高等代数II期末考试试卷及答案A卷.docx
高等代数II期末考试试卷及答案A卷一、 填空题每题3分，共15分1, 线性空间两个子空间交 EMBED Equation.DSMT4 2, 设与是n维线性空间 V两个基，由到过渡矩阵是C，列向量X是V中向量在基下坐标，那么在基下坐标是3, 设A, B是n维线性空间V某一线性变换在不同基下矩阵，那么A与B关系是 4, 设3阶方阵A3个行列式因子分别为：那么其特征矩阵标准形是5, 线性方程组最小二乘解所满意线性方程组是： 二、 单项选择题每题3分，共15分1、 复数域C作为实数域R上线性空间可与以下哪一个线性空间同构：A数域P上全部二级对角矩阵作成线性空间；B数域P上全部二级对称矩阵作成线性空间；C数域P上全部二级反对称矩阵作成线性空间；D复数域C作为复数域C上线性空间。2, 设A是非零线性空间 V 线性变换，那么以下命题正确是： AA核是零子空间充要条件是A是满射；BA核是V充要条件是A是满射； CA值域是零子空间充要条件是A是满射； DA值域是V充要条件是A是满射。3, 矩阵可逆充要条件是： 是一个非零常数；是满秩；是方阵。4, 设实二次型A为对称阵经正交变换后化为：， 那么其中是：全是正数；是A全部特征值；不确定。5, 设3阶实对称矩阵A有三重特征根“，那么A假设当标准形是：以上各情形皆有可能。三、 是非题每题2分，共10分请在你认为对小题对应括号内打“，否那么打“´1, 设V1，V2均是n维线性空间V子空间，且那么。2, n维线性空间某一线性变换在由特征向量作成基下矩阵是一对角矩阵。3, 同阶方阵A与B相像充要条件是与 等价。4, n维欧氏空间正交变换在任一基下矩阵都是正交矩阵。5, 欧氏空间内积是一对称双线性函数。四、 解答题每题10分，共30分1, 在线性空间中，定义线性变换：1求该线性变换A在自然基：下矩阵A；2求矩阵A全部特征值和特征向量。2, 1求线性空间中从基到基过渡矩阵；2求线性空间中向量在基下坐标。 3, 在R2中，规定二元函数：（1） 证明：这是R2一个内积。（2） 求R2一个标准正交基。五、 证明题每题10分，共30分1、 设P3两个子空间分别为： 证明：1；2不是直和。2, 设A是数域P上线性空间V线性变换，证明 是A不变子空间兖要条件是3, 是n级正定矩阵，证明：1A是正定矩阵；2答案一、 填空题每题3分，共15分1, 线性空间两个子空间交 EMBED Equation.DSMT4 2, 设与是n维线性空间 V两个基，由到过渡矩阵是C，列向量X是V中向量在基下坐标，那么在基下坐标是3, 设A, B是n维线性空间V某一线性变换在不同基下矩阵，那么A与B关系是 相像关系 4, 设3阶方阵A3个行列式因子分别为：那么其特征矩阵标准形是5, 线性方程组最小二乘解所满意线性方程组是： 二、 单项选择题每题3分，共15分2、 A 复数域C作为实数域R上线性空间可与以下哪一个线性空间同构：A数域P上全部二级对角矩阵作成线性空间；B数域P上全部二级对称矩阵作成线性空间；C数域P上全部二级反对称矩阵作成线性空间；D复数域C作为复数域C上线性空间。2, D 设A是非零线性空间 V 线性变换，那么以下命题正确是： AA核是零子空间充要条件是A是满射；BA核是V充要条件是A是满射； CA值域是零子空间充要条件是A是满射； DA值域是V充要条件是A是满射。3, B 矩阵可逆充要条件是： 是一个非零常数；是满秩；是方阵。4, C 设实二次型A为对称阵经正交变换后化为：， 那么其中是：全是正数；是A全部特征值；不确定。5, A 设3阶实对称矩阵A有三重特征根“，那么A假设当标准形是：以上各情形皆有可能。三、 是非题每题2分，共10分请在你认为对小题对应括号内打“，否那么打“´1, × 设V1，V2均是n维线性空间V子空间，且那么。2, n维线性空间某一线性变换在由特征向量作成基下矩阵是一对角矩阵。3, 同阶方阵A与B相像充要条件是与 等价。4, × n维欧氏空间正交变换在任一基下矩阵都是正交矩阵。5, 欧氏空间内积是一对称双线性函数。四、 解答题每题10分，共30分1, 在线性空间中，定义线性变换：1求该线性变换A在自然基：下矩阵A；2求矩阵A全部特征值和特征向量。解：1线性变换A在自然基下矩阵是5分 2因为 所以矩阵A全部特征值是 解齐次线性方程组 得矩阵A全部特征向量：，其中不全为零。 5分2, 1求线性空间中从基到基过渡矩阵；2求线性空间中向量在基下坐标。解：1因为所以 即所求过渡矩阵为 5分2因为故所以在基下坐标是： 5分3, 在R2中，规定二元函数：（3） 证明：这是R2一个内积。（4） 求R2一个标准正交基。1证明：因为是正定矩阵，所以这个二元函数是R2一个内积。 5分2解：考察自然基它度量矩阵正是令： 再令：那么是R2一个标准正交基。 5分2解法二：考察自然基它度量矩阵正是 令：即：那么 度量矩阵是E，从而是R2一个标准正交基。五、 证明题每题10分，共30分2、 设P3两个子空间分别为： 证明：1；2不是直和。证明：1W1一个基是：W2一个基是：因为其中是生成元一个极大无关组从而是一个基，所以 5分2因即所以不是直和。 5分2之证法二：因为所以不是直和。2, 设A是数域P上线性空间V线性变换，证明 是A不变子空间兖要条件是证明：充分性设有是A不变子空间。 5分必要性设是A不变子空间，由 5分3, 是n级正定矩阵，证明：1A是正定矩阵；2证明：1设A特征值为因为是正定矩阵，故其特征值于是A特征值所以A是正定矩阵。 5分（2） 因为A特征值所以A+2E特征值 5分
