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人教版小学数学学问点大全 根本概念第一章 数和数的运算一、概念（一）整数1、整数的意义 自然数和0都是整数。 2、自然数 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3叫做自然数。 一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 3、计数单位 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是计数单位。其中“一”是计数的根本单位。 10个1是10，10个10是100每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4、数位 计数单位根据肯定的依次排列起来，它们所占的位置叫做数位。 5、整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先根据个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。 6、整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。7、一个较大的多位数，为了读写便利，经常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据须要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。 精确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的精确数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。 近似数：根据实际须要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。 例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。 四舍五入法：求近似数，看尾数最高位上的数是几，比5小就舍去，是5或大于5舍去尾数向前一位进1。这种求近似数的方法就叫做四舍五入法。 8、整数大小的比拟：位数多的那个数就大，假如位数一样，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数一样，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。以此类推。 （二）小数1、小数的意义 把整数1平均分成10份、100份、1000份 得到的非常之几、百分之几、千分之几 可以用小数表示。如1/10记作0.1,7/100记作0.07。 一位小数表示非常之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几 一个小数由整数局部、小数局部和小数点局部组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数局部，小数点左边的数叫做整数局部，小数点右边的数叫做小数局部。小数点右边第一位叫非常位，计数单位是非常之一（0.1）；第二位叫百分位，计数单位是百分之一（0.01）小数局部最大的计数单位是非常之一，没有最小的计数单位。小数局部有几个数位，就叫做几位小数。如0.36是两位小数，3.066是三位小数 在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数局部的最高分数单位“非常之一”和整数局部的最低单位“一”之间的进率也是10。 2、小数的读法：读小数的时候，整数局部根据整数的读法读，小数点读作“点”，小数局部从左向右顺次读出每一位数位上的数字。 3、小数的写法：写小数的时候，整数局部根据整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数局部顺次写出每一个数位上的数字。4、比拟小数的大小：先看它们的整数局部，整数局部大的那个数就大；整数局部一样的，非常位上的数大的那个数就大；非常位上的数也一样的，百分位上的数大的那个数就大5、小数的分类 纯小数：整数局部是零的小数，叫做纯小数。例如： 0.25 、 0.368 都是纯小数。 带小数：整数局部不是零的小数，叫做带小数。 例如： 3.25 、 5.26 都是带小数。 有限小数：小数局部的数位是有限的小数，叫做有限小数。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。 无限小数：小数局部的数位是无限的小数，叫做无限小数。 例如： 4.33 3.1415926 无限不循环小数：一个数的小数局部，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。 例如： 循环小数：一个数的小数局部，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。 例如： 3.555 0.0333 12.109109 一个循环小数的小数局部，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 例如： 3.99 的循环节是“ 9 ” ， 0.5454 的循环节是“ 54 ” 。 纯循环小数：循环节从小数局部第一位开场的，叫做纯循环小数。 例如： 3.111 0.5656 混循环小数：循环节不是从小数局部第一位开场的，叫做混循环小数。 3.1222 0.03333 写循环小数的时候，为了简便，小数的循环局部只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。假如循环 节只有一个数字，就只在它的上面点一个点。（三）分数1、分数的意义 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。 在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。 把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。2、分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母根据整数的读法来读。 3、分数的写法：先写分数线，再写分母，最终写分子，根据整数的写法来写。4、比拟分数的大小: 分母一样的分数，分子大的那个分数就大。 分子一样的分数，分母小的那个分数就大。 分母和分子都不同的分数，通常是先通分，转化成通分母的分数，再比拟大小。 假如被比拟的分数是带分数，先要比拟它们的整数局部，整数局部大的那个带分数就大；假如整数局部一样，再比拟它们的分数局部，分数局部大的那个带分数就大。 5、分数的分类根据分子、分母和整数局部的不同状况，可以分成：真分数、假分数、带分数 真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。 假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。 带分数：假分数可以写成整数及真分数合成的数，通常叫做带分数。6、分数和除法的关系及分数的根本性质 除法是一种运算，有运算符号；分数是一种数。因此，一般应叙述为被除数相当于分子，而不能说成被除数就是分子。 由于分数和除法有亲密的关系，根据除法中“商不变”的性质可得出分数的根本性质。 分数的分子和分母都乘以或者除以一样的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的根本性质，它是约分和通分的根据。7、约分和通分 分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。 把一个分数化成同它相等但分子、分母都比拟小的分数，叫做约分。 约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 通分的方法：先求出原来几个分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。8、倒 数 乘积是1的两个数互为倒数。 求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置。 1的倒数是1，0没有倒数（四）百分数1、百分数的意义表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率或百分比。百分数通常用"%"来表示。百分号是表示百分数的符号。 2、百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时根据整数的读法来读。3、百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。4、百分数及折数、成数的互化： 例如：三折就是30，七五折就是75，成数就是非常之几，如一成就是牐 闯砂俜质 褪0%，则六成五就是65%。5、纳税和利息： 税率：应纳税额及各种收入的比率。 利率：利息及本金的百分率。由银行规定按年或按月计算。 利息的计算公式：利息=本金×利率×时间6、百分数及分数的区分主要有以下三点： 意义不同。百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。”它只能表示两数之间的倍数关系，不能表示某一详细数量。如：可以说 1米 是 5米 的 20，不行以说“一段绳子长为20米。”因此，百分数后面不能带单位名称。分数是“把单位1平均分成若干份，表示这样一份或几份的数”。分数不仅 可以表示两数之间的倍数关系，如：甲数是3，乙数是4，甲数是乙数的；还可以表示肯定的数量，如：犌恕 米等。 应用范围不同。百分数在消费、工作和生活中，常用于调查、统计、分析及比拟。而分数经常是在测量、计算中，得不到整数结果时运用。 书写形式不同。百分数通常不写成分数形式，而采纳百分号“”来表示。如：百分之四十五，写作：45；百分数的分母固定为100，因此，不管百分数 的分子、分母之间有多少个公约数，都不约分；百分数的分子可以是自然数，也可以是小数。而分数的分子只能是自然数，它的表示形式有：真分数、假分数、带分 数，计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数，是假分数的要化成带分数。7、数的互化 小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。 分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保存三位小数。 一个最简分数，假如分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；假如分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。 小数化成百分数：只要把小数点向右挪动两位，同时在后面添上百分号。 百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左挪动两位。 分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保存三位小数)，再把小数化成百分数。 百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。 （五）数的整除 1、整除的意义整数a除以整数b(b 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。除尽的意义 甲数除以乙数，所得的商是整数或有限小数而余数也为0时，我们就说甲数能被乙数除尽，（或者说乙数能除尽甲数）这里的甲数、乙数可以是自然数，也可以是小数（乙数不能为0）。2、约数和倍数 假如数a能被数b（b 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是互相依存的。 一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。3、奇数和偶数 自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。 能被2整除的数叫做偶数。0也是偶数。 不能被2整除的数叫做奇数。 奇数和偶数的运算性质： 相邻两个自然数之和是奇数，之积是偶数。 奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数；奇数-奇数=偶数，奇数-偶数=奇数，偶数-奇数=奇数，偶数-偶数=偶数；奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数。 4、整除的特征 个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。 个位上是0或5的数，都能被5整除。 一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。 一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。 能被3整除的数不肯定能被9整除，但是能被9整除的数肯定能被3整除。 一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。 一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。5、质数和合数 一个数，假如只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 一个数，假如除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。 1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。假如把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。 6、分解质因数 质因数每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。 分解质因数把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法来分解质因数。先用能整除这个合数的质数去除，始终除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。 公因（约）数几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫这几个数的最大公因数。公因数只有1的两个数，叫做互质数。成互质关系的两个数，有下列几种状况：和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，假如几个数中随意两个都互质，就说这几个数两两互质。假如较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。假如两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。 公倍数 几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。其中最大的一个叫这几个数的最大公倍数。求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，始终除到所得的商只有公约数1为止，然后把全部的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数。 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的局部数）的公约数去除，始终除到互质（或两两互质）为止，然后把全部的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。假如较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。假如两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。二、性质和规律（一）商不变的规律 商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小一样的倍，商不变。 （二）小数的性质 小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。 （三）小数点位置的挪动引起小数大小的变更1、小数点向右挪动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右挪动两位，原来的数就扩大100倍；小数点向右挪动三位，原来的数就扩大1000倍 2、小数点向左挪动一位，原来的数就缩小10倍；小数点向左挪动两位，原来的数就缩小100倍；小数点向左挪动三位，原来的数就缩小1000倍 3、小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0"补足位。 （四）分数的根本性质 分数的根本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以一样的数（零除外），分数的大小不变。 （五）分数及除法的关系1、被除数÷除数= 被除数/除数 2、因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。 3、被除数 相当于分子，除数相当于分母。 三、运算法则（一）整数四则运算的法则1、整数加法：把两个数合并成一个数的运算叫做加法。 在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是局部数，和是总数。 加数+加数=和 一个加数=和另一个加数 2、整数减法：已知两个加数的和及其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。 在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是局部数。 加法和减法互为逆运算。 3、整数乘法：求几个一样加数的和的简便运算叫做乘法。 在乘法里，一样的加数和一样加数的个数都叫做因数。一样加数的和叫做积。 在乘法里，0和任何数相乘都得0. 1和任何数相乘都的任何数。 一个因数× 一个因数 =积 一个因数=积÷另一个因数 4、整数除法：已知两个因数的积及其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。 在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。 乘法和除法互为逆运算。 在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。 被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=商×除数 5、乘方:求几个一样因数的积的运算叫做乘方。例如 3 × 3 =32（二）小数四则运算1、小数加法：小数加法的意义及整数加法的意义一样。是把两个数合并成一个数的运算。 2、小数减法：小数减法的意义及整数减法的意义一样。已知两个加数的和及其中的一个加数，求另一个加数的运算. 3、小数乘法：小数乘整数的意义和整数乘法的意义一样，就是求几个一样加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的非常之几、百分之几、千分之几是多少。 4、小数除法：小数除法的意义及整数除法的意义一样，就是已知两个因数的积及其中一个因数，求另一个因数的运算。 （三）分数四则运算 1、分数加法：分数加法的意义及整数加法的意义一样。 是把两个数合并成一个数的运算。 2、分数减法：分数减法的意义及整数减法的意义一样。已知两个加数的和及其中的一个加数，求另一个加数的运算。 3、分数乘法：分数乘法的意义及整数乘法的意义一样，就是求几个一样加数和的简便运算。 4、分数除法：分数除法的意义及整数除法的意义一样。就是已知两个因数的积及其中一个因数，求另一个因数的运算。 （四）运算定律 1、加法运算定律 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即 。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（)() 。2、乘法运算定律 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a××a。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(a×b)××(b×c) 。乘法安排律：两个数的和及一个数相乘，可以把两个加数分别及这个数相乘，再把两个积相加，即()×××c 。 乘法安排律扩展： 两个数的差及一数相乘，可以先把它们及这个数分别相乘，再相减，即() ×××c3、减法运算定律 从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去全部减数的和，差不变，即() 。 一个数连续减去两个数，可以先减去第二个减数，再减去第一个减数，即。4、除法运算定律 一个数连续除以两个数，可以除以这两个数的集，即a÷b÷÷(b×c)。 一个数连续除以两个数，可以先除以第二除数，再除以第一个除数，即a÷b÷÷c÷b。5、其它()a÷b××c÷ba÷b×÷(b÷c)6、积的变更规律：在乘法中，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）若干倍，积也扩大（或缩小）一样的倍数。 推广：一个因数扩大A倍，另一个因数扩大B倍，积扩大倍。 一个因数缩小A倍，另一个因数缩小B倍，积缩小倍。7、商不变性质: 在除法中，被除数和除数同时扩大（或缩小）一样的倍数，商不变。m0 a÷(a×m) ÷(b×m)=(a÷m) ÷(b÷m)推广：被除数扩大（或缩小）A倍，除数不变，商也扩大（或缩小）A倍。 被除数不变，除数扩大（或缩小）A倍，商反而缩小（或扩大）A倍。利用积的变更规律和商不变规律性质可以使一些计算简便。但在有余数的除法中要留意余数。如：8500÷200= 可以把被除数、除数同时缩小100倍来除，即85÷2= ，商不变，但此时的余数1是被缩小100被后的，所以复原成原来的余数应当是100。 （五）计算方法 1、整数加法计算法则：一样数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。 2、整数减法计算法则：一样数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。 3、整数乘法计算法则：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。 4、整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；假如不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。假如哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。 5、小数乘法法则：先根据整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；假如位数不够，就用“0”补足。 6、除数是整数的小数除法计算法则：先根据整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；假如除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再接着除。 7、除数是小数的除法计算法则：先挪动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右挪动几位（位数不够的补“0”），然后根据除数是整数的除法法则进展计算。 8、同分母分数加减法计算方法:同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。 9、异分母分数加减法计算方法:先通分，然后根据同分母分数加减法的的法则进展计算。 10、带分数加减法的计算方法:整数局部和分数局部分别相加减，再把所得的数合并起来。 11、分数乘法的计算法则:分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 12、分数除法的计算法则:甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 （六） 运算依次 1、小数四则运算的运算依次和整数四则运算依次一样。 2、分数四则运算的运算依次和整数四则运算依次一样。 3、没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算；两级运算 先算乘、除法，后算加减法。 4、有括号的混合运算:先算小括号里面的，再算中括号里面的，最终算括号外面的。 5、第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。 6、第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算。 四、应用（一）整数和小数的应用1、简洁应用题 （1）简洁应用题：只含有一种根本数量关系，或用一步运算解答的应用题，通常叫做简洁应用题。 （2） 解题步骤： a 审题理解题意：理解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读题时，不丢字不添字边读边思索，弄明白题中每句话的意思。也可以复述条件和问题，扶植理解题意。 b选择算法和列式计算：这是解容许用题的中心工作。从题目中告知什么，要求什么着手，逐步根据所给的条件和问题，联络四则运算的含义，分析数量关系，确定算法，进展解答并标明正确的单位名称。 C检验：就是根据应用题的条件和问题进展检查看所列算式和计算过程是否正确，是否符合题意。假如发觉错误，立刻改正。2、复合应用题 （1）有两个或两个以上的根本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题。 （2）含有三个已知条件的两步计算的应用题。 求比两个数的和多（少）几个数的应用题。 比拟两数差及倍数关系的应用题。 （3）含有两个已知条件的两步计算的应用题。 已知两数相差多少（或倍数关系）及其中一个数，求两个数的和（或差）。 已知两数之和及其中一个数，求两个数相差多少（或倍数关系）。 （4）解答连乘连除应用题。 （5）解答三步计算的应用题。 （6）解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题，他们的数量关系、构造、和解题方式都及正式应用题根本一样，只是在已知数或未知数中间含有小数。d答案：根据计算的结果，先口答，逐步过渡到笔答。 (7) 解答加法应用题： a求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是多少。 b求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是多少。 （8) 解答减法应用题： a求剩余的应用题：从已知数中去掉一局部，求剩下的局部。 求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多少，或乙数比甲数少多少。 c求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少，乙数比甲数少多少，求乙数是多少。 (9) 解答乘法应用题： a求一样加数和的应用题：已知一样的加数和一样加数的个数，求总数。 b求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少，另一个数是它的几倍，求另一个数是多少。 ( 10) 解答除法应用题： a把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个数平均分成几份的，求每一份是多少。 b求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少，求可以分成几份。 C 求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少，求较大数是较小数的几倍。 d已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题。 （11）常见的数量关系： 总价= 单价×数量 路程= 速度×时间 工作总量=工作时间×工效 总产量=单产量×数量 3、典型应用题 具有独特的构造特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。 （1）平均数问题：平均数是等分除法的开展。 解题关键：在于确定总数量和及之相对应的总份数。 算术平均数：已知几个不相等的同类量和及之相对应的份数，求平均每份是多少。数量关系式：数量之和÷数量的个数=算术平均数。 加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。 数量关系式 （局部平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数。 差额平均数：是把各个大于或小于标准数的局部之和被总份数均分，求的是标准数及各数相差之和的平均数。 数量关系式：（大数小数）÷2=小数应得数 最大数及各数之差的和÷总份数=最大数应给数 最大数及个数之差的和÷总份数=最小数应得数。 例：一辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲地开往乙地，又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。 分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”，则汽车行驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地的速度为 100 ，所用的时间为 ，汽车从乙地到甲地速度为 60 千米，所用的时间是 ，汽车共行的时间为 + = , 汽车的平均速度为 2 ÷ =75 （千米）（2）归一问题：已知互相关联的两个量，其中一种量变更，另一种量也随之而变更，其变更的规律是一样的，这种问题称之为归一问题。 根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。 根据球痴单一量之后，解题采纳乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。 一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“单归一。” 两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一。” 正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。 反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。 解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。数量关系式：单一量×份数=总数量（正归一） 总数量÷单一量=份数（反归一） 例 一个织布工人，在七月份织布 4774 米 ， 照这样计算，织布 6930 米，须要多少天？ 分析：必需先求出平均每天织布多少米，就是单一量。 693 0 ÷（ 477 4 ÷ 31 ） =45 （天）（3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。 特点：两种相关联的量，其中一种量变更，另一种量也跟着变更，不过变更的规律相反，和反比例算法彼此相通。 数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位数量 = 另一个单位数量 单位数量×单位个数÷另一个单位数量= 另一个单位数量。 例 修一条水渠，原安排每天修 800 米 ， 6 天修完。实际 4 天修完，每天修了多少米？ 分析：因为要求出每天修的长度，就必需先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。 80 0 × 6 ÷ 4=1200 （米） （4）和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。 解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数。 解题规律：（和差）÷2 = 大数 大数差=小数 （和差）÷2=小数 和小数= 大数 例 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工作须要临时从乙班调 46 人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人？ 分析：从乙班调 46 人到甲班，对于总数没有变更，如今把乙数转化成 2 个乙班，即 9 4 12 ，由此得到如今的乙班是（ 9 4 12 ）÷ 2=41 （人），乙班在调出 46 人之前应当为 41+46=87 （人），甲班为 9 4 87=7 （人） （5）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。 解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）及标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。 解题规律：和÷倍数和=标准数 标准数×倍数=另一个数 例:汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？ 分析：大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆，这 7 辆也在总数 115 辆内，为了使总数及（ 5+1 ）倍对应，总车辆数应（ 115-7 ）辆 。 列式为（ 115-7 ）÷（ 5+1 ） =18 （辆）， 18 × 5+7=97 （辆） （6）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。 解题规律：两个数的差÷（倍数1 ）= 标准数 标准数×倍数=另一个数。 例 甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 ，乙绳长 29 米 ，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？ 各减去多少米？ 分析：两根绳子剪去一样的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍，实比乙绳多（ 3-1 ）倍，以乙绳的长度为标准数。列式（ 63-29 ）÷（ 3-1 ） =17 （米）乙绳剩下的长度， 17 × 3=51 （米）甲绳剩下的长度， 29-17=12 （米）剪去的长度。（7）行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清晰速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，理解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。 解题关键及规律： 同时同地相背而行：路程=速度和×时间。 同时相向而行：相遇时间=速度和×时间 同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追刚好间=路程速度差。同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×时间。例 甲在乙的后面 28 千米 ，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米 ，乙每小时行 9 千米，甲几小时追上乙？ 分析：甲每小时比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小时可以追近乙（ 16-9 ）千米，这是速度差。 已知甲在乙的后面 28 千米 （追击路程）， 28 千米 里包含着几个（ 16-9 ）千米，也就是追击所须要的时间。列式 2 8 ÷ （ 16-9 ） =4 （小时）（8）流水问题：一般是讨论船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比拟特别的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。 船速：船在静水中航行的速度。 水速：水流淌的速度。 顺水速度：船顺流航行的速度。 逆水速度：船逆流航行的速度。 顺速=船速水速 逆速=船速水速 解题关键：因为顺流速度是船速及水速的和，逆流速度是船速及水速的差，所以流水问题当作和差问题解答。解题时要以水流为线索。 解题规律：船行速度=（顺水速度+ 逆流速度）÷2流水速度=（顺流速度逆流速度）÷2路程=顺流速度× 顺流航行所需时间 路程=逆流速度×逆流航行所需时间 例 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米 ，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时 4 千米。求甲乙两地相距多少千米？ 分析：此题必需先知道顺水的速度和顺水所须要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用 2 小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为 284 × 2=20 （千米） 2 0 × 2 =40 （千米） 40 ÷（ 4 × 2 ） =5 （小时） 28 × 5=140 （千米）。 （9）复原问题：已知某未知数，经过肯定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做复原问题。 解题关键：要弄清每一步变更及未知数的关系。 解题规律：从最终结果 动身，采纳及原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。 根据原题的运算依次列出数量关系，然后采纳逆运算的方法计算推导出原数。 解答复原问题时留意视察运算的依次。若须要先算加减法，后算乘除法时别遗忘写括号。 例 某小学三年级四个班共有学生 168 人，假如四班调 3 人到三班，三班调 6 人到二班，二班调 6 人到一班，一班调 2 人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？ 分析：当四个班人数相等时，应为 168 ÷ 4 ，以四班为例，它调给三班 3 人，又从一班调入 2 人，所以四班原有的人数减去 3 再加上 2 等于平均数。四班原有人数列式为 168 ÷ 4-2+3=43 （人） 一班原有人数列式为 168 ÷ 4-6+2=38 （人）；二班原有人数列式为 168 ÷ 4-6+6=42 （人）三班原有人数列式为 168 ÷ 4-3+6=45 （人）。 （10）植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。但凡讨论总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。 解题关键：解答植树问题首先要推断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按根本公式进展计算。 解题规律：沿线段植树 棵树=段数+1