数学分析四复习讲义期末必过.docx

数学分析四一、 讲授内容本书共包含六讲，分别为：1，确界原理2，柯西收敛准那么3，实属完备性原理4，可积性原理5，函数项级数的一样收敛性6，傅里叶级数定理二、 考核方式4：6 5：5 平常成果：考勤、课堂探讨、探讨报告期末成果：考试面试、闭卷请学生留意课堂表现三、 讲授方式传道、授业、解惑。每次课讲授一半时间，探讨解惑一半时间。留给学生充分思索、自主学习足够时间。目的：培育学生思维实力、思维实力四、 课程性质：选修、必修 第一讲 确界原理一、确界定义： 设数集，假设,那么称M为S的上界。进一步，假设,那么称M为S的上确界，记为换言之，上确界即最小上界 下确界即最大下界N=inf S 例1：证明：s=(0,1,那么 例2：证明：假设，那么二、确界原理定理：设非空，假设S有上界，那么S必有上确界。 假设S有下界，那么S必有下确界证明思想：step1:定位S有上界，等份数轴 (假设S中含最大值，那么可干脆验证最大值即为上确界对10等分n,n+1) 对有上界，10等分此区间 数学归纳法 区间左端点 Step2:比较大小 验证 的大小通过区间的左右端点反映出来，故定义左右端点分别为的k位缺乏近似和k位过剩近似即注：通过分划来证明 的证明 闭区间套思想三、探讨上述证明 解惑四、 例题探讨 例3：设，证明：证明：由函数的单调性知<,即是S的上界 又 (不妨设>0) 要证明 即 事实上 由有理数的稠密性 补：表达无界函数的定义 并证明为0，1上的无界函数。 例4：设S为非空有下界数集，证明：例5：设A、B皆为非空有界数集，定义数集：证明：五、无界函数的定义回忆有界函数定义：函数有界无界函数：函数无界六、 例6：证明为0，1上的无界函数。思索：证明确界原理第二讲 数列极限一、 极限定义定义1：考察数列或函数改变趋势当n越来越大趋向于无穷时，相应的数列的值无限趋向于一个固定的常数a 定义2：当n越来越大趋向于无穷时，充分小无限趋向于零定义3：语言当n>N时，有有以 为例进展说明思索=1二、极限的根本性质 1有界性：函数极限的部分有界性： 有 2迫敛性：两边夹定理函数极限的迫敛性： 设且，那么 例1：验证： 根本思想：放缩法解不等式，关于n 例2：验证极限：定义 方法：令a=1+r 例3：求极限 1=10 ()，a>0a>0假设a>1，令,那么 =1+n(-1) 两边夹思索 定义 k=+1即可 两边夹（2） =1 证：n>2 : 3 =0 4 =1 根本思想1、放缩 2、两边夹 3、不等式性质的敏捷运用，例如几何平均小于算术平均、Cauchy-schuaz不等 式、裂项法、等差等比数列求和、错位相减等。 5 6 2= 例4：设证明=M 例5：证明 方法：利用数列本身极限或子列的极限构造两边夹 例6：证明：那么 思想：当n足够大时n>N: 成立不用亦可 三、数列极限存在的条件定理1：单调有界原理有界的单调数必有极限 证明：以单调递增为例 设单调递增有上界 那么由确界原理，可设 下证 ，由上确界定义 又对, s.t. 留意到单调递增，故当n>N时，有 从而 即 证毕定理2：任何数列都存在单调子列。 P39/例5 自看定理3：致密性定理，又称紧性定理任何有界数列必有收敛的子列例7：证明：假设且，那么 求极限方法 设 定理4：柯西收敛准那么注：理论上完全解决了数列极限的存在性问题 证明思想：定义 Cauchy条件有界性致密性 再利用Cauchy条件学生自证 验证极限存在的优越性，不需知道极限值a，只需从数列本身性质动身即可 特殊对抽象数列有效例8：证明收敛， 练习：P42/11 重点思索用什么方法证明极限存在 平均值不等式单调性有界性 P43/5 极限定义 P43/6 有上界 对用Cauchy准那么 P43/9 按Cauchy准那么表达发散的充要条件思索：无限项无穷小之和仍为无穷小？ 无限项无穷小之积仍为无穷小？ 例9：给定两正数与(>),作出其等差中项与等比中项,一般地，令证明：与皆存在且相等例10： 例11：满意：存在正数M，对一切n 有 证明：数列与都收敛 例12：按柯西收敛准那么表达数列发散的充要条件，并用它证明以下数列发散第三讲 实属完备性连续性考虑：任一实数列假设收敛，必收敛于某一实数 任一有理数列假设收敛，必收敛于某一有理数实属完备性的六大定理1、 确界原理2、 单调有界原理3、 区间套原理4、 有限覆盖定理5、 聚点定理紧性定理6、 柯西收敛准那么一、 区间套原理1区间套的定义 设满意： 那么称,是闭区间套 注：2闭区间套定理 设是闭区间套，唯一，使得,n=1，2，.即唯一 证明：利用单调有界原理留意：必需是闭区间，开区间套结论不肯定成立。反例： 推论：当n足够大： （3） 例1：用闭区间套定理证明连续函数根的存在性定理 证明：设f在a,b上连续，且f(a)f(b)<0 构造闭区间套 令=a,b 取中点，假设f()=0，证毕 假设f()0，那么必与f(a),f(b)中一个异号 不妨设 令 为此接着下去得且满意 1, n=1,2,. 2 3 ,n=1,2. 故由区间套定理且 又f在连续故由3知 探讨： 1、P171/3设是一个严格开区间套 即，证明：证明：利用闭区间套定理 ， n=1,2.(*) ,n=2,3. 即 , n=1,2,. 唯一性也由*式得到 2 、利用闭区间套定理证明有界数列必有收敛子列进展定理证明：设 ,n=1,2. 取中点,那么或中至少有一个 区间包含中无穷项，记之为 ,如此下去，得 由区间套定理知，1 且 在中多取中的一项 那么 再由两边夹定理知 3 、利用区间套定理证明确界原理 证明：设S为非空有界M的数集构造区间套，使不是S的上界，是S的上界先定第一个区间：设但不是S的上界否那么 二等分： 下证的构造,由 留意不是S的上界，故也不是S的上界 即为S的最小上界思索：什么是连续？ 二、 聚点定理1聚点的定义 定义1：假设的随意领域内有S中的无穷多个点，那么称是S的一个聚点 定义2：假设的随意领域内有S中异于的点，那么称是S 的一个聚点 定义3：假设，那么称是S的聚点（2） 聚点定理 实轴上任一有界无限点集S必有聚点推论：致密性定理：任一有界集必有收敛列证法一：利用定义与紧性定理 设S是有界无限点集，故可在S中去两两互异的有界点列 ,由紧性定理知 子列 故 ,s.t 即 的-领域内含有S中无限项证法二：利用区间套定理 S有界， 二等分，必有一半有S中无限多点，证区间记为 . 推论可干脆证的领域内有无限多个S中的点 例：f在I上连续，EI有界闭集，证明f(E)也闭（3） 例1：证明数集有且只有两个聚点和三、 有限覆盖定理 1开覆盖的定义：设，H为开区间集合假设S中任一点都含在H的某个开区间元素里，那么称H为S的一个开覆盖 注：假设H中有无限多个开区间，称H为无限开覆盖 假设H中只有有限多个开区间，称H为有限开覆盖 随意数集S总有有限开覆盖 2) 有限覆盖定理 设H为闭区间a,b一个开覆盖，那么从H中可选出有限个开区间覆盖a,b证明：反证法，用区间套找冲突具有何性质 a,b 二等分必有一个不能用H中的有限个开区间覆盖，该区间记为. , s.t. 对,: 冲突 证毕注：上述定理只对a,b成立，开区间a,b不肯定成立 反例： ,但无有限覆盖例2、用覆盖定理证明闭区间上连续函数的有界性定理 证明：思路：有限个区间覆盖a,b且在每个区间上f 有界有界 即构造f(a,b)的开覆盖 对 ,由f 的连续性部分有界 ,s.t. 令 H= 那么,由有限覆盖定理知有限个区间 i=1,.m, s.t a,b ，且 , 令,那么 思索：定理中a,b为何不能是开区间a,b 用有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的有界性四、 总牢固属完备性定理的等价性1 确界原理2 单调有界原理3区间套定理4有限覆盖定理5聚点定理6 柯西收敛准那么1 确界原理思索：P171/1118、 有限覆盖聚点定理 从部分到整体 从整体到部分反证：S有界无限点集设a,b中任一点都不是聚点那么内至多S中有限个点令H=开覆盖，与S无限集冲突9、 聚点定理Cauchy收敛准那么 设 已证11、 有限覆盖一样连续性 连续 ,s.t. 令H= 令 那么, 设 ,即 此时， 10、 有限覆盖根的存在性 证明：反证 设f在a,b上连续，f(a)f(b)<0 但 那么由f连续， ,s.t. f(x)在上的值与f(x)同号 令H= 那么H是a,b的一个开覆盖，故a,b存在有限覆盖 即 可设互不包含 不妨设 故 上到处同号f(a)f(b)>0 冲突 例1：举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界原理、聚点定理、柯西收敛准 那么一般都不成立 例2： 问： 1H能否覆盖0，1？ 2能否从H中选出有限个开区间覆盖i0，ii() 例3：证明：闭区间a,b的全体聚点的集合是a,b本身 例4：设为单调数列，证明：假设存在聚点，那么必是唯一的，且为的确界 例5：利用有限覆盖定理证明聚点定理 例6：利用聚点定理证明柯西收敛准那么 例7：利用有限覆盖定理证明根的存在性定理 例8：利用有限覆盖定理证明一样连续性定理 五、 一样连续性 1定义 在区间上一样连续： 2定理：闭区间上的连续函数肯定一样连续 即：假设f在闭区间a,b上连续，那么f在a,b上一样连续 证明：假设非一样连续，那么 但 ,n=1,2. 由有界子列 ,s.t. 故 留意到 故由连续性 冲突 3应用 例1:证明： 令 ，那么1fx在，1上一样连续0 2f ( x ) 在0，1上非一样连续 例1：证明：在0，上一样连续 证： 例2：设f(x) 在a,)连续，且存在，那么f(x) 在a,)上一样连续 例3：证明在0，上一样连续 例4：f(x) 在a,b上连续，那么f在a,b上一样连续f(a+0)、f(b-0)存在 证： f在a,b上一样连续 当 例5:设f,g在区间上一样连续，那么1假设是有限区间，那么f,g在上一样连续； 2假设是无限区间，那么f,g不肯定一样连续 六、 上极限、下极限 1、 定义1: 有界点列的最大小聚点()称为的上极限、下极限，记为 = , = 明显 定义2：子列极限中最大的称为上极限2、 定理：=A=3、 定理：为上极限= 为下极限=4、 习题P175微元法思想与应用一、 定积分定义二、 定义导数的干脆问题可积有界什么样的函数可积？简述结果，另外具体介绍三、 微元法思想从定义产生、本质上就是定义，但为便利起见，将定义中的四步合并为二步第一步：选定微元，计算微元产生的相应数？如面积、体积、功、引力等第二步：积分 四、 利用微元法思想给出计算公式初涉微元法 1、平面图形的面积 2、立体的体积二重、三重积分 3、旋转体的体积 4、弧长公式 5、曲线积分 6、曲面积分五、 物理应用超越微元法P262266六、 微元法思想的意义总结七、 探讨微元法 问题：微元替代的合理性第四讲 可积性理论一、 可积的必要条件 1. 定义： 两个随意 2 定理1：假设函数f在a,b上可积，那么f在a,b上必定有界 证明：用反证法假设f在a,b上无界，那么分割T，必 S,t, 无界，即M>0, ,s.t 如今上任取 ,并记 于是 > M - G 这与f可积冲突二、 例1 有界不肯定可积。反例/：)二、 可积的充要条件 1 上和、下和的定义： 设为对a,b的任一分割。由f在a,b上有界，它在每个上存在上、下确界： 作和： ，分别称为f关于T的上和与下和或称达布上和与达布下和，统称达布和。任给，明显有：引入振幅的概念 设为a,b的一个分割 由可积必要条件f在a,b，当然在每个上有界 令 , ,i=1,2,.,n 振幅 定理1：f在a,b上可积分割T： 证明：两边夹 例1 D(x)定理2：f在a,b上可积 P235-239 必需探讨分割T的性质 P235 性质1，性质定理3：f在a,b上可积振幅不小于的子区间，长度之和小于四、 可积函数类 a,b1、连续函数可积闭区间上的连续函数2、a,b上只有有限个连续点的有界函数可积3、a,b上的单调函数可积允许有可数多个连续点例2、P213 ，在0，1上可积且思想：R在0，1与一切无理点处连续 在0，1上有理点处连续思索：可积函数类的共同点：连续点不能太多 几乎到处联络的函数可积五、 习题P2151 证明：假设是T增加假设干个分点后所得的分割，那么。证明：不妨设只增加了1个分点，将T中第k个小区间分成了两个小区间 那么 =3、设f,g均为定义在a,b上的有界函数，仅有限个点处f(x)g(x)，证明：假设f在a,b上可积，那么g(x)在a,b上也可积，且。证明：设且 现，取T为第一个小区间长度为的分割 由f在a,b上可积f在上可积 故 从而4、 f在a,b上有界，证明：假设f在a,b上只有为其连续点，那么f在a,b上可积。证明：设 不妨设a<c<b且 那么f 在上只有有限个连续点 故f 在上可积 对上述的分割T，s.t. 故存在a,c的一个分割, s.t 同理存在c,b的分割，s.t 故对 有 从而 f 在 a,b上可积。7、 设函数f 在a,b上有定义，且对任给的>0,存在a,b上的可积函数g，使，证明：f在a,b上可积。 证明： 又由g 在a,b上可积，知：a,b的一个分割T，s,t 留意到 ,有 即 从而 证毕第五讲 函数列与函数项级数一、数项级数1 令 ，表示的前n项和 假设 存在，那么称收敛，并且收敛于S，记成 2 收敛性的推断： 数列收敛数项级数收敛 数列收敛的柯西准那么数项级数的柯西准那么 定理1:收敛 定理2：利用数列的单调有界原理正项级数的收敛性 M-判别法，比较原那么 设，是两个正项级数，假设 那么(1)收敛收敛 (2)发散也发散 留意：比较原那么的极限形式 比值判别法、根式判别法与其它们的极限形式 交织级数：莱布尼兹判别法 肯定收敛性：阿贝尔判别法、狄利克雷判别法二、 函数列与其收敛性/ 数列函数列 函数列： 数列 假设收敛，那么称函数列在处收敛。 假设在D上每一点处都收敛，那么称函数列在D上收敛。 由于在处对应一个值，故 的和是D上的函数，记为f(x), 也称在D上收敛于函数f(x)，记作： 函数列在D上收敛于函数f(x) 即 例1：设,为定义在R上的函数列证明：的收敛域为 -1，1 证明：1:数列收敛于 2或x>1：数列发散例2：设,那么，证：三、函数列的一样收敛性 定义：在D上一样收敛于f(x) 记为：例3：0,注：以下一样收敛符号都用“表示四、函数列一样收敛的推断 定理3：函数列一样收敛的柯西准那么Cauchy准那么 函数列在D上一样收敛 * 证明：设在D上收敛于f 由数列收敛的柯西准那么， 在*中固定n，令于是当n>N时， 由定义 定理4： 证明： 故 从而 故 从而例4： 五、内闭一样收敛：设、f(x)定义在数集D上，假设，那么称在D上内闭一样收敛于f(x)例5： 在0，1上非一样收敛于f(x)=0 在0，1上内闭一样收敛于f(x)=0证明：1 2六、探讨P37/1，2七、函数项级数与一样收敛性函数项级数部分和函数列点点收敛：一样收敛：例6、 即函数项级数在-1，1上收敛于和函数f(x)=一样收敛吗？ ？ ？八、数项级数一样收敛性推断 1、柯西准那么 Th13.3:在D上一样收敛 2、sup准那么Th13.4:在D上一样收敛于S(x) 记 的余项 例7、 3、M-判别法Th13.5：定义在D上，为正项级数且收敛 假设 那么 在D上一样收敛 证明：用柯西准那么例8、在R上均一样收敛 注：常用收敛正项级数4、 Abel判别法： ， Th13.6:设1在区间I上一样收敛 2单调 3在I上一样有界，即 那么在I上一样收敛 证明：柯西准那么 (2)(3) 3M 引理P245、 Dirichlet判别法 Th13.7：1的部分和函数列在I上一样有界； 2单调； 3 那么在I上一样收敛 证明：用Th13.6+柯西准那么 例9、在0，1上一样收敛 Abel九、练习P37，38十、函数列一样收敛的性质Th13.9(连续性)假设函数列在区间I上一样收敛于f,且连续，那么其极限函数f(x) 在I上也连续，即证明：1先证明 存在 ，明显 2再证 存在 利用柯西准那么： 3设 下证 Th13.10可积性：设在a,b上连续，且 那么证明：1在I上连续在a,b上可积 2Th13.11可微性：设1的每一项在a,b上具有连续导数； 2收敛， 3在a,b上一样收敛 那么 证明： 存在 故可令 即十一、 函数项级数一样收敛的性质 Th13.12连续性在a,b上一样收敛且在a,b上连续 那么在a,b上也连续 Th13.13逐项求积在a,b上一样收敛且连续 那么 Th13.14逐项求导1连续可导 2收敛， 3一样收敛 那么例：设证明：1在a,b上一样收敛 2探讨和函数的连续性、可积性、可微性证：1M-判别法 2在0，1上连续，故和函数连续且可积 又 故一样收敛且收敛 从而和函数也可微。十二、 练习P45-46 2、1证：2证： 3、1x=1:常数列收敛 等比数列收敛 2由连续性知f(1)=0 f(x)=0 4、可积性定理： 设1 2 可积 那么f可积 证明：估计 5、Abel判别法 6、每个小区间长度不超过的分割T 7、 由 对上述 故 总练习题1、 证明1假设f在I 上有界，那么至多除有限项外在I上一样有界。 2假设，且对每一个正整数n，在I上有界，那么在I上一样有界。2、 设f为上的连续函数，证明： 1在上收敛。 2在上一样收敛的充要条件是f(1)=0。3、 设,且，证明f在a,b上也可积。4、 。5、 ，证明：报告题目参考1、 实属完备性理论的根底与应用5* 基于对实数的相识：缺乏近似、过剩近似的性质 确界原理单调有界原理柯西收敛准那么等价性定理 应用：对闭区间上连续函数的性质。2、 证明数列收敛的方法3*3、 求极限的方法2*4、 话说无穷4* 从谈起 无穷个无穷小指积？ 关于无穷和的收敛性与其性质：数列 函数列5、 什么是空间5* 从集合谈起： 无序性有序性大小、包含、对称 加何种规律得到相应空间 如：规定 加法和数乘规那么向量空间 规定 间隔 间隔 空间 规定 收敛性 实数空间欧式空间拓扑空间6、 话说连续性4* 从极限开始领域一般空间里领域的定义 如二维欧式、n维欧式空间抽象间隔 空间如Ca,b 拓扑空间开集、领域 定义1定义57、 关于一样性4* 一样连续亚一样连续，一样连续函数项级数、含参量广义积分 其它关于一样性的证明 一样有界等8、 曲线积分4* 含参量曲线积分、广义曲线积分、含参量广义曲线积分9、 对称性思想与应用3* 奇偶函数在对称区间上的积分与应用 二重、三重积分对称性 曲线、曲面积分对称性 其它10、 关于可交换性3* 二重积分可交换性，与lim，与，与11、 微元法思想与应用4*12、 中值定理与中值定理的渐近性质4*微分、积分、泰勒级数13、 分数阶导数与积分5* 令 , 定义卷积 那么 称为f的n阶黎曼-刘维尔积分，记为 为f的阶积分可分数阶，记为 现设，f 1阶可导，那么f的阶导数定义为 即阶导数定义为1阶导数求阶积分 一般地， 假设存在，那么阶Caputo导数 探讨与的性质14、 可积性理论4* 1上和、下和定义 2上、下和性质 3从可积定义过渡到整理理解深化加深应用15、 含参量广义积分与函数项级数的关系3*16、 Abel判别法的引理3*17、 极限定义2* 数列、函数、广义积分、数项级数、含参量广义积分、函数项级数一般空间里极限定义18、 闭区间套定理与应用3*19、 聚点定理与应用3*20、 开覆盖定理与应用3*