求与它们间隔 相等的平行线方程。 (10) 对称问题1) 中心对称 A、若点及关于对称，则由中点坐标公式得 B、直线关于点的对称，主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们对于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用，由点斜式得出所求直线的方程。2) 轴对称 A、点关于直线的对称： 若与关于直线对称，则线段的中点在对称轴上，而且连结的直线垂直于对称轴，由方程组可得到点关于对称的点的坐标（其中。 B、直线关于直线的对称：此类问题一般转化为关于直线对称的点来解决，若已知直线与对称轴相交，则交点必在与对称的直线上，然后再求出上任一个已知点关于对称轴对称的点，那么经过交点及点的直线就是；若已知直线与对称轴平行，则与对称的直线和到直线的间隔 相等，由平行直线系和两条平行线间的间隔 ，即可求出的对称直线。例1：已知直线l：2x31=0和点P(1，2). (1) 分别求：点P(1，2)关于x轴、y轴、直线、原点O的对称点Q坐标(2) 分别求：直线l：2x31=0关于x轴、y轴、直线、原点O的对称的直线方程.(3) 求直线l关于点P(1，2)对称的直线方程。(4) 求P(1，2)关于直线l轴对称的直线方程。例2：点P(1，2)关于直线l： 2=0的对称点的坐标为 。11. 中点坐标公式：已知两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)，则线段的中点M坐标为(，)例. 已知点A(7，4)、B(5,6),求线段的垂直平分线的方程直线方程练习题1过点且平行于直线的直线方程为2若直线2=0和231=0相互垂直，则3、直线235=0关于直线对称的直线方程为4、与直线236=0关于点(11)对称的直线是5、过点P(41)且与直线346=0垂直的直线方程是6. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程7两直线23y0和x12=0的交点在y轴上，则k的值是8、两平行直线的间隔 是9、已知三角形的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是边上的中点。（1）求边所在的直线方程；（2）求中线的长（3）求边的高所在直线方程。10. 直线与直线没有公共点，务实数m的值。11求经过两条直线和的交点，且分别与直线（1）平行，（2）垂直的直线方程。12、过点（，）的直线被两平行直线：与：所截线段的中点恰在直线上，求直线的方程
