中数学立体几何知识点总结.docx

立体几何一、平面的根本性质公理1 假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在这个平面内.公理2 假如两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3 经过不在同始终线上的三个点，有且只有一个平面.依据上面的公理，可得以下推论.推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.二、空间线面的位置关系 共面 平行没有公共点(1)直线及直线 相交有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内有多数个公共点(2)直线和平面 直线不在平面内 平行没有公共点 (直线在平面外) 相交有且只有一公共点(3)平面及平面 相交有一条公共直线(多数个公共点)平行没有公共点三、异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常采纳反证法.有时也可用定理“平面内一点及平面外一点的连线，及平面内不经过该点的直线是异面直线.四、线面平行及垂直的判定 (1)两直线平行的判定定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即假设a,a，=b,那么ab.平行于同始终线的两直线平行，即假设ab,bc,那么ac.垂直于同一平面的两直线平行，即假设a，b，那么ab两平行平面及同一个平面相交，那么两条交线平行，即假设,=b,那么ab假如一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线及这两个平面的交线平行，即假设=b,a,a，那么ab.(2)两直线垂直的判定1.定义：假设两直线成90°角，那么这两直线相互垂直.c,ab,那么ac,b，ab.,b,那么ab.5.三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即假设,，,且=a,=b,=c，那么ab,bc,ca.(3)直线及平面平行的判定定义：假设一条直线和平面没有公共点，那么这直线及这个平面平行.,b，ab,那么a.两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即假设,l，那么l.,l，l，那么l.在一个平面同侧的两个点，假如它们及这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线及这个平面平行，即假设A，B，A、B在同侧，且A、B到等距，那么AB.两个平行平面外的一条直线及其中一个平面平行，也及另一个平面平行，即假设,a，a，a，那么.假如一条直线及一个平面垂直，那么平面外及这条直线垂直的直线及该平面平行，即假设a,b，ba，那么b.假如两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即假设ab,a,b(或b)(4)直线及平面垂直的判定定义：假设一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直.，n，mn=B,lm,ln,那么l.a,a,那么l.一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即假设,l，那么l.假如两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即假设,a=，l，la,那么l.假如两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，即假设,且a=,那么a.(5)两平面平行的判定定义：假如两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点.假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即假设a,b，ab=P,a,b,那么.a,a,那么.,那么.一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行，即假设a,b,c,d,ab=P,ac,bd,那么.(6)两平面垂直的判定定义：两个平面相交，假如所成的二面角是直二面角，那么这两个平面相互垂直，即二面角a=90°.假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直，即假设l,l，那么.，那么.五、直线在平面内的判定(1)利用公理1：始终线上不重合的两点在平面内，那么这条直线在平面内.(2)假设两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即假设,A，AB，那么AB.(3)过一点和一条直线垂直的全部直线，都在过此点而垂直于直线的平面内，即假设Aa,ab，A,b，那么a.(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而及该平面平行的平面内，即假设P，P，Pa,a，那么a.(5)假如一条直线及一个平面平行，那么过这个平面内一点及这条直线平行的直线必在这个平面内，即假设a,A，Ab,ba,那么b.六、存在性和唯一性定理(1)过直线外一点及这条直线平行的直线有且只有一条；(2)过一点及平面垂直的直线有且只有一条；(3)过平面外一点及这个平面平行的平面有且只有一个；(4)及两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；(5)过一点及直线垂直的平面有且只有一个；(6)过平面的一条斜线且及该平面垂直的平面有且只有一个；(7)过两条异面直线中的一条而及另一条平行的平面有且只有一个；(8)过两条相互垂直的异面直线中的一条而及另一条垂直的平面有且只有一个.七、射影及有关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不及射影面垂直的直线的射影是一条直线.(3)图形在平面上的射影一个平面图形上全部的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面及射影面垂直时，射影是一条线段；当图形所在平面不及射影面垂直时，射影仍是一个图形.(4)射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.八、空间中的各种角1、等角定理及其推论定理：假设一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向一样，那么这两个角相等.推论：假设两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.2、异面直线所成的角(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间随意一点O，分别引直线aa,bb,那么a和b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.(2)取值范围：0°90°.(3)求解方法依据定义，通过平移，找到异面直线所成的角；解含有的三角形，求出角的大小.3、直线和平面所成的角(1)定义 和平面所成的角有三种：(i)垂线 面所成的角 的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(ii)垂线及平面所成的角 直线垂直于平面，那么它们所成的角是直角.(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，那么它们所成的角是0°的角.(2)取值范围0°90°(3)求解方法作出斜线在平面上的射影，找到斜线及平面所成的角.解含的三角形，求出其大小.4、二面角及二面角的平面角(1)半平面 直线把平面分成两个局部，每一局部都叫做半平面.(2)二面角 条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.5、假设两个平面相交，那么以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角的取值范围是0°180°(3)二面角的平面角以二面角棱上随意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.二面角的平面角具有以下性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上随意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面及二面角的两个面都垂直，即平面PCD，平面PCD.找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法(ii)垂面法(4)求二面角大小的常见方法先找(或作)出二面角的平面角，再通过解三角形求得的值.利用面积射影定理S=S·cos其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，为二面角的大小.利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.空间的各种距离点到平面的距离(1)定义 面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.(2)求点面距离常用的方法：1)直接利用定义求找到(或作出)表示距离的线段；抓住线段(所求距离)所在三角形解之.2)利用两平面相互垂直的性质.即假如点在平面的垂面上，那么点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3)体积法其步骤是：在平面内选取适当三点，和点构成三棱锥；求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；由V=S·h，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造相宜的三棱锥以便于计算.4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线及平面的距离来求.直线和平面的距离(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上随意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.(2)求线面距离常用的方法直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.作协助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离.空间几何体的三视图和直观图1 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下2 画三视图的原那么： 长对齐、高对齐、宽相等3直观图：斜二测画法角度等于45或者1354斜二测画法的步骤：1.平行于坐标轴的线依旧平行于坐标轴；2.平行于y轴的线长度变半，平行于x轴的线长度不变；3.画法要写好。空间几何体的外表积及体积一 空间几何体的外表积1棱柱、棱锥的外表积： 各个面面积之和2 圆柱的外表积 3 圆锥的外表积：4 圆台的外表积 5 球的外表积6扇形的面积公式其中表示弧长，表示半径注：圆锥的侧面绽开图的弧长等于地面圆的周长二空间几何体的体积1柱体的体积 2锥体的体积 3台体的体积 4球体的体积