高等数学研究教案2.docx

泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称高等数学讨论授课对象2006级本科授课题目第十一讲二元函数的微分与极值课时数4教学目的通过教学使学生驾驭二元函数的微分法、无条件极值、条件的极值求法，驾驭最值的求法，会利用这些理论解决消费实际的应用问题。重点难点1重点无条件极值、条件的极值求法，最值的求法；2难点应用无条件极值、条件的极值、最值理论解应用题。教学提纲第十一讲 二元函数的微分与极值一、多元函数的微分1.多元函数的极限2、偏导数3、全微分二、极值与最值1二元函数的无条件极值2二元函数的条件极值 拉格朗日数乘法3二元函数的最值三、应用1.曲面的切平面与法线方程2.场论初步教学过程与内容教学后记第十一讲二元函数的微分与极值二元函数的导数、极值、最值是历年考试的重点，二元函数的微分、二元函数的微分在几何中的应用、场论初步也应引起重视。一、多元函数的微分1.多元函数的极限, 也记作 或f (P)®A(P®P0).【说明】(1)二重极限存在, 是指P以任何方式趋于时, 函数都无限接近于A. (2)假如当P以两种不同方式趋于时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在.例1： 设, 求证. 【证明】 因为 , 因此. 例2：讨论：函数在点(0, 0)有无极限？ 【解】: 当点P(x, y)沿x轴趋于点(0, 0)时, ; 当点P (x, y)沿直线y=kx有 . 因此, 函数f(x, y)在(0, 0)处无极限。2、偏导数【说明】关于求导时，短暂把看成常数。例：验证函数满意方程.【证明】 因为, 所以 , , .因此 .3、全微分 假如函数z=f(x, y)在点(x, y)的全增量 Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y)可表示为, 即其中A、B不依靠于Dx、Dy 而仅与x、y 有关, 则称函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分, 而称ADx+BDy为函数z=f(x, y)在点(x, y)的全微分, 记作dz, 即 dz=ADx+BDy. 【说明】 （）假如函数z=f(x, y)在点(x, y)可微, 则函数在该点的偏导数、必定存在，但反过来不对；（）假如函数z=f(x, y)在点(x, y)可微, 则函数在该点连续；（）、在(x, y)存在，函数z=f(x, y)在(x, y)不肯定连续例4：讨论函数在点(0, 0)处连续性、偏导数的存在性、及可微性。【解】函数在点(0, 0)处连续；由偏导数的定义知f x(0, 0)=0及f y(0, 0)=0； 但函数在(0, 0)不行微分,这是因为当(Dx, Dy)沿直线y=x趋于(0, 0)时, .不趋向0.4、偏导数的求法 （1）复合函数求导法，例5：（1）,求（2）,求【解】(1) (2) （2）隐函数求导法若函数由方程确定，方程两边关于求导， ，所以，同理，例6：（1）若函数由方程确定，求。（C）（2）若函数由方程组确定，求。【解】(1)C (2)方程两边关于求导解得例7：设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时，求(1)；（2）记，求.【解】(1),(2)（3）高阶导数,例7：设函数在内具有二阶导数，且满意等式.验证.【说明】 利用复合函数偏导数计算方法求出代入即可得【解】设，则.，.将代入得.例8：设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满意，又,求【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：，干脆利用复合函数求偏导公式即可，留意利用【解】 ，故 ，所以 =二、极值与最值1二元函数的无条件极值(1) 二元函数的极值肯定在驻点和不行导点获得。对于不行导点，难以推断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件断定。(2)二元函数获得极值的必要条件： 设在点处可微分且在点处有极值，则，即是驻点。(3) 二元函数获得极值的充分条件：设在的某个领域内有连续上二阶偏导数，且，令，则当且 A<0时，f为极大值；当且A>0，f为微小值；时，不是极值点。【留意】 当B2AC = 0时，函数z = f (x, y)在点可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论例9： 求函数z = x3 + y2 2xy的极值【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是微小值，并求出相应的极值.【解】先求函数的一、二阶偏导数：，, , 再求函数的驻点令= 0，= 0，得方程组求得驻点(0，0)、利用定理2对驻点进展讨论：(1)对驻点(0, 0)，由于A = 0, B =2， C = 2，B2AC0,故(0, 0)不是函数z = f(x, y) 的极值点(2)对驻点，由于A =4, B =2，C = 2,B2AC =40, 且A0,则 为函数的一个微小值例10：设z=z(x,y)是由确定的函数，求的极值点和极值.【分析】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比拟大的。这表达了考研的根本要求。【解】 因为 ，所以 ， .令 得 故 将上式代入，可得 或 由于 ， ，所以 ，故，又，从而点(9,3)是z(x,y)的微小值点，微小值为z(9,3)=3.类似地，由 ，可知，又，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为z(-9, -3)= -3.【点评】本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应留意x,y,z满意原方程。2二元函数的条件极值拉格朗日数乘法：设某领域内有连续偏导数，引入协助函数解联立方程组得可能是在条件下的极值点例11经过点的全部平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的体积最小并求此最小体积【分析】条件极值常常考应用题。这一点大家应引起重视。【解】设所求平面方程为 因为平面过点，有 设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为V， 则作拉格朗日函数求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：代入解得a = b = c = 3由于最小体积肯定存在又函数有惟一的驻点故a = b = c = 3为所求即平面x + y + z = 3与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小最小体积为例12求函数在在约束条件和下的最大和最小值.【解】设得方程组即解得 或得 ，3二元函数的最值二元函数的最值肯定在驻点和不行导点及边界点获得。例13:D是直线与坐标轴围成的三角形闭区域，求在上的最大值和最小值。 驻点。例14:求函数在区域D上的最大值和最小值，其中： 。【分析】 由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。【解】 因为 ，解方程： 得开区域内的可能极值点为.其对应函数值为又当y=0 时，在上的最大值为4，最小值为0.当，构造拉格朗日函数 解方程组 得可能极值点：，其对应函数值为 比拟函数值，知f(x, y)在区域D上的最大值为8，最小值为0.【评注】当，代入目的函数转换成一元函数求解更简洁。例5:已知函数z=f(x,y) 的全微分，并且. 求f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值.【解】 由题设，知 ，于是 ，且 ，从而 ，再由，得 C=2, 故 （下略）三、应用1.曲面的切平面与法线方程曲面在点M0的切平面. 这切平面的方程式是 Fx(x0, y0, z0)(x-x0)+Fy(x0, y0, z0)(y-y0)+Fz(x0, y0, z0)(z-z0)=0. 法线方程为 . 例16： 求球面x2+y2+z2=14在点(1, 2, 3)处的切平面及法线方程式. 【解】 F(x, y, z)= x2+y2+z2-14, Fx=2x, Fy=2y , Fz=2z , Fx(1, 2, 3)=2, Fy(1, 2, 3)=4, Fz(1, 2, 3)=6. 法向量为n=(2, 4, 6), 或n=(1, 2, 3). 所求切平面方程为2(x-1)+4(y-2)+6(z-3)=0, 即x+2y+3z-14=0. 法线方程为2.场论初步（1）数量场：（方向导数）函数u=f(x, y，z)在点P0(x0, y0,z0)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在, 且有 , 其中cos a, cos b,是方向l 的方向余弦. （2）数量场（梯度）设三元函数可微grad f(x0, y0, z0)=fx(x0, y0, z0)i+fy(x0, y0, z0)j+fz(x0, y0, z0)k.=结论: 函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与获得最大方向导数的方向一样, 而它的模为方向导数的最大值. （）矢量场：（散度）已知（）矢量场：（旋度）已知泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称高等数学讨论授课对象授课题目 第十二讲重积分的计算方法讨论课时数4教学目的通过教学使学生驾驭计算二重积分与三重积分的各种方法。重点难点1.化累次积分计算二重积分与三重积分2.利用极坐标计算二重积分3、用球坐标计算三重积分难点是二重积分与三重积分的计算技巧教学提纲第十二讲重积分的计算方法讨论一、二重积分的计算方法二重积分的根本计算方法有两种，一是化累次积分的方法,二是极坐标的方法。1.化累次积分计算二重积分2.利用极坐标计算二重积分二、二重积分的计算技巧3.变更累次积分的次序计算二重积分4.分割积分区域计算二重积分5.利用函数的奇偶性化简二重积分三、三重积分的计算1、用函数奇偶性化简三重积分2用直角坐标计算三重积分（先1后2，先2后1，）3、用柱坐标计算三重积分4、用球坐标计算三重积分教学过程与内容教学后记第十二讲重积分的计算方法讨论重积分的计算一方面本身是很重要的，另一方面它是曲线积分、曲面积分和概率统计的根底，分割积分区域、利用函数的奇偶性简化积分和利用对称性（轮换）简化积分是重积分计算的技巧。一、二重积分的根本计算方法二重积分的根本计算方法有两种，一是化累次积分的方法,二是极坐标的方法。1.化累次积分计算二重积分 X-型区域: D : j1(x)£y£j2(x), a£x£b . Y -型区域: D : y1(x)£y£y2(x), c£y£d . 例1： 计算, 其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域. 【解法一】把D看成是X-型区域: 1£x£2, 1£y£x . 于是， 【评注】积分还可以写成. 【解法二】也可把D看成是Y-型区域: 1£y£2, y£x£2 . 于是. 例2. 计算, D是由直线y=1、x=-1及y=x所围成的闭区域. 【解】 画出区域D, 可把D看成是X-型区域: -1£x£1, x£y£1. 于是. 也可D看成是Y-型区域:-1£y£1, -1£x<y . 于是 . 2.利用极坐标计算二重积分 有些二重积分, 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比拟便利, 且被积函数用极坐标变量r 、q 表达比拟简洁. 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分. 若积分区域可表示为 D:j 1(q)£r£j 2(q), a£q£b, 则 . 例3. 计算, 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域. 【解】在极坐标系中, 闭区域D可表示为: 0£r£a , 0£q £2p . 于是 . 【评注】 此处积分也常写成. 例4 求球体x2+y2+z2£4a2被圆柱面x2+y2=2ax所截得的（含在圆柱面内的局部）立体的体积. 【解】由对称性, 立体体积为第一卦限局部的四倍. , 其中D为半圆周及x轴所围成的闭区域. 在极坐标系中D可表示为 0£r£2a cosq , . 于是 . 二、二重积分的计算技巧1.变更累次积分的次序计算二重积分有些题目若把积分区域视为X型积分比拟困难，甚至积不出来，但视为Y型区域就好积多了。化累次积分时，除了看积分区域外还应看被积函数。例5 计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域.【解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于的一次函数，“先后”积分较简洁，所以把D视为Y型区域 .例6：(1)求(2)，计算【分析】这两个几分干脆计算都是困难的，但交换累次积分的依次后计算就简洁多了。2.分割积分区域计算二重积分肯定值函数、分段函数、取整函数，max()，min()往往在积分区域的不同局部有不同的取值，应依据被积函数合理分割积分区域，以正确计算积分例7设，表示不超过的最大整数. 计算二重积分【分析】首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两局部即可.【解】令， .则 = =【评注】对于二重积分（或三重积分）的计算问题，当被积函数为分段函数时应利用积分的可加性分区域积分. 而实际考题中，被积函数常常为隐含的分段函数，如取肯定值函数、取极值函数以及取整函数等等.3.利用函数的奇偶性化简二重积分设函数在区域D上连续，则 （1）假如关于是奇函数，并且D关于Y轴对称,则；（2）假如关于是偶函数，并且D关于Y轴对称,则。评论：还有两条类似的结论，（1）能简化二重积分的计算。例8:设区域， 计算二重积分【分析】由于积分区域关于轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一局部，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【解】 积分区域如右图所示.因为区域关于轴对称，函数是变量的偶函数，函数是变量的奇函数.则 ，故. 【评注】只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考察被积函数或其代数和的每一局部是否具有奇偶性，以便简化计算.例设二元函数 计算二重积分，其中【解】由区域的对称性和被积函数的奇偶性有 其中为D在第一象限的局部. 设 , ,.因此 .例10: 求，其中D是由圆和所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D分为大圆减去小圆，再利用对称性与极坐标计算即可.【解】令，由对称性，.所以，.三、重积分的计算1、用函数奇偶性化简三重积分对称性：若关于xy(yz或zx)面对称，而是z(x或y)的偶（奇）函数，则（）。例11：(1)设，求；(2)设，求。【解】(1)积分区域关于面对称，为的奇函数，故故原式(2)关于面对称，为的奇函数，故故2用直角坐标计算三重积分在直角坐标系中，可化三重积分为三次积分。设积分域如图，则可表示为故 式称为计算三重积分的先一后二法。式可进一步化为 式即为计算三重积分的三次积分法。也可表示为，故 式称为计算三重积分的先二后一法或切片法。注：用直角坐标计算三重积分的关键是依据积分区域的形态以及被积函数的特点选择适当的积分组合与次序。例12：求，为三个坐标面及平面所围成的区域。【解】故例13、求，为球面及三个坐标面所围第一卦限局部。【解】故例14、求，由围成。【解】由对称性，因为关于面对称，而分别为的奇函数，故从而例15：求，由围成。【解】3、用柱坐标计算三重积分点在面上的投影为，的极坐标为，则称为的柱坐标。直角坐标与柱坐标的关系为.积分域在面上的投影是圆或被积函数含有时，相宜用柱坐标。明显，在柱坐标下，体积元，故例16：求，由围成。【解】【另解】用柱坐标， 例17: 求，由围成。【解】用柱坐标，4、用球坐标计算三重积分称为的球坐标，规定。 积分域为球或被积函数中含有时相宜用球坐标，在球坐标下，体积元例18：求，。【解】用球坐标， 例19：求，由确定。【解】用球坐标，泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称高等数学讨论授课对象授课题目 第十三讲曲线积分与途径无关问题课时数4教学目的通过教学使学生驾驭两类曲线积分的来源、定义、性质和计算方法，重点驾驭格林公式及曲线积分与途径无关的条件重点难点1重点两类曲线积分的计算方法；2难点格林公式及曲线积分与途径无关的条件。教学提纲 第十三讲曲线积分与途径无关问题1. 第一型曲线积分(1)对弧长的曲线积分的模型： (2)积分弧段的方向无关。(3)对弧长的曲线积分的计算2. 第二型曲线积分第二型曲线积分的模型, 第二型曲线积分方向无关3. 格林公式及其应用用“补面法”用格林公是求解。4. 平面曲线积分与途径无关的条件定理：以下条件等价(1) 在区域内曲线积分与途径无关的充分；(2) 内沿任一闭曲线的积分为零；(3) 设开区域是一个单连通域，函数以及在内具有一阶连续偏导数且在内恒成立；教学过程与内容教学后记第十三讲曲线积分与途径无关问题一、第一型曲线积分1. 第一型曲线积分的模型设给定一条平面曲线弧：,其线密度为求弧的质量。, 【说明】若，则=，即对弧长的曲线积分与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。2. 第一型曲线积分的计算（代入法）设在曲线弧上有定义且连续,的参数方程为 ，,= 特殊,当时, 表示曲线弧的弧长。当曲线弧的方程为 ，在上有连续的导数，则=； 例1：计算第一型曲线积分（），其中从（，）到（，）一段。；（），其中圆周。二、第二型曲线积分1.第二型曲线积分的模型（代入法）设有一平面力场，其中为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点沿光滑曲线运动到点，求力场的力所作的功。， 【评注】设为有向曲线弧，为与方向相反的有向曲线弧，则 即第二型曲线积分方向无关2. 第二型曲线积分的计算设平面上的有向曲线的参数方程为 ，当参数单调地由变到时,= 这里的是曲线的起点所对应的参数值，是曲线的终点所对应的参数值，并不要求。若曲线的方程为对应于的起点，应于的终点，则 =； 若曲线的方程为对应于的起点，应于的终点，则=。 同样，以上并不要求，。公式可推广到空间曲线上对坐标的曲线积分的情形，若空间曲线的参数方程为，则=这里下限为曲线的起点所对应的参数值，上限为曲线的终点所对应的参数值。例2：计算，其中 (1)为抛物线上从点到点的一段弧。(2)为从到点的直线段.【解法1】 (1)由知不是的单值函数，因此不能运用公式（2），但可运用公式（3），这里，从变到，于是=。【解法2】 当把曲线分成与两局部时，在每一局部上都是的单值函数。在上，由变到；在上，由变到。于是 =+=+=(2) 直线的方程为,从到,于是=从这个例子可以看出, 对坐标的曲线积分沿不同的途径,曲线积分不肯定相等.3. 格林公式及其应用格林公式: 设平面单连通区域D由分段光滑的曲线围成，函数及在上具有一阶连续偏导数，则 其中是的正向边界曲线。在公式(1)中取，可得，上式左端为闭区域的面积的两倍，因此计算有界闭区域的面积的公式为:。 例3： 计算星形线所围图形的面积.【解】 由公式(2)得=.例4: 在过点(0,0)和(,0)的曲线族中，求一条曲线，使沿该曲 线从到的线积分的值最小。【解】 本题可用代入法干脆求解，这里采纳“补面法”用格林公是求解。令，即AO直线段。-。用一元函数极值的方法得时到达最小值。4. 平面曲线积分与途径无关的条件曲线积分与途径无关问题：设是平面上的一个开区域，以及在内具有一阶阶连续偏导数.假如对内随意两点与，以及内从点到点的随意两条曲线、，恒有=，则称曲线积分在内与途径无关。定理：以下条件等价（）在区域内曲线积分与途径无关；（）内沿任一闭曲线的积分为零；（）设开区域是一个单连通域，函数以及在内具有一阶连续偏导数且在内恒成立；（）为全微分例5： 计算,其中是从点经圆周上半部到点的弧段。【解】 干脆计算曲线积分比拟难,先推断是否与积分途径无关.这里,有=,且与在全平面上有一阶连续偏导数.因此这个曲线积分与途径无关.为便于计算,取直线段作为积分途径.于是=5.奇点的处理方法定理：设在坐标平面上除了点外都有，则对随意分段光滑闭曲线，是一个定值。例6: 计算,其中为:（1）任一简洁闭曲线,该闭曲线包围的区域不含有原点;（2）任一简洁闭曲线,该闭曲线包围的区域含原点;【解】 这里,且与在不含原点的随意一个区域内具有一阶连续偏导数.（1） 这个曲线积分与途径无关,所以.（2）设在坐标平面上除了原点点外都有，则对随意分段光滑闭曲线，是一个定值，把换成圆周，它的参数方程为,则 .例：设函数具有连续导数，在围绕原点的随意分段光滑简洁闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数.（I）证明：对右半平面x>0内的随意分段光滑简洁闭曲线C，有；（II）求函数的表达式.【分析】 证明（I）的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的随意分段光滑简洁闭曲线相联络，这可利用曲线积分的可加性将C进展分解讨论；而（II）中求的表达式，明显应用积分与途径无关即可. Y【解】 （I） l2 C o X l3如图，将C分解为：，另作一条曲线围绕原点且与C相接，则 .（II） 设，在单连通区域内具有一阶连续偏导数，由（）知，曲线积分在该区域内与途径无关，故当时，总有. 比拟、两式的右端，得由得，将代入得所以，从而【评注】 本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形. 二元函数的全微分求法定义：若函数使,则称函数是表达式的一个原函数。判别法： 设开区域是一个单连通域，函数以及在内具有一阶连续偏导数,则在内存在原函数的充分必要条件是等式在内恒成立。求法：一般取.例：验证在整个在平面内是存在原函数,并求出一个原函数。【解】 这里,且在整个在平面内恒成立,因此在整个在平面内存在原函数.=.对于常微分方程,由上面可知这个微分方程的通解为 (为随意常数).泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称高等数学讨论授课对象授课题目 第十四讲曲面积分与高斯公式课时数4教学目的通过教学使学生驾驭两类曲面积分的来源、定义、性质和计算方法，重点驾驭高斯公式及曲面积分与途径无关的条件重点难点1重点两类曲面积分的计算方法；2难点高斯公式及补面法。教学提纲第十四讲曲面积分与高斯公式1.第一类曲面积分(1)问题的提出， 第一类曲面积分与曲面的方向(侧)无关(2)第一类曲面积分的计算-代入法2. 第二类曲面积分(1)问题的提出:第二类曲面积分与方向(侧)有关，变更方向，积分变号(2)计算-代入法 (3)高斯公式 补面法 (4)曲面积分与积分途径无关问题 (5)奇点的处理方法。教学过程与内容教学后记第十四讲曲面积分与高斯公式一、.第一类曲面积分1问题的提出设有一块光滑的金属曲面S 。它的密度是不匀称的。在其点(x,y,z)处密度为f（x,y,z），并设f在S上连续,则金属曲面S的质量M说明: 第一类曲面积分与曲面的方向(侧)无关2第一类曲面积分的计算(代入法)设S 是一个光滑曲面， S 的方程是Z=f(x,y) ,当 f1时可得空间曲面面积的计算公式，即例1：I=,S是半球面（）。【解】, , =例2：为椭球面S:的动点，若S在处的切平面与面垂直。（） 求点的轨迹；（） 计算，其中为椭球面位于上方的局部。二、 第二类曲面积分1问题的提出磁通量问题。表示【说明】第二类曲面积分与方向(侧)有关，变更方向，积分变号2第二类曲面积分计算(代入法) 用代入法计算时,一般应分成三个计算: （假如曲面积分取的上侧取号，假如曲面积分取的下侧取-号）.类似有（假如曲面积分取的前侧取号，假如曲面积分取的后侧取-号）。（假如曲面积分取的右侧取号，假如曲面积分取的左侧取-号）.例3:计算曲面积分，其中是圆面 下侧。【分析】 由于在上， ，所以【点评】本题展示的化简积分的方法是特别重要的。例4:计算曲面积分，其中是旋转抛物面介于平面及之间的下侧【分析】 可干脆代公式计算, 而须要分成前后两局部分别计算.【解】（略）3高斯公式设 D 是R内的一个有界闭区域，其边界由光滑曲面或逐片光滑曲面组成，方向是外侧（相对于区域D而言）。又设函数P，Q，R都在D内关于 x,y,z有连续偏导数，则下列高斯公式成立： 由Gauss公式可计算某些空间立体积分 V= 例5： 计算, 式中S为球面的内侧【解】 由高斯公式 知 =例6：计算曲面积分 其中为曲面的上侧。【分析】（补面法）本题曲面不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上干脆投影即可。【解】 补充曲面：，取下侧. 则 =其中为与所为成的空间区域，D为平面区域. 由于区域D关于x轴对称，因此. 又=其中.【评注】 （1）留意在计算过程中尽量利用对称性进展简化。本题也可通过干脆投影进展计算，但计算过程比拟困难。（2）本题中的三重积分计算用“先二后一”法，若用“先一后二”法计算量是大的例7：计算外侧。 【分析】该题，它们在S所包围的区域内不连续(在原点没定义，偏导数不存在)，所以不能用高斯公式。【解】 由积分表达式及S的对称性知所以记上半球（上侧）为S上，登记半球（下侧）为S下 =2所以 4.曲面积分与积分途径无关问题设是空间二维单连通区域，函数、在内具有一阶连续偏导数，则曲面积分在内与所取曲面无关而只取决于的边界曲面(或沿内任一闭曲面的曲面积分为零)的充分必要条件是等式在内恒在成立。例8：设对于半空间x>0内随意的光滑有向封闭曲面S，都有 ，其中在（，）内具有一阶连续导数，且，求【解】 由于对于半空间x>0内随意的光滑有向封闭曲面S，都有 ，所以即解得5.奇点的处理方法定理：设函数、在在空间坐标系上除了点外都有，则对随意分段光滑闭曲面，是一个定值。例9：计算曲面积分其中是曲面的外侧。【解】 在在空间坐标系上除了点原点外都有 则对随意分段光滑闭曲面，是一个定值。把曲面换成=6.对称性与轮换法例10：设曲面，求.【解】 由于曲面关于平面x=0对称，因此=0. 又曲面具有轮换对称性，于是=例11：设求。【解】 =所以=泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称高等数学讨论授课对象2006级本科授课题目第十五讲 无穷级数讨论课时数4教学目的通过教学使学生驾驭正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径，求幂级数的和函数，把一个函数绽开成幂级数的方法，理解如何把一个周期函数绽开成傅里叶级数。重点难点1重点正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径，求幂级数的和函数，把一个函数绽开成幂级数；2难点求幂级数的和函数，把一个函数绽开成幂级数。教学提纲第十五讲 无穷级数讨论一、 级数的根本概念1数项级数的根本概念2数项级数的性质二、数项的级数的审敛法1.比拟判别法 比拟法的极限形式 比值判别法 根式判别法4 肯定收敛与条件收敛三、 幂级数1 幂级数的根本概念2 幂级数的收敛半径3 幂级数的逐项求导与逐项积分3 求幂级数的和函数的步骤4 把一个函数绽开成幂级数的方法四、傅里叶级数1.根本概念2. 傅里叶级数的推广教学过程与内容教学后记第十五讲 无穷级数讨论一、级数的根本概念1数项级数的根本概念（1）称为无穷级数，简称级数。（2）为级数的第n项局部和。（3）若，则称级数收敛，记为；否则称级数发散。(4)三个重要级数调和级数:发散;P-级数：几何级数： 这三个级数是断定一般级数收敛的参照级数。2数项级数的性质(1) 若收敛于s，则收敛于，即(2) 若，分别收敛于，则收敛于，即(3)级数去掉、加上、变更有限项收敛性不变。(4)收敛级数随意加 括号仍收敛，且和不变。(5)(级数收敛的必要条件)若收敛，则说明:收敛的必要条件常用于断定级数发散。例如,由于，故级数发散二、级数的审敛法1正项级数审敛法 若则称为正项级数正项级数的局部和数列单调递增，即,所以 正项级数收敛的充要条件是局部和数列有界（1）（比拟判别法）均为正项级，且,则若收敛，则收敛；若发散，则发散。()（比拟法的极限形式）均为正项级，若为正数，则的收敛性一样；若，则当收敛时，必有收敛；若，则当发散时，必有发散。(2) （比值判别法） 为正项级数，若，则收敛；若，则发散；若，则可能收敛可能发散。(3)（根式判别法） 为正项级数，若，则收敛；若，则发散；若，则可能收敛可能发散。例1：求级数的和。【解】例2:断定下列级数的收敛性（1） （2） (3) （4） (5) 【解】（1） ,又发散，故原级数发散 （2）取参照级数为因为，又级数收敛，故原级数收敛.(3) 取参照级数为,收敛。 （4），故级数收敛。 (5) ，故级数收敛。例3： 证明 【证明】 设，只须证正项级数收敛 因为 又 所以由比值法知收敛，故收敛 由收敛的必要条件可知2. 一般项级数的收敛性（肯定收敛与条件收敛）除正项级数和负项级数以外的无穷级数称为随意项级数。随意项级数的收敛性主要通过其肯定值级数的收敛性转化为正项级数处理，另外交织级数用莱布尼兹判别法断定收敛性 若正项级数收敛，则级数必收敛，