高等数学上册教案.docx

高等数学教案一、课程性质与任务高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业一门重要根底理论课，通过本课程学习，也是该专业核心课程。要使学生获得“向量代数与“空间解析几何，“微积分，“常微分方程与无穷级数等方面根本概论、根本理论与根本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生抽象概括实力、逻辑推理实力、空间想象实力和自学实力。在传授学问同时，要着眼于进步学生数学素养，培育学生用数学方法去解决实际问题意识、爱好和实力。第一章：函数与极限教学目与要求 18学时 1.解函数概念，驾驭函数表示方法，并会建立简洁应用问题中函数关系式。2.解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性。3.理解复合函数及分段函数概念，理解反函数及隐函数概念。4.驾驭根本初等函数性质及其图形。5.理解极限概念，理解函数左极限与右极限概念，以及极限存在与左、右极限之间关系。6.驾驭极限性质及四那么运算法那么。7.理解极限存在两个准那么，并会利用它们求极限，驾驭利用两个重要极限求极限方法。8.理解无穷小、无穷也许念，驾驭无穷小比较方法，会用等价无穷小求极限。9.理解函数连续性概念含左连续与右连续，会判别函数连续点类型。10.理解连续函数性质和初等函数连续性，理解闭区间上连续函数性质有界性、最大值和最小值定理、介值定理，并会应用这些性质。第一节：映射与函数一、集合1、 集合概念具有某种特定性质事物总体叫做集合。组成这个集合事物称为该集合元素表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中元素1)2)元素与集合关系： 一个集合，假设它只含有有限个元素，那么称为有限集；不是有限集集合称为无限集。常见数集：N，Z，Q，R，N+元素与集合关系： A、B是两个集合，假如集合A元素都是集合B元素，那么称A是B子集，记作。假如集合A与集合B互为子集，那么称A与B相等，记作假设作且那么称A是B真子集。空集： 2、 集合运算并集 ：交集 ： 差集 ：全集I 、E 补集： 集合并、交、余运算满意以下法那么：交换律、 结合律、 安排律 对偶律 ( 笛卡儿积A×B3、 区间和邻域开区间 闭区间 半开半闭区间 有限、无限区间邻域： a 邻域中心 邻域半径 去心邻域 左、右邻域二、映射1. 映射概念定义 设X，Y是两个非空集合，假如存在一个法那么，使得对X中每一个元素，按法那么，在Y中有唯一确定元素与之对应，那么称为从X到Y映射，记作 其中 称为元素像，并记作，即 留意：1集合X；集合Y；对应法那么 2每个X有唯一像；每个Y原像不唯一 3) 单射、满射、双射2、 映射、复合映射三、函数1、 函数概念：定义：设数集，那么称映射为定义在D上函数 记为 自变量、因变量、定义域、值域、函数值用、 函数相等：定义域、对应法那么相等 自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝. 例：) 2) 3) 符号函数4) 取整函数 阶梯曲线5) 分段函数 2、 函数几种特性1） 函数有界性 (上界、下界；有界、无界)有界充要条件：既有上界又有下界。注：不同函数、不同定义域，有界性改变。 2) 函数单调性 单增、单减在x1、x2点比较函数值 与大小注：与区间有关3) 函数奇偶性(定义域对称、与关系确定) 图形特点 (关于原点、Y轴对称) 4)函数周期性(定义域中成立：)3、 反函数与复合函数 反函数：函数是单射，那么有逆映射，称此映射为函数反函数函数与反函数图像关于对称 复合函数：函数定义域为D1，函数在D上有定义、且。那么为复合函数。(留意：构成条件)4、 函数运算 和、差、积、商(注：只有定义域一样函数才能运算)5、 初等函数：1) 幂函数： 2)指数函数： 3) 对数函数 4)三角函数 5) 反三角函数， 以上五种函数为根本初等函数 6) 双曲函数 注：双曲函数单调性、奇偶性。双曲函数公式反双曲函数：作业： 同步练习册练习一第二节：数列极限一、数列 数列就是由数组成序列。 1这个序列中每个数都编了号。2序列中有无限多个成员。一般写成：缩写为例 1 数列是这样一个数列，其中 ，也可写为：可发觉：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为1、 极限定义：那么称数列极限为，记成 也可等价表述：1 2极限是数列中数改变总趋势，因此与数列中某个、前几个值没有关系。二、收敛数列性质定理1：假如数列收敛，那么它极限是唯一定理2 假如数列收敛，那么数列肯定有界定理3：假如且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N时，定理4、假如数列收敛于a那么它任一子 数列也收敛,且收敛于a。第三节：函数极限 一、极限定义1、在点极限1可在函数定义域内，也可不在，不涉及在有没有定义，以及函数值大小。只要满意：存在某个使：。2假如自变量趋于时，相应函数值 有一个总趋势-以某个实数为极限 ，那么记为 ：。形式定义为： 注：左、右极限。单侧极限、极限关系2、极限 设：假如当时函数值 有一个总趋势-该曲线有一条程度渐近线-那么称函数在无限远点有极限。记为： 在无穷远点左右极限： 关系为：二、函数极限性质1、 极限唯一性2、 函数极限部分有界性3、 函数极限部分保号性4、 函数极限与数列极限关系第四节：无穷小与无穷大一、无穷小定义定义：对一个数列，假如成立如下命题： 那么称它为无穷小量，即注： 1、意义；2、可写成； 3、上述命题可翻译成：对于随意小正数，存在一个号码N，使在这个号码以后全部号码，相应与极限0间隔 比这个给定还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0相识。定理1 在自变量同一改变过程或中，函数具有极限A充分必要条件是，其中是无穷小。二、无穷大定义 一个数列，假如成立：那么称它为无穷大量。记成：。 特殊地，假如，那么称为正无穷大，记成特殊地，假如，那么称为负无穷大，记成注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。三、无穷小和无穷大关系定理2 在自变量同一改变过程中，假如为无穷大，那么为无穷小；反之，假如为无穷小，且那么为无穷大即：非零无穷小量与无穷大量是倒数关系：当时：有 留意是在自变量同一个改变过程中第五节：极限运算法那么1、无穷小性质设和是无穷小量于是：1两个无穷小量和差也是无穷小量： 2对于随意常数C，数列也是无穷小量： 3也是无穷小量，两个无穷小量积是一个无穷小量。 4也是无穷小量： 5无穷小与有界函数积为无穷小。2、函数极限四那么运算1、 假设函数和在点有极限，那么2、 函数在点有极限，那么对任何常数成立 3、假设函数和在点有极限，那么 3、 假设函数和在点有极限，并且，那么 极限四那么运算成立条件是假设函数和在点有极限例：求下述极限 4、 复合函数极限运算法那么定理6 设函数是由函数与复合而成，在点 某去心邻域内有定义，假设，且存在，当时，有，那么第六节：极限存在准那么 两个重要极限 定理1 夹逼定理 ：三数列、和，假如从某个号码起成立：1，并且和收敛， 2，那么有结论： 定理2 单调有界数列肯定收敛。 单调增加有上界数列肯定收敛；单调削减有下界数列肯定收敛。例：证明：例： 证明：有界。求 极限 第七节：无穷小比较定义：假设为无穷小且 高阶、低阶、同阶、k阶、等价 1、 假设为等价无穷小那么 2、 假设 、且存在，那么： 例： 第八节：函数连续性与连续点一、 函数在一点连续性函数在点连续，当且仅当该点函数值 、左极限与右极限三者相等： 或者：当且仅当函数在点有极限且此极限等于该点函数值 。 其形式定义如下：函数在区间a,b连续指：区间中每一点都连续。函数在区间a,b连续时留意端点。注：左右连续，在区间上连续(留意端点) 连续函数图像是一条连续且不连续曲线 二、连续点 假设：中有某一个等式不成立，就连续，分为：1、 第一类连续点：可去型：但跳动型：即函数在点左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳动。2 、第二类连续点：左极限与右极限两者之中至少有一个不存在无穷型连续点和振荡型连续点 例：见教材第九节：连续函数运算与初等函数连续性一、 连续函数四那么运算1.且，2且，3. 且， 反函数连续定理：假如函数是严格单调增加削减并且连续，那么存在它反函数：并且也是严格单调增加削减并且连续。注： 1反函数定义域就是原来值域。2通常惯用X表示自变量，Y表示因变量。反函数也可表成 复合函数连续性定理： 设函数和满意复合条件，假设函数在点x0连续；，又假设函数在点连续，那么复合函数在点连续。 注：复合函数连续性可以保证极限号与函数符号交换：从这些根本初等函数出,通过假设干次四那么运算以及复合，得到种种函数统称为初等函数，并且：初等函数在其定义区间内连续。第十节：闭区间上连续函数性质 一、 最大、最小值设函数：在上有界，如今问在值域中是否有一个最大实数？假如存在，譬如说它是某个点函数值 ，那么记叫做函数在D上最大值。 类似地，假如 中有一个最小实数，譬如说它是某个点函数值，那么记称为函数在上最小值 。二、有界性有界性定理：假如函数在闭区间上连续，那么它在上有界。三、零点、介值定理最大值和最小值定理：假如函数 在闭区间上连续那么它在上有最大值和最小值，也就是说存在两个点和，使得亦即 假设x0使，那么称x0为函数零点 零点定理：假如函数在闭区间上连续，且在区间两个端点异号：那么至少有一个零点，使中值定理：假如函数在闭区间上连续，那么在上能取到它最大值 和最小 值 之间任何一个中间值。 作业：见课后各章节练习。第二章 导数与微分教学目与要求 22学时 1、 理解导数和微分概念与微分关系和导数几何意义，会求平面曲线切线方程和法线方程，理解导数物理意义，会用导数描绘一些物理量，理解函数可导性与连续性之间关系。2、 娴熟驾驭导数四那么运算法那么和复合函数求导法那么，娴熟驾驭根本初等函数导数公式，理解微分四那么运算法那么和一阶微分形式不变性，会求函数微分。3、 理解高阶导数概念，会求某些简洁函数n阶导数。4、 会求分段函数导数。5、 会求隐函数和由参数方程确定函数一阶、二阶导数，会求反函数导数。一、导数概念1、定义 左导数右导数 可以证明：可导连续。即可导是连续充分条件。 连续是可导必要条件。 左右导数(注：与左右极限关系)2、导数几何意义曲线在点处切线： 例1：探讨在x=0处可导性解： 在x = 0连续不存在在x = 0不行导例2：存在那么= 例3：设函数可微， 那么例4： 设 为使在x = x0 处可导，应如何选取常数a、b解：首先必需在x0连续 由得存在 从而例5： = x (x-1)(x-2)(x-9) , 那么 例6：设在x = 0 领域内连续， 那么 分母0 例7：设函数 f (1+x) = a f ( x ) ， 且 (a , b 0)， 问 存在否解： 二、导数求法 1、显函数导数求一个显函数导数需解决： 根本初等函数导数(P64); 导数四那么运算法那么(P65); 复合函数与反函数求导法那么(P66)。定理：在X有导数，在对应点u有导数，那么复合函数在X处也有导数，。例1：求解： 例2：求解： 例3：求解： 例4：求解： 例5：求解： 例6：求解： 例7：求解： 例8： 求解： 例9：求解： 高阶导数、二阶： 例10：， 求解： 先讲微分后页2、 隐函数导数参数方程导数 如方程F(x，y)=0确定了y=y(x)，只需方程两边对x求导，留意y=y(x)例10：求以下隐函数导数1设求解： 方程两边对x求导， 2设是由方程所确定隐函数， 求解： 由原方程知当x=0时， 方程两边对x求导。 ，将x=0，代入得：(3) 是由方程所确定隐函数, 试求,。解: 方程两边对x求导： 方程两边再对x求导： 由原方程知，当时，代入得再将，代入式，得 (4) 设求解： (5) 设是由方程组所确定函数，求：。解： 3、 分段函数导数1) 设求：解：当 不存在，故 高阶导数n阶略， 例 2) 设在上具有二阶连续导数，且，对函数 (1) 确定值，使在上连续(2) 对1中确定，证明在上 一阶导数连续解： 即当 在连续， 也就是在连续 而在连续,即在连续三、 微分 一阶微分形式不变 自变量 如 (中间变量)例： ， ， 可导 可微第三章微分中值定理导数应用教学目与要求1驾驭并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，理解柯西中值定理和泰勒中值定理。2理解函数极值概念，驾驭用导数推断函数单调性和求函数极值方法，驾驭函数最大值和最小值求法及其简洁应用。3 用二阶导数推断函数图形凹凸性，会求函数图形拐点以及程度、铅直和斜渐近线，会描绘函数图形。4 握用洛必达法那么求未定式极限方法。5 道曲率和曲率半径概念，会计算曲率和曲率半径。6 理解方程近似解二分法及切线法。一、中值定理，泰勒公式放入泰勒级数中讲1 罗尔定理如满意：1在连续. 2在可导. 3 那么至少存在一点 使例 设，那么 在区间-1，0内，方程 有2个实根；在-1，1内有2个根例 设在0，1可导，且， 证明存在，使。证： 设在a,b可导， 存在使 即例 设在0，1可导，且, 证明存在 。解: 设，且 由罗尔定理 存在 使 即， 亦即例 习题6 设复合函数求导2、 拉格朗日中值定理如满意：在a,b连续；在a,b连续，那么存在使。推论： 假如在区间I上，那么 假如在区间I上， 在单增减例对随意满意x， 都有设 例 设，证明求导证明作业：见各章节课后习题。二、洛必达法那么未定形：如下函数极限都是未定形。 1、型： 如：型：2、型： 如：3、型： 如：4、型：如：5、 型： 如：6、 型： 如：7、 型： 如：它们计算不能用函数极限四那么运算法那么，且它们只表示类型，没有详细意义。 1、 型洛必达法那么(同理)定理：对函数和，假如：1, 2在某个邻域内后有导数和，且；3存在或无穷，那么成立：=例：1) 2) 3) 例： 1) 2) 3) (>0)3、其它类型1) 2) 3) 4) 解法同3 例 ： 1) 2) 3) 4) 三、泰勒公式 一、多项式： 在点各阶导数： 得：二、泰勒中值定理：假如函数在含有某个开区间有直到阶导数，那么对任一有：1、N阶泰勒公式称为余项。1 在与之间拉格朗日型余项2 皮亚诺余项。2、当得麦克劳林公式：三、常见函数泰勒绽开1) 2) 3) 四、函数性态1、极值1定义：如在邻域内，恒有， ，那么称为函数一个极大小值。可能极值点， 不存在点与点。驻点驻点 极值点2判别方法、导数变号。 微小值极大值、，例1、 设满意关系式，且, ，那么在点处 A A、获得极大值 B、获得最小值 C、在某邻域内单增 D、在某邻域内单减例2函数对一切满意 如，那么 A A、 是微小值B、是极大值 C、是曲线拐点D、不是极值，也不是曲线 拐点。例3 设函数在某邻域内可导，那么是极 大 值。2、函数最大值与最小值1求出内可能极值点，不需判别极大还是微小，求出它们函数值，再与端点函数值进展比较，其中最大小为最大小值。2在内可能极值点唯一，如是微小值那么为最小值；如是极大值那么为最大值。 3如分别为最小, 最大值。4实际问题据题意可不判别。 例1、 在抛物线上第一象限部分求一点P，过P点作切线，使该切线与坐标轴所围成三角形面积最小。 解：设切点为，切线方程为即 三角形面积： ，令 唯一 故 为所求点3、曲线凹凸、拐点及渐近线 在I上可导 如那么曲线是凹凸, 在连续曲线上凹凸局部分界点称为曲线拐点。 可能拐点和不存在点例1、 设，试探讨性态。x(-,-2)-2(-2,0)0(0,1)1(1,+ )y+0-间断+0+y-0+y 单调增上凸极大值 单减上凸单增上凸拐点(1,0) 单增下凸渐近线如 那么称为程度渐近线如 那么称为垂直渐近线渐近线可能没有，或多条。例2、求渐近线斜渐近线不探讨解： 为程度渐近线 垂直渐近线例2、 曲线渐近线有 4 条4证明不等式1利用中值定理R，L；2利用函数单调性；3利用最值；4引入协助函数把常值不等式变成函数不等式；5利用函数凹凸性；6利用泰勒公式。例1、 当，试即证：证： 设，在连续，可导，由拉格朗日中值定理 即 例2、设，证明证： 设单增，当 设 单增，当 例3、当证明 证： 令 令得 驻点唯一， 微小 为最小值即 例4、 当 证明 证: 设 令 , 驻点唯一 当 , 在上最大值为 ,最小值为 例5、 设，证明证明：即 证 设 ， 时 单减 当 即 例6、 设在上可导，且单调减，证明： ，。 证： 令 单调减 ， ， ，即单调减 ， 即 作业：见课后习题第四章不定积分教学目与要求 1理解原函数概念、不定积分和定积分概念。2 驾驭不定积分根本公式，驾驭不定积分和定积分性质及定积分中值定理，驾驭换元积分法与分部积分法。3 求有理函数、三角函数有理式和简洁无理函数积分。一、一元函数积分概念、性质与根本定理 1、原函数、不定积分 在区间上，如，称为导函数，称为原函数，原函数与导函数是一种互逆关系。 如为一个原函数，那么为全体原函数。记为，即=不定积积分性质(1) 或(2) (3) (4) 原函数与导函数有互逆关系,由导数表可得积分表。例、是一个原函数， 求：解： 例、导函数是 ，那么原函数，(、为随意常数)例、在以下等式中，正确结果是 C A、 B、C、 D、例、 2、计算方法10 换元法第一类换元法凑微分法常用凑微分形式 例：1、2、 3、4、5、6、7、8、 9、10、 11、12、 13、 14、 15、 16、 17、 18、 19、 解： 20、解： 21、 22、设，那么二第二换元法定理2 除了凑微分法外其它常用变量代换(1)被积函数中含有二次根式，令，令，令如是配方1例1、令xt 解：原式 例2、二种解法 2被积函数中含一般根式例3、解：令原式 例4、令原式例5、解：令 原式 20分部积分<定理>如、均具有连续导函数，那么例1、 例2、 例3、例4、 例5、 例6、 例7、 例8、 例9、 例10、 例11、 30有理函数积分 有理函数积分方法：真分式局部分式 局部分式： 其中：确定常数值；再积分。例： 1) 2) 3) 4) 5)解： 令 令 6) 40 三角有理式积分令 7、 8、 9、设原函数恒正，且，当，有，求解： 由得C=1 例：1) 2) 3) 4) 5) 作业：见课后习题第五章 定积分概念教学目与要求：1 解变上限定积分定义函数，及其求导数定理，驾驭牛顿莱布尼茨公式。2 解广义积分概念并会计算广义积分。3驾驭用定积分表达和计算一些几何量与物理量平面图形面积、平面曲线弧长、旋转体体积及侧面积、平行截面面积为立体体积、变力做功、引力、压力和函数平均值等。一、定义及性质<定义>：， 留意(1)积分区间有限，被积函数有界； (2)与“分法、“取法无关； (3)定积分值与积分变量选取无关； (4)在有界是在可积必要条件，在连续是在可积充分条件。<几何意义>：在几何上表示介于，之间各部分面积代数和。补充规定 <性质>性质191-7省略其中(8)为估计定理：在，那么 (9)中值定理：如在连续，使例1利用定积分几何意义，求定积分值 上式表示介于, , , 之间面积例2、估计积分值 证明 证：在 上最大值为，最小值为2 二、根本定理 牛顿莱伯尼兹公式 10变上限积分根本定理：设在连续，为上随意一点，那么是可导函数，且 即说明为一个原函数。例3、, , , ， 求：解：例4、 例5、有极大值点为 D A. B. C. D. 例6、如 ,那么 B A. B. C. D.例7、 设在上连续，且,证明：假设f(x)为偶函数，那么F(x)也是偶函数。证： 20 定积分计算 牛顿莱伯尼兹公式<定理>设在连续。为在上随意一个原函数，那么有 定积分换元法与分部积分法30 奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质(1) 在连续，当为偶数，那么当为奇函数，那么(2) ，以T为周期说明在任何长度为T区间上积分值是相等。例9、原式 例10、例11、 例12、设那么 A、 B、 C、 D、 例13、法一 设法二设原式例14、设为连续函数，且 求解： 设那么两边积分 例15、(、在连续，且 求、表达式。答案： )例16、设，求解： 令 ()例17、设求解：例18、在上二阶可导，且，及求解：原式例19、设在连续证明：证：右边 =例20、设求解： 例21、设连续，且求，并探讨在处连续性解：得 令 在连续即在连续例22、试证方程在内有且仅有一实根证：设在连续且：由介值定理，使F()=0即F(x)=0有根又 ，单增 根唯一例23、设在，连续试证：内至少一点，使证：设那么在可导中值 在上满意罗尔定理条件至少存在一点，使即亦即 例24、 例25：设在连续，可导，且，证明在内，有证： 在单调减，故作业：各章节课后习题。第六章 定积分应用1°平面图形面积 ()直角坐标： 例1：求抛物线及其点和处切线所围成图形面积解：在点处，切线方程 在点处，切线方程 得交点 ii极坐标 例2、求由曲线所围图形公共部分面积解：两曲线交点+ 2°旋转体体积由所围平面图形绕轴旋转一周所生成立体体积，由所围平面图形绕旋转一周所得旋转体体积例3、过点作抛物线切线，求该切线与抛物线及轴所围平面图形绕轴旋转而成旋转体体积解：设切点为切线方程Q 切点在切线上，3,10 1 2 3 ， 切线方程：30平面曲线弧长(1) 曲线： (2) (3) 例 求下类平面曲线弧长1. 曲线相应于一段2. 心形线全长 3. 摆线