第三章习题答案.docx

第三章 效用论1. 已知一件衬衫的价格为80元，一份肯德基快餐的价格为20元，在某消费者关于这两种商品的效用最大化的平衡点上，一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率MRS是多少？解答：依据两商品的边际替代率MRS的定义公式，可以将一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率写成：MRS12X2/X1其中，X1表示肯德基快餐的份数；X2表示衬衫的件数；MRS12表示在维持效用程度不变的前提下，消费者增加一份肯德基快餐消费时所须要放弃的衬衫的消费数量。在该消费者实现关于这两种商品的效用最大化时，在平衡点上有MRS12P1/P2即有: MRS120.25它说明，在效用最大化的平衡点上,该消费者关于一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率MRS为0.25。2. 假设某消费者的平衡如图31(即教材中第96页的图322)所示。其中，横轴OX1与纵轴OX2分别表示商品1与商品2的数量，线段AB为消费者的预算线，曲线图31某消费者的平衡U为消费者的无差异曲线，E点为效用最大化的平衡点。已知商品1的价格P12元。(1)求消费者的收入；(2)求商品2的价格P2；(3)写出预算线方程；(4)求预算线的斜率；(5)求E点的MRS12的值。解答：(1)图中的横截距表示消费者的收入全部购置商品1的数量为30单位，且已知P12元，所以，消费者的收入I2元×3060元。(2)图中纵截距表示消费者的收入全部购置商品2的数量为20单位，且由(1)已知收入I60元，所以，商品2的价格P2I/2060/203元。(3)由于预算线方程的一般形式为：P1X1P2X2I所以，由(1)、(2)可将预算线方程详细写为：2X13X260(4)将(3)中的预算线方程进一步整理为X2X120。很清晰，预算线的斜率为。(5)在消费者效用最大化的平衡点E上，有MRS12，即无差异曲线斜率确实定值即MRS等于预算线斜率确实定值。因此，MRS123.请画出以下各位消费者对两种商品(咖啡与热茶)的无差异曲线，同时请对(2)与(3)分别写出消费者B与消费者C的效用函数。(1)消费者A宠爱喝咖啡，但对喝热茶无所谓。他总是宠爱有更多杯的咖啡，而从不在意有多少杯热茶。(2)消费者B宠爱一杯咖啡与一杯热茶一起喝，他从来不宠爱单独喝咖啡，或者单独喝热茶。(3)消费者C认为，在任何状况下，1杯咖啡与2杯热茶是无差异的。(4)消费者D宠爱喝热茶，但厌恶喝咖啡。解答：(1)依据题意，对消费者A而言，热茶是中性商品，因此，热茶的消费数量不会影响消费者A的效用程度。消费者A的无差异曲线见图32(a)。图32中的箭头均表示效用程度增加的方向。(2)依据题意，对消费者B而言，咖啡与热茶是完全互补品，其效用函数是Uminx1，x2。消费者B的无差异曲线见图32(b)。(3)依据题意，对消费者C而言，咖啡与热茶是完全替代品，其效用函数是U2x1x2。消费者C的无差异曲线见图32(c)。(4)依据题意，对消费者D而言，咖啡是厌恶品。消费者D的无差异曲线见图32(d)。图32关于咖啡与热茶的不同消费者的无差异曲线4.对消费者实行补助有两种方法：一种是发给消费者确定数量的实物补助，另一种是发给消费者一笔现金补助，这笔现金额等于按实物补助折算的货币量。试用无差异曲线分析法，说明哪一种补助方法能给消费者带来更大的效用。 图33解答：一般说来，发给消费者现金补助会使消费者获得更大的效用。其缘由在于：在现金补助的状况下，消费者可以依据自己的偏好来购置商品，以获得尽可能大的效用。如图33所示。在图33中，直线AB是按实物补助折算的货币量构成的现金补助状况下的预算线。在现金补助的预算线AB上，消费者依据自己的偏好选择商品1与商品2的购置量分别为x与x，从而实现了最大的效用程度U2，即在图33中表现为预算线AB与无差异曲线U2相切的平衡点E。而在实物补助的状况下，则通常不会到达最大的效用程度U2。因为，譬如，当实物补助的商品组合为F点(即两商品数量分别为x11、x21)，或者为G点(即两商品数量分别为x12与x22)时，则消费者能获得无差异曲线U1所表示的效用程度，明显，U1<U2。5. 已知某消费者每年用于商品1与商品2的收入为540元，两商品的价格分别为P120元与P230元，该消费者的效用函数为U3X1X，该消费者每年购置这两种商品的数量应各是多少？每年从中获得的总效用是多少？解答：依据消费者的效用最大化的平衡条件:其中，由U3X1X可得MU13X MU26X1X2于是有:整理得:X2X1(1)将式(1)代入预算约束条件:20X130X2540得：20X130·X1540解得：X9将X9代入式(1)得：X12因此，该消费者每年购置这两种商品的数量应当为9与12。将以上最优的商品组合代入效用函数得：U*3X(X)23×9×1223 888它说明该消费者的最优商品购置组合给他带来的最大效用程度为3 888。6. 假设某商品市场上只有A、B两个消费者，他们的需求函数各自为Q204P与Q305P。(1)列出这两个消费者的需求表与市场需求表。(2)依据(1)，画出这两个消费者的需求曲线与市场需求曲线。解答：(1)由消费者A的需求函数Q204P，可编制消费者A的需求表；由消费者B的需求函数Q305P，可编制消费B的需求表。至于市场的需求表的编制可以运用两种方法，一种方法是利用已得到消费者A、B的需求表，将每一价格程度上两个消费者的需求数量加总来编制市场需求表；另一种方法是先将消费者A与B的需求函数加总来求得市场需求函数，即市场需求函数QdQQ(204P)(305P)509P， 然后运用所得到的市场需求函数Qd509P来编制市场需求表。这两种方法所得到的市场需求表是一样的。按以上方法编制的3张需求表如下所示。消费者A的需求表PQ020116212384450,消费者B的需求表PQ0301252203154105560,市场的需求表PQdQAd+QBd0501412323234145560(2)由(1)中的3张需求表，所画出的消费者A与B各自的需求曲线以及市场的需求曲线如图34所示。图34在P5的范围，市场需求函数Qd509P成立；而当P5时，只有消费者B的需求函数才构成市场需求函数，即Qd305P。在此，须要特殊指出的是，市场需求曲线有一个折点，该点发生在价格P5与需求量Qd5的坐标点位置。关于市场需求曲线的这一特征，可以从两个角度来说明：一个角度是从图形来理解，市场需求曲线是市场上单个消费者需求曲线的程度加总，即在P5的范围，市场需求曲线由两个消费者需求曲线程度加总得到；而当P5时，只有消费者B的需求曲线发生作用，所以，他的需求曲线就是市场需求曲线。另一个角度是从需求函数看，7. 假定某消费者的效用函数为Uxeq f(3,8)1xeq f(5,8)2，两商品的价格分别为P1，P2，消费者的收入为M。分别求该消费者关于商品1与商品2的需求函数。解答：依据消费者效用最大化的平衡条件eq f(MU1,MU2)eq f(P1,P2)其中，由已知的效用函数Uxeq f(3,8)1xeq f(5,8)1可得MU1eq f(dTU,dx1)eq f(3,8)xeq f(5,8)1xeq f(5,8)2MU2eq f(dTU,dx2)eq f(5,8)xeq f(3,8)1xeq f(3,8)2于是，有eq f(f(3,8)xf(5,8)1xf(5,8)2,f(5,8)xf(3,8)1xf(3,8)2)eq f(P1,P2)整理得eq f(3x2,5x1)eq f(P1,P2)即有x2eq f(5P1x1,3P2)(1)将式(1)代入约束条件P1x1P2x2M，有P1x1P2·eq f(5P1x1,3P2)M解得xeq oal(*,1)eq f(3M,8P1)代入式(1)得xeq oal(*,2)eq f(5M,8P2)。所以，该消费者关于两商品的需求函数为eq blcrc (avs4alco1(xoal(*,1)f(3M,8P1)xoal(*,2)f(5M,8P2)8. 令某消费者的收入为M，两商品的价格为P1、P2。假定该消费者的无差异曲线是线性的，且斜率为a。求该消费者的最优商品消费组合。解答：由于无差异曲线是一条直线，且其斜率确实定值MRS12eq f(dx2,dx1)a，又由于预算线总是一条直线，且其斜率为eq f(P1,P2)，所以，该消费者的最优商品组合有以下三种状况，其中第一、二种状况属于边角解，如图35所示。第一种状况：当MRS12eq f(P1,P2)，即aeq f(P1,P2)时，如图35(a)所示，效用最大化的平衡点E位于横轴，它表示此时的最优解是一个边角解，即xeq oal(,1)eq f(M,P1)，xeq oal(*,2)0。也就是说，消费者将全部收入都购置商品1，并由此到达最大的效用程度，该效用程度在图中用以实线表示的无差异曲线标出。明显，该效用程度高于在既定的预算线上的其他任何一个商品组合所能到达的效用程度，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用程度。图35第二种状况：当MRS12eq f(P1,P2)，即aeq f(P1,P2)时，如图35(b)所示，效用最大化的平衡点E位于纵轴，它表示此时的最优解是一个边角解，即xeq oal(,1)0，xeq oal(,2)eq f(M,P2)。也就是说，消费者将全部收入都购置商品2，并由此到达最大的效用程度，该效用程度在图中用以实线表示的无差异曲线标出。明显，该效用程度高于在既定的预算线上的其他任何一个商品组合所能到达的效用程度，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用程度。第三种状况：当MRS12eq f(P1,P2)，即aeq f(P1,P2)时，如图35(c)所示，无差异曲线与预算线重叠，效用最大化的平衡点可以是预算线上任何一点的商品组合，即最优解为xeq oal(,1)0，xeq oal(,2)0，且满意P1x1P2x2M。此时所到达的最大效用程度在图中用以实线表示的无差异曲线标出，明显，该效用程度高于其他任何一条在既定预算约束条件下可以实现的用虚线表示的无差异曲线的效用程度。9. 假定某消费者的效用函数为Uq0.53M，其中，q为某商品的消费量，M为收入。求：(1)该消费者的需求函数；(2)该消费者的反需求函数；(3)当peq f(1,12)，q4时的消费者剩余。解答：(1)由题意可得，商品的边际效用为MUeq f(U,q)0.5q0.5货币的边际效用为eq f(U,M)3于是，依据消费者平衡条件eq f(MU,p)，有eq f(0.5q0.5,p)3整理得需求函数为qeq f(1,36p2)。(2)由需求函数qeq f(1,36p2)，可得反需求函数为peq f(1,6r(q)(3)由反需求函数peq f(1,6r(q)，可得消费者剩余为CSeq oal(q,0)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,6r(q)dqpqeq f(1,3)qeq f(1,2)eq oal(q,0)pqeq f(1,3)qeq f(1,2)pq将peq f(1,12)，q4代入上式，则有消费者剩余CSeq f(1,3)×4eq f(1,2)eq f(1,12)×4eq f(1,3)10. 设某消费者的效用函数为柯布道格拉斯类型的，即Uxy，商品x与商品y的价格分别为Px与Py，消费者的收入为M，与为常数，且1。(1)求该消费者关于商品x与商品y的需求函数。(2)证明当商品x与y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，消费者对两商品的需求关系维持不变。(3)证明消费者效用函数中的参数与分别为商品x与商品y的消费支出占消费者收入的份额。解答：(1)由消费者的效用函数Uxy，算得eq blc rc (avs4alco1(MUxf(U,x)x1yMUyf(U,y)xy1)消费者的预算约束方程为PxxPyyM(1)依据消费者效用最大化的平衡条件eq blcrc (avs4alco1(f(MUx,MUy)f(Px,Py)PxxPyyM)(2)得eq blcrc (avs4alco1(f(x1y,xy1)f(Px,Py)PxxPyyM)(3)图36解方程组(3)，可得xM/Px(4)yM/Py(5)式(4)与式(5)即为消费者关于商品x与商品y的需求函数。上述需求函数的图形如图36所示。(2)商品x与y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例，相当于消费者的预算线变为PxxPyyM(6)其中为一非零常数。此时消费者效用最大化的平衡条件变为eq blcrc (avs4alco1(f(x1y,xy1)f(Px,Py)PxxPyyM)(7)由于0，故方程组(7)化为eq blcrc (avs4alco1(f(x1y,xy1)f(Px,Py)PxxPyyM)(8)明显，方程组(8)就是方程组(3)，故其解就是式(4)与式(5)。这说明，消费者在这种状况下对两商品的需求关系维持不变。(3)由消费者的需求函数式(4)与式(5)，可得Pxx/M(9)Pyy/M(10)关系式(9)的右边正是商品x的消费支出占消费者收入的份额。关系式(10)的右边正是商品y的消费支出占消费者收入的份额。故结论被证明。11.已知某消费者的效用函数为UX1X2，两商品的价格分别为P14，P22，消费者的收入是M80。如今假定商品1的价格下降为P12。求：(1)由商品1的价格P1下降所导致的总效应，使得该消费者对商品1的购置量发生多少变更？(2)由商品1的价格P1下降所导致的替代效应，使得该消费者对商品1的购置量发生多少变更？ (3)由商品1的价格P1下降所导致的收入效应，使得该消费者对商品1的购置量发生多少变更？ 解答：利用图37解答此题。在图37中，当P14，P22时，消费者的预算线为AB，效用最大化的平衡点为a。当P12，P22时，消费者的预算线为AB，效用最大化的平衡点为b。图37(1)先考虑平衡点a。依据效用最大化的平衡条件MRS12eq f(P1,P2)，其中，MRS12eq f(MU1,MU2)eq f(X2,X1)，eq f(P1,P2)eq f(4,2)2，于是有eq f(X2,X1)2，X1eq f(1,2)X2。将X1eq f(1,2)X2代入预算约束等式4X12X280，有4·eq f(1,2)X22X280解得X220进一步得X110则最优效用程度为U1X1X210×20200再考虑平衡点b。当商品1的价格下降为P12时，与上面同理，依据效用最大化的平衡条件MRS12eq f(P1,P2)，有eq f(X2,X1)eq f(2,2)，X1X2。将X1X2代入预算约束等式2X12X280，解得X120，X220。从a点到b点商品1的数量变更为X1201010，这就是P1变更引起的商品1消费量变更的总效应。(2)为了分析替代效应，作一条平行于预算线AB且相切于无差异曲线U1的补偿预算线FG，切点为c点。在平衡点c，依据MRS12eq f(P1,P2)的平衡条件，有eq f(X2,X1)eq f(2,2)，X1X2。将X1X2代入效用约束等式U1X1X2200，解得X114，X214(保存整数)。从a点到c点的商品1的数量变更为X114104，这就是P1变更引起的商品1消费量变更的替代效应。(3)至此可得，从c点到b点的商品1的数量变更为X120146，这就是P1变更引起的商品1消费量变更的收入效应。当然，由于总效应替代效应收入效应，故收入效应也可由总效应X110减去替代效应X14得到，仍为6。12.某消费者是一个风险回避者，他面临是否参加一场赌博的选择：假设他参加这场赌博，他将以5%的概率获得10 000元，以95%的概率获得10元；假设他不参加这场赌博，他将拥有509.5元。那么，他会参加这场赌博吗？为什么？解答：该风险回避的消费者不会参加这场赌博。因为假设该消费者不参加这场赌博，那么，在无风险条件下，他可拥有一笔确定的货币财宝量509.5元，其数额刚好等于风险条件下的财宝量的期望值10 000×5%10×95%509.5元。由于他是一个风险回避者，所以在他看来，作为无风险条件下的一笔确定收入509.5元的效用程度，确定大于风险条件下这场赌博所带来的期望效用。13. 基数效用论者是如何推导需求曲线的？解答：要点如下：(1)基数效用论者提出的商品的边际效用递减规律是其推导需求曲线的根底。他们指出，在其他条件不变的前提下，随着消费者对某商品消费数量的连续增加，该商品的边际效用是递减的，所以，消费者对每增加一单位商品所情愿支付的最高价格(即需求价格)也是递减的，即消费者对该商品的需求曲线是向右下方倾斜的。(2)在只考虑一种商品的前提下，消费者实现效用最大化的平衡条件是eq f(MU,P)。由此平衡条件动身，可以计算出需求价格，并推导与理解(1)中的消费者的向右下方倾斜的需求曲线。14. 用图说明序数效用论者对消费者平衡条件的分析，以及在此根底上对需求曲线的推导。解答：要点如下：(1)本题涉及的两个根本分析工具是无差异曲线与预算线。无差异曲线是用来表示消费者偏好一样的两种商品的全部组合的，其斜率确实定值可以用商品的边际替代率MRS来表示。预算线表示在消费者收入与商品价格给定的条件下，消费者全部收入所能购置到的两种商品的全部组合，其斜率为eq f(P1,P2)。(2)消费者效用最大化的平衡点发生在一条给定的预算线与多数条无差异曲线中的一条相切的切点上，于是，消费者效用最大化的平衡条件为：MRS12eq f(P1,P2)，或者eq f(MU1,P1)eq f(MU2,P2)。(3)在(2)的根底上进展比拟静态分析，即令一种商品的价格发生变更，便可以得到该商品的价格消费曲线。价格消费曲线是在其他条件不变的前提下，与某一种商品的不同价格程度相联络的消费者效用最大化的平衡点的轨迹。如图38(a)所示。图38(4)在(3)的根底上，将一种商品的不同价格程度与相应的最优消费量即需求量之间的一一对应关系描绘在同一坐标平面上，就可以得到需求曲线，如图38(b)所示。明显有：需求曲线一般斜率为负，表示商品的价格与需求量成反方向变更；而且，在需求曲线上与每一价格程度相对应的需求量都是可以在该价格程度给消费者带来最大效用的最优消费数量。15. 分别用图分析正常物品、低档物品与吉芬物品的替代效应与收入效应，并进一步说明这三类物品的需求曲线的特征。解答：要点如下：(1)当一种商品的价格发生变更时所引起的该商品需求量的变更可以分解为两个局部，它们分别是替代效应与收入效应。替代效应是指仅考虑商品相对价格变更所导致的该商品需求量的变更，而不考虑实际收入程度(即效用程度)变更对需求量的影响。收入效应则相反，它仅考虑实际收入程度(即效用程度)变更导致的该商品需求量的变更，而不考虑相对价格变更对需求量的影响。(2)无论是分析正常物品还是低档物品，甚至吉芬物品的替代效应与收入效应，都须要运用的一个重要分析工具即补偿预算线。在图39中，以正常物品的状况为例加以说明。图39中，初始的消费者效用最大化的平衡点为a点，相应的正常物品(即商品1)的需求为x11。价格P1下降以后的效用最大化的平衡点为b点，相应的需求量为x12。即P1下降的总效应为x11x12，且为增加量，故有总效应与价格成反方向变更。图39然后，作一条平行于预算线AB且与原有的无差异曲线U1相切的补偿预算线FG(以虚线表示)，相应的效用最大化的平衡点为c点，而且留意，此时b点的位置确定处于c点的右边。于是，依据(1)中的阐述，则可以得到：给定的代表原有效用程度的无差异曲线U1与代表P1变更前后的不同相对价格的(即斜率不同的)预算线AB、FG分别相切的a、c两点，表示的是替代效应，即替代效应为x11x13，且为增加量，故有替代效应与价格成反方向变更；代表不同效用程度的无差异曲线U1与U2分别与两条代表一样相对价格的(即斜率一样的)预算线FG、AB相切的c、b两点，表示的是收入效应，即收入效应为x13x12，且为增加量，故有收入效应与价格成反方向变更。最终，由于正常物品的替代效应与收入效应都分别与价格成反方向变更，所以，正常物品的总效应与价格确定成反方向变更，由此可知，正常物品的需求曲线是向右下方倾斜的。(3)关于低档物品与吉芬物品。在此略去关于这两类商品的详细的图示分析。须要指出的要点是，这两类商品的替代效应都与价格成反方向变更，而收入效应都与价格成同方向变更，其中，大多数低档物品的替代效应大于收入效应，而低档物品中的特殊商品吉芬物品的收入效应大于替代效应。于是，大多数低档物品的总效应与价格成反方向变更，相应的需求曲线向右下方倾斜，低档物品中少数的特殊商品即吉芬物品的总效应与价格成同方向的变更，相应的需求曲线向右上方倾斜。(4)基于(3)的分析，所以，在读者自己利用与图39相像的图形来分析低档物品与吉芬物品的替代效应与收入效应时，在一般的低档物品的状况下，确定要使b点落在a、c两点之间，而在吉芬物品的状况下，则确定要使b点落在a点的左边。唯有如此作图，才符合(3)中理论分析的要求。第 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