学高中数学第三章函数的应用函数模型的应用实例练习新人教A版讲义.docx
3.2.2函数模型的应用实例一、A组1.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是()A.甲比乙先动身B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度一样D.甲先到达终点解析:由题图知甲所用时间短,则甲先到达终点.答案:D2.用长度为24 m的材料围成一个矩形场地,并且中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为()A.3 mB.4 mC.5 mD.6 m解析:设隔墙长为x m,则矩形场地长为=(12-2x)m.所以矩形面积为S=x(12-2x)=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,即当x=3 m时,矩形面积最大.答案:A3.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y,则x,y之间的函数关系式为()A.y=0.957 B.y=0.957 6100xC.y=D.y=1-0.04解析:特别值法,取x=100代入选项,只有A正确.答案:A4.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,改变状况是()A.上升7.84%B.降低7.84%C.降低9.5%D.不增不减解析:设该商品原价为a,四年后的价格为a(1+0.2)2·(1-0.2)2=0.921 6a.所以(1-0.921 6)a=0.078 4a=7.84%a,即比原来降低7.84%.答案:B5.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小,刚放进的新丸的体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt.已知新丸经过50天后,体积变为a.若一个新丸体积变为a,则需经过的天数为()A.125B.100C.75D.50解析:由已知得a=a·e-50k,即e-50k=.a=·a=(e-50k·a=e-75k·a,t=75.答案:C6.“学习曲线”可以用来描绘学习某一任务的速度,假设函数t=-144lg中,t表示到达某一英文打字程度所需的学习时间,N表示每分钟打出的字数.若N=40,则t.(已知lg 20.301,lg 30.477). 解析:当N=40时,则t=-144lg=-144lg=-144(lg 5-2lg 3)=-144(1-lg 2-2lg 3)36.72.答案:36.727.某汽车在同一时间内速度v(单位:km/h)与耗油量Q(单位:L)之间有近似的函数关系Q=0.002 5v2-0.175v+4.27,则车速为 km/h时,汽车的耗油量最少. 解析:Q=0.002 5v2-0.175v+4.27=0.002 5(v2-70v)+4.27=0.002 5(v-35)2-352+4.27=0.002 5(v-35)2+1.207 5.故v=35 km/h时,耗油量最少.答案:358.导学号29900137一个水池有2个进水口,1个出水口.2个进水口的进水速度分别如图甲、乙所示,出水口的排水速度如图丙所示.某天0时到6时,该水池的蓄水量如图丁所示.给出以下3个论断:0时到3时只进水不出水;3时到4时不进水只出水;4时到6时不进水不出水.其中,肯定正确的论断序号是. 解析:从0时到3时,2个进水口的进水量为9,故正确;由排水速度知正确;4时到6时可以是不进水,不出水,也可以是开1个进水口(速度快的)、1个排水口,故不正确.答案:9.如图所示,已知边长为8 m的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4 m,CD=6 m.为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM,使点P在边DE上.(1)设MP=x m,PN=y m,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;(2)求矩形BNPM面积的最大值.解:(1)如图所示,延长NP交AF于点Q,所以PQ=8-y,EQ=x-4.在EDF中,所以.所以y=-x+10,定义域为4,8.(2)设矩形BNPM的面积为S,则S=xy=x=-(x-10)2+50.又x4,8,所以当x=8时,S取最大值48.所以当MP=8 m时,矩形BNPM的面积获得最大值,且为48 m2.10.导学号29900138(2016·河北正定中学高一月考)经市场调查,某门市部的一种小商品在过去的20天内的日销售量(单位:件)与价格(单位:元)均为时间t(单位:天)的函数,且日销售量近似满意函数g(t)=80-2t,而且销售价格近似满意于f(t)=(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0t20)的函数表达式;(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.解:(1)由已知得y=f(t)·g(t)=(2)由(1)知,当0t10时,y=-t2+10t+1 200=-(t-5)2+1 225.该函数在区间0,5上递增,在区间(5,10上递减,则ymax=1 225(当t=5时获得),ymin=1 200(当t=0或t=10时获得).当10<t20时,y=t2-90t+2 000=(t-45)2-25.该函数在区间(10,20上递减,则y<2 000-800=1 200,ymin=600(当t=20时获得).由知,ymax=1 225(当t=5时获得),ymin=600(当t=20时获得).二、B组1.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特别动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们开展到()A.300只B.400只C.600只D.700只解析:将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1),解得a=100,所以当x=7时,y=100log2(7+1)=300.答案:A2.某工厂消费某产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨的价格为每吨Q元,已知P=1 000+5x+x2,Q=a+,若消费出的产品能全部卖出,且当产量为150吨时利润最大,此时每吨的价格为40元,则有()A.a=45,b=-30B.a=30,b=-45C.a=-30,b=45D.a=-45,b=-30解析:设消费x吨产品全部卖出所获利润为y元,则y=xQ-P=x=x2+(a-5)x-1 000,其中x(0,+).由题意知当x=150时,y取最大值,此时Q=40.整理得解得答案:A3.导学号29900139如图,点P在边长为1的正方形边上运动,设M是CD的中点,则当P沿A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与APM的面积y之间的函数y=f(x)的图象大致是()解析:依题意,当0<x1时,SAPM=×1×x=x;当1<x2时,SAPM=S梯形ABCM-SABP-SPCM=×1-×1×(x-1)-×(2-x)=-x+;当2<x时,SAPM=S梯形ABCM-S梯形ABCP=×1-×(1+x-2)×1=x+=-x+.y=f(x)=再结合题图知应选A.答案:A4.已测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1.若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则选用作为拟合模型较好. 解析:对于甲:当x=3时,y=32+1=10,对于乙:当x=3时,y=8,因此用甲作为拟合模型较好.答案:甲5.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少须要清洗的次数是.(lg 20.301 0) 解析:设至少要洗x次,则,x3.322,所以致少须要洗4次.答案:46.某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过局部按每千米2.15元收费;超过8 km时,超过局部按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶的路程为km. 解析:设乘客每次乘坐出租车需付费用为f(x)元,由题意可得,f(x)=令f(x)=22.6,明显9+5×2.15+(x-8)×2.85=22.6(x>8),解得x=9.答案:97.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率R与管道半径r的四次方成正比.(1)写出函数解析式;(2)假设气体在半径为3 cm的管道中,流量速率为400 cm3/s.求该气体通过半径为r cm的管道时,其流量速率R的表达式;(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm,计算该气体的流量速率.(准确到1)解:(1)由题意,得R=kr4(k是大于0的常数).(2)由r=3 cm,R=400 cm3/s,得k·34=400,k=,故速率R的表达式为R=·r4.(3)R=·r4,当r=5 cm时,R=×543 086(cm3/s).8.导学号29900140下表是某款车的车速与刹车后的停车间隔 ,试分别就y=a·ekx,y=axn,y=ax2+bx+c三种函数关系建立数学模型,并讨论最佳模拟,依据最佳模拟求车速为120 km/h时的刹车间隔 .车速/(km/h)1015304050停车间隔 /m47121825车速/(km/h)60708090100停车间隔 /m3443546680解:若以y=a·ekx为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得解得y=2.422 8e0.050 136x.以此函数式计算车速度为90 km/h,100 km/h时,停车间隔 分别约为220.8 m,364.5 m,与实际数据相比,误差较大.若以y=a·xn为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得解得y=0.328 9x1.085.以此函数关系计算车速度为90 km/h,100 km/h时,停车间隔 分别约为43.39 m,48.65 m,与实际状况误差也较大.若以y=ax2+bx+c为模拟函数,将(10,4),(40,18),(60,34)代入函数式,得解得y=x2+x+2.以此函数解析式计算车速为90 km/h,100 km/h时,停车间隔 分别为68 m,82 m,与前两个相比,它较符合实际状况.当x=120时,y=114 m.故当车速为120 km/h时,停车间隔 为114 m.
