数一常考题型和知识点归纳.docx

第二篇 高等数学第一章 函数, 极限, 连续思索的鱼点拨“函数, 极限, 连续这一局部的概念及运算是高等数学的根底，它们是每年必考的内容之一，数学一中本局部分数平均每年约占高等数学局部的10. 本章的考题类型及学问点大致有： 1.求函数的表达式： (1)给出函数在某一区间上的表达式及某些条件，求该函数在另一区间上的表达式(数学(二)考过)； (2)求分段复合函数的表达式(1990一(3)题考过，数学(二)考过屡次). 2.数列的极限的概念理解及运算定理： (1)数列极限的概念的理解及定义的等价表达(数学(二)考过)； (2)运算定理的正确运用及性质的正确理解(2003二(2)题)； (3)求数列的极限： 化成积分和式求极限(1998七题)； 夹逼定理求极限(1998七题，2005二(7)题)； 单调有界定理求极限或探讨极限的存在性(2006三(16)题，2021一(4)题)； 化成函数极限求极限(2006三(16)题). 3.函数的极限： (1)求七种待定型的极限(1998一(1)题，1999一(1)题，2003一(1)题，2006一(1)题，2021三(15)题，2003三题，1997五题)； (2)运算定理的正确运用及性质的正确理解(1997一(1)题，2000三题，2004二(8)题)： (3)某些极限求其中的某些参数(2021一(1)题)； (4)某函数的极限，求及此有关的另一函数的极限(数学(二)考过). 4.无穷小的比拟： (1)给了假设干个无穷小，比拟它们的阶的上下(2004二(7)题，2007一(1)题)； (2)给了两个无穷小，一个是另一个的等价(或高阶)无穷小，求其中的参数(2002三题). 5.函数的连续及连续： (1)探讨初等函数的连续点及类型(数学(二)考过屡次)； (2)探讨分段函数的连续性或由连续性确定其中的参数(数学(二)考过屡次)； (3)函数以极限形式表达，探讨该函数的连续性(数学(二)考过屡次)； (4)某些函数的连续性(连续点)，探讨及此有关的另一些函数的连续性(连续点)(数学(二)考过屡次)； (5)连续函数介值定理的应用(2005三(18)题，2004三(18)题，数学(二)考过屡次).读者请留意，上面提到的类型，数学(一)有很多未曾考到，所以本章尚有相当大的命题空间.其次，以后各章要用到本章内容，从而驾驭本章内容是非常根底, 非常重要的.第二章 一元函数微分学思索的鱼点拨导数及微分是微分学的根本概念，导数及微分的计算是微分学的根本计算，导数及微分的应用利用导数探讨函数的性质是微分学的根本内容，每年必考，本局部分数在数学中平均约占高等数学局部的17. 本章的考题类型及学问点大致有： 1.求导数及微分，导数的几何意义： (1)显函数求导数(未考过)； (2)隐函数求导数(2002一(2)题，2021二(10)题)； (3)参数式求导数(1997一(3)题)； (4)在直角坐标中求切线斜率, 切线方程(2004一(1)题)，2002四题，2003三题，2005三(17)题)； (5)在极坐标中求切线斜率, 切线方程(1997一(3)题)； (6)奇, 偶, 周期函数的导数(2005二(8)题)； (7)变限积分求导数(2002四题，1997一(2)题，1998二(1)题，1999二(1)题，1997五题)； (8)导数的变量变换(变量变换改变微分方程)(2003七题). 2.按定义求一点处的导数，可导及连续的关系. (1)探讨分段函数在分界点处的可导性或求导数(2005二(7)题)； (2)按定义探讨某点的可导性(1999二(2)题)； (3)某极限存在探讨某点可导，或反之，或利用导数求极限，利用极限求某点处的导数(200l二(3)题；2007 (4)题；2021三(18)题)； (4)某点可导，求其中参数(2002三题)； (5)肯定值函数求导数(1998二(2)题)； (6)由极限表示的函数的可导性(2005一(7)题). 3.探讨函数单调性, 极值, 凹凸性, 拐点, 渐近线, 曲率： (1)单调性及极值(2003二(1)题，2004二(8)题)； (2)增量, 导数及微分的关系(1998二(3)题，2006二(7)题)；(3)凹向及拐点(2005三(17)题)； (4)渐近线(20051)题，2007一(2)题)； (5)曲率(1991九题考过). 4.中值定理及其应用： (1)不等式的证明(2000二(1)题，1999六题，2004三(15)题)； (2)零点问题(2005三(18)题，1998九题，2000九题，2007三(19)题)； (3)有关函数及导数的关系(2001二(1)题，2002二(3)题，2007一(5)题)； (4)有关“中值的极限问题(2001七题)； (5)泰勒公式的应用(1999六题，2001七题，2002三题)； (6)中值定理的证明(2021三(18)题).由上列举可见，本章的学问点及考题类型几乎全部考到，频率出现多的是：变限积分求导数，按定义求导，不等式及零点问题，泰勒公式的应用.在按定义求导数时，应及运用洛必达法那么的条件相区分.其他频率出现少的，也应留意，例如导数的几何意义, 单调性及极值, 肯定值函数求导数等.第三章 一元函数积分学思索的鱼点拨定积分及不定积分的概念及运算是积分学的根底，利用定积分表示及计算一些几何, 物理量是积分学的根本应用，每年必考，本局部分数在数学一中平均约占高等数学局部的17. 本章的考题类型及学问点大致有： 1.不定积分及定积分的计算： (1)分段函数求不定积分(未考过)； (2)分段函数求定积分及变限积分(数学(二)考过)； (3)计算带肯定值号的定积分(数学(二)考过)； (4)计算般不定积分(2004 (2)题，2001三题)； (5)计算一般定积分(2000一(1)题，2007二(11)题)： (6)计算反常积分(2002 (1)题)； (7)计算被积函数含有导数或变限积分的积分(2005三(17)题). 2.定积分的应用： (1)几何应用(1997二(2)题，2003三题，2007一(3)题，2021一(3)题，2021三(16)题，2021三(17)题)； (2)物理应用(1997七题，2003六题)； (3)利用积分和式求极限(1998七题). 3.定积分(变限积分)的证明题： (1)不等式问题(包括估值问题)(1997二(2)题，1997二(3)题)； (2)零点问题(1998九题，2000九题)； (3)关于奇, 偶函数, 周期函数的证明题(1999二(1)题，2005二(8)题，2021三(18)题)： (4)变限函数关于单调性的题(2021一(3)题)； (5)变限函数求导问题(1999一(2)题，1998二(1)题，1997五题，2021一(1)题)； (6)积分中值定理的应用(2000九题).本章虽然各类型大都考过，但变换详细函数去命题，考题空间仍很大，读者留意举一反三，驾驭一般方法.第四章 向量代数及空间解析几何思索的鱼点拨 向量代数主要是向量的表示法及向量的代数运算(加减, 数乘, 点积, 叉积)，空间锯析几何主要是曲面及空间曲线的方程，重点是平面, 直线以及常见曲面(球面, 柱面以及旋转面等)的方程，历年考题中干脆对本局部命制的题目不多，且多为选择题或填空题. 本章的考题类型及学问点大致有： 1.关于向量运算： (1)给出一些关系求另一些关系(1995一(3)考过)； (2)两向量平行, 垂直, 交角, 模等问题(未考过)； (3)三点共线及三向量共面问题(未考过)； 2.直线及平面问题(大都及空间曲面的切平面, 空间曲线的切线相结合的问题)： (1)求直线方程(1998三题)，2000一(2)题，1992二(3)考过)； (2)求平面方程(1997四(1)题，2000一(2)题，2003一(2)题，1989二(2)题，1990一(1)题，1991一(3)题，1994一(2)题，1996一(2)题都考过)； (3)平面及直线的相对位置(平行, 垂直, 交角等)(1993二(3)题，1995二(1)题都考过)； (4)点到平面的距离(2006一(4)题，1999八题). 3.二次曲面的题(大都及第六章相结合，给出二次曲面，要求知道它的位置及大致图形.二次曲面中常用的图形为椭球面(包括球面), 旋转抛物面, 锥面, 母线及坐标面平行的柱面.求旋转面的方程(2021三(17)题).由以上列举看出，近十年来本章单独考的不多，及第五章相结合的考过四次.应当说是属于不常考的章节.但根本公式, 根本方法仍应驾驭.第五章 多元函数微分学思索的鱼点拨 多元函数微分学包括有假设干根本概念及其联系，多元函数的复合函数求导法及其应用，梯度向量及方向导数的计算方法，多元函数微分学的几何应用(求空间曲线的切线, 法平面及空间曲面的切平面, 法线)极值推断及最值问题等，在历年考试中多元函数微分学的平均分数约占高等数学的l7，也是比拟重要的. 本章的考题类型及学问点大致有： 1.求偏导数，全微分，方向导数，梯度，散度，旋度： (1)给出详细函数关系的复合函数求偏导数或全微分(1994 (3)考过)； (2)给出抽象函数关系的复合函数求偏导数或全微分(1998一(2)题，2005二(9)题，2006二(10)题，2000四题，2001四题，2007二(12)题，2006三(15)题，2021二(9)题)； (3)给出方程经变量变换化简方程(1997四(2)题，1996四(2)也考过)； (4)给出详细的方程求隐函数的偏导数或全微分(199l一(2)考过)； (5)给出抽象的方程(方程组)求隐函数的偏导数或全微分(1999三题)； (6)求方向导数，梯度，散度，旋度(200l一(2)题，2005一(3)题，(2002八题，2021一(2)题，1992一(2)也考过). 2.函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性及偏导数的连续性的探讨及它们之间的因果关系： (1)函数在点处极限不存在性探讨(1997二(1)题)； (2)隐函数的存在性(2005二(10)题)； (3)偏导数的存在性(1997二(1)题)； (4)全微分的存在性(200l二(2)题)； (5)函数在一点处连续性，偏导数存在性，全微分存在性及偏导数的连续性的因果关系探讨(2002二(1)题). 3.曲面的切平面，曲线的切线： (1)曲面的法向量, 切平面及法线(2000一(2)题，2003一(2)题，1997四(1)题，1999八题，1993一(2)也考过，1994一(2)也考过)；(2)曲线的切向量, 切线及曲线的法平面(2001二(2)题). 4.极值及最值： (1)按定义探讨极值(2003二(3)题)； (2)极值的必要条件，驻点的探讨(2006二(10)题)； (3)求极值(含拉格朗日乘数法)及最值(2002八题，2007三(17)题，2021三(17)题，2021三(15)题)； (4)求隐函数的极值(2004三(19)题).由以上可见，本章各学问点大都考过，主要是计算.考题频率最高的是抽象函数关系的复合函数求偏导数，其次是方向导数，曲面的法向量及切平面(及空间解析几何相合).关于概念(见以上“2”)方面的题，应引起留意.关于“4”极值及最值的题，出题频率虽然不高，但有肯定的综合性及难度，从考试结果看，这局部碍分不志向，考生不应无视.第六章 多元函数积分学思索的鱼点拨 多元函数积分学包括各类积分的概念, 计算和应用；格林公式, 高斯公式和斯托克斯公式及其应用；平面曲线积分及路径无关及全微分式的原函数问题等.在历年的考试中多元函数积分学占有最重要的地位，平均分数约占高等数学总分的14. 本章的考题类型及学问点大致有： 1.二重积分的计算及应用： (1)二重积分在直角坐标中的计算(单独未考过，在其他题中出现过)； (2)二重积分在极坐标中的计算及直极互化(2006二(8)题，2001八题，2005三(15)题，2006三(15)题)； (3)交换积分次序(2001一(3)题，2004二(10)题，1990一(4)题考过)； (4)肯定值函数的二重积分(二次积分)的计算(未考过)； (5)分块函数的二重积分(二次积分)的计算(2002五题，2005三题)； (6)利用对称性, 轮换对称性化简计算(2003五题，2006三(15)题，2021(2)题)； (7)二重积分的证明题及二重积分的估值(2003五题)； (8)三重积分的应用(2001八题). 2.三重积分的计算及应用： (1)三重积分在直角坐标中的计算(单独未考过)； (2)三重积分在球面坐标及柱面坐标中的计算(2005一(4)题，2006一(3)题，1997三(1)题，2000八题，2003八题，2021二(12)题)； (3)利用对称性, 轮换对称性化简计算(2000八题，1995三(2)题考过)； (4)三重积分的应用(2000八题). 3.化多重积分为定积分： (1)化二重积分为变限积分求导问题(2004二(10)题)； (2)化二重积分为定积分求其中未知函数(数学(三)1997八题考过)； (3)化其它积分为定积分或二重积分的证明题(2003五题，2003八题). 4.第一型曲线积分及第型曲面积分：(1)计算(1999八题，2021二(11)题)； (2)利用对称性, 轮换对称性化简(1998一(3)题，2000二(2)题，2007二(14)题)； (3)应用(未考过). 5.平面第二型曲线积分及应用： (1)用参数式计算(2004(3)题，2000五题，2003五题)； (2)用格林公式或加, 减弧段格林公式法(1999四题，2003五题，2021三(16)题)； (3)路径无关问题及原函数法(1998四题，1999四题，2002六题，2005三(19)题，2006三(19)题，2007一(6)题)； (4)及微分方程有关的问题(2005三(19)题)； (5)挖洞法(2000五题)； (6)应用(1990九题考过). 6.第二型曲面积分及应用： (1)用投影法计算(1998六题，2001六题，2004三(17)题)； (2)用高斯公式或加, 减曲面片高斯公式法(2005一(4)题，2006一(3)题，1998六题，2000六题，2004三(17)题，2007三(18)题，2021二(12)题)； (3)转换投影法或化成第一型曲面积分计算(2001六题，2004三(17)题)； (4)挖洞法(2021三(19)题)； (5)及微分方程有关的问题(2000六题). 7.空间第二型曲线积分： (1)用参数式计算(1997三(2)题，2001六题)； (2)用斯托克斯公式计算(1997三(2)题，2001六题)； 由以上可见，本章在数学(一)中的地位至关重要，考分占总分的16，考得最多的是(1)二重积分：包括极坐标中计算，交换积分次序，利用对称性, 轮换对称性化简计算； (2)三重积分：包括在球面坐标, 柱面坐标中的计算，利用对称性, 轮换对称性化简计算； (3)平面第二型曲线积分：包括用参数式计算，用格林公式或加, 减弧段格林公式计算，路径无关问题的探讨及路径无关问题计算该积分，原函数法及求原函数，及微分方程相结合的题； (4)第二型曲面积分：包括用投影法计算，用高斯公式或加, 减曲面片高斯公式法计算，转换投影法计算或化成第一型曲面积分计算，及微分方程相结合的题.以上各类题的计算，都有一套标准的方法.关键是选择便利而有效的方法，可以起到事半功倍的作用.以上诸项中，“3”以及“5(3)，有时涉及一些理论，可能会有点困难.但是，正如俗话所说“熟能生巧，熟了也就不难了.第七章无穷级数思索的鱼点拨 级数局部包括级数的假设干根本概念，判别级数的敛散性(包括条件收敛及肯定收敛)的各种方法，幂级数的收敛性及和函数的性质，幂级数收敛域的求法，求幂级数的和函数及求函数的幂级数绽开式的方法，还有傅里叶级数和它的和函数等.此局部在历年试题中的平均分数约占高等数学总分的l6. 假设分为数值级数, 幂级数及傅氏级数三大局部，那么幂级数局部考得最多，占级数总分的一半还强，求幂级数的收敛域，实质上就是级数敛散性的推断，假设把它划入级数敛散性推断局部，这局部的分数将接近级数总分的一半. 求一般函数项级数的收敛域在考试大纲中也是要求的，但从未考过.不过这个问题实质上也是级数敛散性的推断问题. 本章的考题类型及学问点大致有： 1.数项级数判敛： (1)给出详细的数项级数判敛(1999二(3)题考过，1992二(2)题考过，1995二(4)题考过； (2)某抽象数项级数的敛散性，探讨及此有关的另一些级数的敛散性(2000二(3)题)，2002二(2)题，2004二(9)题，2006二(9)题，2021一(4)题)； (3)通项由某些条件(详细或抽象)给出，探讨该级数的敛散性(1997六题，1998八题，1999九题，2004三(18)题)； (4)探讨交织级数或随意项级数的敛散性(2000七题). 2.关于幂级数： (1)求幂级数的收敛半径, 收敛区间及收敛域(2000七题，2005三(16)题，2021二(11)题，1995一(4)题考过)； (2)幂级数在某点收敛或发散或条件收敛，或收敛半径，探讨另一及此有关的幂级数在另一点处的敛散性，或求收敛半径, 收敛区间(的范围)(1997一(2)题)； (3)将函数绽开成xx0的幂级数并求收敛域，并求某数项级数的和(2001五题，2003四题，2006三(17)题)；(4)求幂级数的和函数或可通过幂级数求和的数项级数求和(2005三(16)题，1990四题考过)； (5)验证或设某幂级数满意某微分方程从而求此幂级数的和函数(2002七题，2007三(20)； (6)求某些数项级数的和(1999九题，2021三(16)题). 3.傅里叶级数： (1)求傅里叶系数或傅里叶级数(2003一(3)题，2021三(19)，1991五题考过，1993一(3)题考过)； (2)按正弦绽开或按余弦绽开求其傅里叶系数或傅里叶级数(1995四(2)题考过)； (3)按狄利克雷定理求傅里叶系数在某点的收敛和(1999二(3)题，1989二(4)题考过，1992一(3)题考过)； (4)由傅里叶级数探讨及此有关的另一些数项级数的和(2021三(19)题，1991五题考过)由以上可见，数项级数判敛问题中的1(1)，早期考过几次，后来不考了.近期考得多的是1(2)及1(3).函数绽开成幂级数并探讨其成立范围，以及简洁幂级数求和，仍是考试热点，考生对此应引起足够重视.函数绽开成幂级数采纳间接绽开法，有一套标准步骤.简洁幂级数求和，虽说有一点难度，但作为考研来说，处理的手法还是有法可依.傅里叶级数的考题较简洁，由于求傅里叶级数计算量大，所以考得较少，按狄利克雷定理求某点处的收敛和，相对说来考得较多，考生对此应足够重视.第八章 常微分方程 思索的鱼点拨 微分方程问题是积分问题的延长，有着极为广泛的应用，是历年考研必考内容.在高等数学局部，微分方程在数学一中平均每年所占分数约为15. 本章的考试类型及学问点大致有： 1.12种典型类型求解以及自由项为特殊情形时的线性非齐次方程特解y的设定： (1)一阶5种类型求解(2005 (2)题，2006一(2)题，2021二(9)题，1992一(4)题，1993二(4)题，1993三(3)题，1994五题均考过)； (2)二阶可降阶3种类型求解(2000一(3)题，2002一(3)题)； (3)二阶及高阶常系数线性齐次方程及非齐次方程3种类型求解(1999 (3)题，2007二(13)题，2021一(3)题，2021二(10)题)； (4)欧拉方程求解(2004一(4)题)； (5)y的设定(数学(二)考过). 2.线性非齐次微分方程及对应的线性齐次微分方程的解的关系： (1)非齐次方程的解求对应的齐次方程的(通)解(未考过)； (2)非齐次方程足够多的解求该非齐次方程的通解(1989二(3)题考过，2006数学(三), (四)考过. 3.(通)解求微分方程： (1)未说明方程是什么形式，通解求微分方程(未考过)； (2)二阶(或一阶或更高阶)线性方程的通解(或假设干个线性无关的特解)求该方程(2001 (1)题，2021二(10)题). 4.自由项为肯定值函数或有连续点的函数的线性微分方程求解： (1)自由项为肯定值函数的情形(未考过)； (2)自由项为有跳动连续点的函数的情形(数学(三)1999六题考过). 5.经变量变换解微分方程： (1)经反函数变量变换(2003七题)； (2)给出的变量变换(数学(二)考过屡次). 6.将积分方程或偏微分方程化成微分方程求解：(1)积分方程化为微分方程求解(1991二(2)考过)； (2)偏微分方程化为微分方程求解(1997四(2)题，2006三(18)题). 7.微分方程的应用 (1)几何方面(1999五题，1995五题考过，1996六题考过)； (2)物理方面(1998五题，2004三(16)题)； (3)改变率方面(1997三(3)题，2001八题).由上可见，本章常考的是“1”及“7.有很多类型未命过题或很少命题，命题空间很大，例如1(5)，4，以及6可以及其他章节结合来命题，值得重视.第三篇 线性代数第一章 行列式思索的鱼点拨 行列式在整个试卷中所占比重不是很大，一般以填空题，选择题为主，但它是必考内容当然，不只是考察行列式的概念, 性质, 运算，还会涉及到其他各章, 节的内容，例如矩阵的可逆, 矩阵的秩, 向量的线性相关性, 线性方程组, 矩阵的特征值, 正定二次型等等，假如试卷中没有独立的行列式的试题，那必定会在其他章节的试题中得到表达. 一般有关行列式的试题有两大类：计算题和推断题 1.行列式的计算题.例如：计算行列式计算行列式的值 这类属于数字型的干脆计算题，一般利用性质，消零绽开或消零化成上(下)三角形行列式即可解决. 多数行列式的试题，属于及后续章节有关的, 抽象型的行列式的计算题，如1.1题，1.2题这类题增加了考核的学问点，有肯定的综合性.要求考生充分利用题设条件，通过学问的内在联系，化简, 运算，最终得出所求行列式的值.(2)行列式的判别题，主要是判别行列式是否为零.例2.1题，因为行列式是否为零对矩阵是否可逆, 是否满秩，对方程组An×n X=O是否有非零解，An×n X=b是否有唯一解，对A中的列(行)向量组是否线性相关等都起到了“分水岭的作用，会引起矩阵重要性质的改变. An×n 是否为零，除干脆计算出A =O(或0)，或计算出A =kA ，其中k1，An×n =0(0)An×n不行逆(可逆)r(A)<n，不满秩(=n，满秩)An×n X=O有非零解(只有零解)An×n X=b有唯一解(解不唯一；可能无解；假设有解，那么为无穷解)An×n 的n个行(列)线性相关(线性无关) 留意这些都是充分必要条件，可以相互判别.第二章 矩阵思索的鱼点拨矩阵及其运算是线性代数的核心，后续各章的根底，考点较多，重点考点是逆矩阵, 伴随矩阵及矩阵方程，这几年还频频出现初等变换及初等阵的试题，应留意到的大致有以下几局部内容. 1.根本运算：要搞清概念，娴熟驾驭运算规那么并保证运算的正确性，重点关注以下几点. (1)搞清能否运算，怎样运算，运算结果是什么. (2)搞清数的运算, 行列式的性质，及矩阵运算的区分. (3)充分利用运算规那么，如计算中结合律, 安排律的利用，但矩阵运算没有交换律，消去律. 2.逆矩阵：理解逆矩阵的概念，驾驭运算法那么，驾驭矩阵可逆的充分必要条件，会证矩阵可逆，并能正确求出逆矩阵. 求逆矩阵的方法：对数值矩阵，一般有(1)公式法.A-1=1/A A ，特殊适用二阶矩阵；(2)初等变换法.A BE A.对抽象矩阵，一般有(3)定义法，化成AB=E，那么A可逆，且A-1=B；(4)化成可逆矩阵的乘积，即假设化成A=BC，其中B，C均是可逆阵，那么A可逆，A-1=(BC)-1=C-1B-1. 证明A可逆的方法： A可逆A 0AX=0有唯一零解AX=b有唯一解r(A)=nA的行(列)向量组线性无关，或用反证法. 3.伴随矩阵A：理解伴随矩阵的概念，留意Ai j及A的联系，能娴熟得出A，A-1，A，(A)-1，A ，A 之间的关系，如(1) A =A n-1，(2)假设A可逆，(A)-1=1/A A，A=A A-1 .假设公式中将A代入kA时，有(kA)(kA)=kA E，得(kA)=kn-1A； 假设公式中将A代入A时，有A(A)=A E，得(A)=A n-2A.A的秩只有n，1，0三种可能，且 4.矩阵方程：矩阵方程的试题较多，这类试题具有定的综合性，既考察了利用矩阵运算法那么, 性质等把方程化简，又考察了详细的数值计算.解这类试题要求分二步走，“先化简，写出所求矩阵的最简表达式，再代入详细的数值矩阵，进展数值运算(如题2.3).5.初等变换, 初等阵, 矩阵的秩及等价矩阵理解初等变换的概念，了解初等阵及其性质，能将矩阵的初等变换表达成矩阵乘初等阵，反之能将矩阵乘初等阵翻译成作初等变换(如题2.12.3)理解矩阵秩的概念，驾驭用初等变换求秩及逆矩阵的方法6.分块阵：了解分块阵及其运算，会求分块对角阵的n次幂及分块对角阵的逆等.第三章 向量思索的鱼点拨 向量组的线性相关性是线性代数中的难点，也是考试的重点，考生应深刻理解线性相关性的内在的含义外，还应及线性表出, 向的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.本章试题大致有以下四个局部: 1.向量的线性表出 向量能否由向量组1，2，s，线性表出方程组1x1+2x2+s x n=1，2，sX=An×s X=是否有解，其解即是表出系数r(A)和r(A)是否相等. 假设1，2，s线性无关，1，2，s，线性相关，那么可由1，2，s线性表出，且表出法唯一. 假设1，2，s线性相关，那么至少存在一个向量i可由其余向量线性表出. 向量组(I) 1，2，s中任一个向量i(1，2，s)都可由() 1，2，s线性表出，称向量组(I)可由向量组()线性表出，两组向量可以相互表出，那么称两向量组等价，等价向量组等秩，反之不成立. 2.向量组线性相关性的判别和证明 要说明或证明向量组1，2，s线性相关，只要求出(视察出)有不全为零的数k1，k2，ks，使k11+k22+kss=0.即说明或证明方程组有k11+k22+kss=0有非零解. 证明一组向量1，2，s线性无关，有两类题型：(1)假设题设条件中只有一组向量(附有一些其他条件)，那么应利用定义证明(实质上是反证法)；(2)假设一组向量线性无关，要证另一组向量也线性无关，那么可以用定义证明，也可以用等价向量组, 秩, 方程组等方法证明(例题). 3.求向量组的极大线性无关组及向量组的秩应理解向量组的极大线性无关组的概念，并驾驭其求法那么向量组1，2，s和1，2，s是等价向量组，等价向量组等秩.A=1，2，s 1，2，s， 那么1，2，s及1，2，s中任何对应的局部向量组有一样的线性相关性. 向量组极大线性无关组不唯一，但极大无关组的向量个数是唯一的，此数即是向量组的秩. (4)向量空间，要求了解向量空间, 子空间, 解空间，基, 维数，坐标等概念，了解基变换公式, 坐标变换公式，会求过渡矩阵，驾驭施密特标准正交化方法，这局部内容相对试题较少，从1987年考研数学统考以来，共出过4题，二个题是过渡矩阵的(例题1.1)，一题是求解空间的标准正交基，一题是求一个向量在一组基下的坐标.第四章 线性方程组思索的鱼点拨 本章要求理解线性齐次方程组有非零解, 唯一零解，线性非齐次方程组无解, 唯一解, 无穷多解的充分必要条件，理解线性齐次方程组的根底解系, 通解, 解空间的概念，驾驭求解的方法，并会求解，理解非齐次线性方程组解的构造及通解的概念，并会求解.本章试题大致有三种类型： 1.判别齐次方程组是否有非零解，非齐次方程组AX=b是否无解, 唯一解, 无穷多解Am×n X=O有非零解(唯一零解) r(A)<n(=n) A的列向量组线性相关(线性无关). Am×n X=O无解r(A)rA b. 唯一解r(A)=rA b=n. 无穷多解r(A)= rA b=r<n. 当A是n×n矩阵时，还可用A =O(或0)判别(例题)，并说明解的几何意义. 判别某向量，或某向量集合是否是方程的解或方程组的通解，及两个方程组是否同解等(例题). 2.求解线性齐次方程组的根底解系和通解(例题)，求解非齐次方程组的通解(例题)(包括含有参数时，有解状况的探讨)，求解方程组时，请留意每个步骤的正确性.步骤如下： (1)抄对系数矩阵或增广矩阵； (2)正确进展初等行变换，含有参数时，要选择相宜的消元的依次； (3)全面探讨参数的取值及解的关系； (4)认定r(A)(即独立未知量，独立方程个数)，认定自由未知量，并赐予相宜的特定值，回代方程，求得根底解系及齐次通解(或先求通解，后得根底解系)； (5)求非齐次特解，解的构造，求出非齐次通解. 并应留意到方程组Am×n X=1，2，nX=其齐次方程组的解是向量组1，2，n的线性相关的线性组合系数，非齐次特解(及通)是由1，2，n线性表出的表出系数(例题).当AB=0时，B的列向量是AX=0的解向量(例题3.6).3.证明某组向量是方程组的根底解系(例题3.1，3.2).向量组1，2，s是方程组AX=0的根底解系要满意三条，Ai=0(i=1，2，3，s)，1，2，n线性无关，s=n-r(A).第五章 特征值, 特征向量思索的鱼点拨特征值, 特征向量是线性代数的重要内容，是考研的重点之一.共有三局部要求： 1.理解特征值, 特征向量的概念和性质，会求矩阵An×n的特征值, 特征向量，一般求An×n的特征值, 特征向量有两条思路. (I)利用定义，求满意定义A=(0)的和，一般适用于抽象矩阵. 假设An×n有特征值，对应的特征向量为，那么利用定义可求得A2，Ak，f(A)是多项式)的特征值为2，k，f()当A可逆时，那么A-1，A，对应的特征值为1/,A /，(如题1.1)，特征向量仍是.()利用特征方程求EA =0，再由(EA )x=0求出根底解系得对应于的线性无关特征向量，一般适用于详细的数值矩阵.明显对角阵，上, 下三角阵的特征值为对角元素(特征向量是什么).当r(A)=r<n时，A有特征值=0，对应的特征向量是AX=0的根底解系，故共有nr(A)个线性无关特征向量，=O至少是nr(A)重特征值，An×n中每行元素和为k时，那么=k，对应的特征向量是=1，1，1T。(如题1.2). 反之应会利用特征值, 特征向量的定义，建立方程，来确定参数(如题3 1). 关于特征值, 特征向量还有很多性质，如，在计算行列式及求特征值时均可利用. 2.矩阵的相像对角化，理解相像矩阵的概念, 性质及矩阵可相像对角化的充分必要条件，驾驭将矩阵化为相像对角阵的方法. 应会用矩阵可相像对角化的充耍条件，探讨含参矩阵何时能相像对角化(如题3.6)，会利用相像的概念和性质来确定参数. 应会利用特征值, 特征向量反求矩阵A，会利用相像对角阵，计算A ，An，An等. 3.实对称矩阵的相像对角化：实对称阵特征值是实数，不同特征值对应的特征向量相互正交，实对称阵必存在可逆阵P，使得P-1AQ= ，且存在正交阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=，即实对称阵必既相像于对角阵，又合同于对角阵.用正交矩阵将实对称阵A相像对角化，要将特征向量标准正交化，不同特征值对应的特征向量已相互正交，