数学必修第二章知识点小结及典型习题.docx

第二章 点线面位置关系总复习1、1平面含义：平面是无限延展的，没有大小，厚薄之分。另外，留意平面的表示方法。2点及平面的关系：点A在平面内，记作；点不在平面内，记作点及直线的关系：点A的直线l上，记作：Al；点A在直线l外，记作Al；直线及平面的关系：直线l在平面内，记作l ；直线l不在平面内，记作l 。2、四个公理及等角定理：1公理1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.LA·符号表示为AL BL L A B公理1作用：推断直线是否在平面内.只要找到直线的两点在平面内，那么直线在平面内C·B·A·2公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面，使A、B、C。公理2的三个推论：1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理2作用：确定一个平面的根据。3公理3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P =>=L，且PLP·L公理3说明：两个不重合的平面只要有公共点，那么它们必定交于一条过该公共点的直线，且线唯一。公理3作用：断定两个平面是否相交的根据，是证明三线共点、三点共线的根据。即：断定两个平面相交的方法。说明两个平面的交线及两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。可以推断点在直线交线上，即证假设干个点共线的重要根据。4公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线acabcb强调：公理4本质上是说平行具有传递性，在平面、空间这特性质都适用。公理4作用：推断空间两条直线平行的根据。说明空间中平行于一条直线的全部直线都相互平行5等角定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.3、1证明共面问题：方法1是先证明由某些元素确定一个平面，在证明其余元素也在这个平面内。 方法2是先证明分别由不同元素确定假设干个平面，再证明这些平面重合。2证明三点共线问题的方法：先确定其中两点在某两个平面的交线上，再证明第三点是这两个平面的公共点，那么第三个点在必定在这两个平面的交线上。3证明三线共点问题的方法：先证明其中两条直线交于一点，再证明第三条直线也经过这个点。4、异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线。既不平行也不相交的两条直线 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线性质：既不平行，又不相交。 异面直线断定：过平面外一点及平面内一点的直线及平面内不过该点的直线是异面直线 异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间随意一点O，分别引直线aa，bb，那么把直线a和b所成的锐角或直角叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是0°，90°，假设两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线相互垂直。两条直线相互垂直，有共面垂直及异面垂直两种情形说明：1断定空间直线是异面直线方法：根据异面直线的定义；异面直线的断定定理2在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。3求异面直线所成角步骤：一作、二证、三计算第一步作角：先固定其中一条直线，在这条直线取一点，过这个点作另一条直线的平行先；或两条同时平移到某个特别的位置，顶点选在特别的位置上。第二步证明作出的角即为所求角。第三步利用三角形边长关系计算出角。思路是把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角5、空间中直线及直线、直线及平面、平面及平面之间的位置关系1空间两条直线的位置关系有且只有三种：共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2直线及平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内有多数个公共点直线及平面相交 有且只有一个公共点直线在平面平行 没有公共点指出：直线及平面相交或平行的状况统称为直线在平面外，可用a 来表示三种位置关系的符号表示：a aA a留意直线及平面的位置关系其他分类：1按直线及平面的公共点数分类：自己补充 2按直线是否及平面平行分类：3按直线是否在平面内分类：3平面及平面之间的位置关系有且只有两种：按有无公共点分类两个平面平行没有公共点；。两个平面相交有一条公共直线；b。6、空间中的平行问题1线线平行的断定方法：线线平行的定义：两条直线共面，但是无公共点 公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行线面平行的性质定理： 线面垂直的性质定理： 面面平行的性质定理： 2直线及平面平行的断定及其性质线面平行的断定定理：平面外一条直线及此平面内一条直线平行,那么该直线及此平面平行。线线平行线面平行证明线面平行，只要在平面内找一条直线b及直线a平行即可。一般状况下，我们会用到中位线定理、平行线段成比例问题、平行公理等。线面平行的性质定理：假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 线面平行线线平行 性质定理的作用：利用该定理可解决直线间的平行问题线面平行的断定方法： 线面平行的定义：直线及平面无公共点 断定定理： 面面平行的性质： 3平面及平面平行的断定及其性质面面平行的断定定理：假如一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行线面平行面面平行，两个平面平行的性质定理及结论：假如两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。面面平行线线平行假如两个平面平行，那么某一个平面内的直线及另一个平面平行。面面平行线面平行面面平行的断定方法：面面平行的定义：两个平面无公共点。 断定定理： 线面垂直的性质定理： 公理四的推广： 7、空间中的垂直问题线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直：假如两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线相互垂直。线面垂直：假如一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。平面和平面垂直：假如两个平面相交，所成的二面角从一条直线动身的两个半平面所组成的图形是直二面角平面角是直角，就说这两个平面垂直。1线线垂直的断定方法：线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角。共面垂直、异面垂直线面垂直的性质： 线面垂直的性质： 2线面垂直断定定理和性质定理断定定理：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。断定线面垂直，只要在平面内找到 两条相交直线 及直线垂直即可留意：两条直线必需相交常常用到的学问点有：等腰三角形三线合一中线，角平分线，高，假如取等腰三角形底边的中点，连接顶点及中点的线既是中线也是高，所以，这条线垂直于底边；正方形的对角线是相互垂直的；三角形勾股逆定理,可以推出a边及b边垂直；假如是要证异面垂直的两条直线，一般采纳线面垂直来证明一条线垂直于另一条线所在的平面，从而得到两条异面直线垂直；采纳三垂线定理或者其逆定理得到两条直线垂直。性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。线面垂直的断定方法：线面垂直的定义 线面垂直的断定定理： 平行线垂直平面的传递性推论: 面面平行的性质结论：面面垂直的性质定理： 3面面垂直的断定定理和性质定理断定定理：假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。性质定理：假如两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。面面垂直的断定方法面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角面面垂直的断定定理： 面面平行的性质结论：AOB8、空间角问题 空间角的计算步骤：一作，二证，三计算1直线及直线所成的角两平行直线所成的角：规定为。两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。两条异面直线所成的角：过空间随意一点O，分别作及两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角，的范围为0°，90°。留意：1异面直线所成的角：0°90°锐角或者直角2计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 3角AOB的度数并不等于直线AO及直线BO所成的角。2直线和平面所成的角平面的平行线及平面所成的角：规定为。平面的垂线及平面所成的角：规定为。平面的斜线及平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，取值范围为0°，90°。由直线及平面所成的角的范围为0°，90°。求斜线及平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算。关键的步骤是“作角斜线和射影所成的角求线面角的方法求一条直线及平面所成的角，就是要找这条直线在平面上的射影，射影及它的直线所成的角即为线面角，即作垂线，找射影定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角或斜线和平面的夹角方法：作直线上随意一点到面的垂线，及线面交点相连，利用直角三角形有关学问求得三角形其中一角就是该线及平面的夹角。在解题时，留意挖掘题设中两个主要信息：1、斜线上一点到面的垂线；2、过斜线上的一点或过斜线的平面及面垂直，由面面垂直性质易得垂线。3二面角和二面角的平面角二面角的定义：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上随意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面假如所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，假如两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角二面角：二面角的平面角，0°180°求二面角的方法定义法：在棱上选择一个特别点，过这个点分别在两个半平面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面及二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角为二面角的平面角垂线法：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角。9、 “转化思想，要娴熟他们之间的转换线线垂直 线面垂直 面面垂直 线线平行 线面平行 面面平行 证明空间线面平行或垂直须要留意三点1由想性质，由求证想断定。2适当添加协助线或面是解题的常用方法之一。3运用定理时要明确条件是否满意定理条件，再由定理得出相应结论。10、稳固专项练习1如图，在三棱锥S-ABC中，SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC，且分别交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E- BD-C的度数。2、在棱长都为1的正三棱锥SABC中，侧棱SA及底面ABC所成的角是_3、在正方体ABCD中，及平面所成的角的大小是_；及平面所成的角的大小是_；及平面所成的角的大小是_；及平面所成的角的大小是_；及平面所成的角的大小是_。4、空间内一点O动身的三条射线OA、OB、OC两两夹角为60°，试求OA及平面BOC所成的角的大小5、点是正三角形所在平面外的一点，且，为上的高，、分别是、的中点，试推断及平面内的位置关系，并赐予证明6、 正方体 ，求证7、直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC平面PBD。 8、直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC平面PBC。 9.假设m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面，那么以下命题中的真命题是()A.假设m，那么m B.假设m，n，mn，那么C.假设m，m，那么 D.假设，那么10、设P是ABC所在平面外一点，P到ABC各顶点的间隔 相等，而且P到ABC各边的间隔 也相等，那么ABC()A.是非等腰的直角三角形 B.是等腰直角三角形C.是等边三角形 D.不是A、B、C所述的三角形11、把等腰直角ABC沿斜边上的高AD折成直二面角BADC，那么BD及平面ABC所成角的正切值为 ()A.B.D.12、如图，ABC为直角三角形，其中ACB90°，M为AB的中点，PM垂直于ACB所在平面，那么()A、PAPB>PC B、PAPB<PC C、PAPBPC D、PAPBPC13、正四棱锥SABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在外表上运动，并且总保持PEAC，那么动点P的轨迹的周长为.14、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：mn；n；m。以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：.15、如图(1)，等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC60°，E是BC的中点，如图(2)，将ABE沿AE折起，使二面角BAEC成直二面角，连接BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点.(1)求证：AEBD；(2)求证：平面PEF平面AECD；(3)推断DE能否垂直于平面ABC？并说明理由.16、17、如下图，BCD中，BCD90°，BCCD1，AB平面BCD，ADB60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且(0<<1).(1)求证：不管为何值，总有平面BEF平面ABC；(2)当为何值时，平面BEF平面ACD？18、如图，在矩形ABCD中，AB2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP平面ABCD.(1)求证：DP平面EPC；(2)问在EP上是否存在点F使平面AFD平面BFC？假设存在，求出的值.参考答案1、解：在RtSAC中，SA=1，SC=2，ECA=30°，在RtDEC中，DEC=90°， EDC=60° 所求的二面角为60°。5、分析1：如图，视察图形，即可断定平面，要证明结论成立，只需证明及平面内的一条直线平行视察图形可以看出：连结及相交于，连结，就是合适题意的直线怎样证明？只需证明是的中点证法1：连结交于点，是的中位线，在中，是的中点，且，为的中点是的中位线，又平面，平面，平面分析2：要证明平面，只需证明平面平面，要证明平面平面，只需证明，而，可由题设干脆推出证法2：为的中位线，平面，平面，平面同理：平面，平面平面，又平面，平面6、证明：为正方体 ，  又 平面，故 平面同理 平面又 ， 平面平面7、证明：8、证明：9、 C 10、C 11、 B 12、C 13、解析：如图，取CD的中点F、SC的中点G，连接EF，EG，FG，EF交AC于点H，易知ACEF，又GHSO，GH平面ABCD，ACGH，AC平面EFG，故点P的轨迹是EFG，其周长为.答案：14、；