高三数学教案平面向量的数量积及应用新人教版.docx

一般高中课程标准试验教科书数学 人教版 高三新数学第一轮复习教案（讲座26）平面对量的数量积及应用一课标要求：1平面对量的数量积通过物理中"功"等实例，理解平面对量数量积的含义及其物理意义；体会平面对量的数量积及向量投影的关系；驾驭数量积的坐标表达式，会进展平面对量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积推断两个平面对量的垂直关系。2向量的应用经验用向量方法解决某些简洁的平面几何问题、力学问题及其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，开展运算实力和解决实际问题的实力。二命题走向本讲以选择题、填空题考察本章的根本概念和性质，重点考察平面对量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值59分。平面对量的综合问题是“新热点”题型，其形式为及直线、圆锥曲线、三角函数等联络，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。预料07年高考：（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的断定或夹角、长度问题；属于中档题目。（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；三要点精讲1向量的数量积（1）两个非零向量的夹角已知非零向量a及a，作，则AA（）叫及的夹角；说明：（1）当时，及同向；（2）当时，及反向；（3）当时，及垂直，记；（4）留意在两向量的夹角定义，两向量必需是同起点的，范围0°q180°。C（2）数量积的概念已知两个非零向量及，它们的夹角为，则·=·cos叫做及的数量积（或内积）。规定；向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影。投影的肯定值称为射影；（3）数量积的几何意义： ·等于的长度及在方向上的投影的乘积。（4）向量数量积的性质向量的模及平方的关系：。乘法公式成立；平面对量数量积的运算律交换律成立：；对实数的结合律成立：；安排律成立：。向量的夹角：cos=。当且仅当两个非零向量及同方向时，=00，当且仅当及反方向时=1800，同时及其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。（5）两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量，则·=。（6）垂直：假如及的夹角为900则称及垂直，记作。两个非零向量垂直的充要条件：·O，平面对量数量积的性质。（7）平面内两点间的间隔 公式设，则或。假如表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的间隔 公式)。2向量的应用（1）向量在几何中的应用；（2）向量在物理中的应用。四典例解析题型1：数量积的概念例1推断下列各命题正确及否：（1）；（2）；（3）若，则；（4）若，则当且仅当时成立；（5）对随意向量都成立；（6）对随意向量，有。解析：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。点评：通过该题我们清晰了向量的数乘及数量积之间的区分于联络，重点清晰为零向量，而为零。例2（1）（2002上海春，13）若、为随意向量，mR，则下列等式不肯定成立的是（ ）A BCm（）=m+m D（2）(2000江西、山西、天津理，4)设、是随意的非零平面对量,且互相不共线,则（·）（·）= |<| （·）（·）不及垂直（3+2）（32）=9|24|2中，是真命题的有（ ）A. B. C. D.解析：（1）答案：D；因为，而；而方向及方向不肯定同向。（2）答案：D平面对量的数量积不满意结合律。故假；由向量的减法运算可知|、|、|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故真；因为（·）（·）·=（·）·（·）·=0，所以垂直.故假；（3+2）（32）=9··4·=9|24|2成立。故真。点评：本题考察平面对量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满意结合律。题型2：向量的夹角例3（1）（06全国1文，1）已知向量、满意、，且，则及的夹角为（ ）A B C D（2）（06北京文，12）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么及的夹角的大小是 。（3）已知两单位向量及的夹角为，若，试求及的夹角。（4）（2005北京3）| |=1，| |=2，= + ，且，则向量及的夹角为（ ）A30°B60°C120°D150°解析：（1）C；（2）；（3）由题意，且及的夹角为，所以，同理可得。而，设为及的夹角，则。（4）C；设所求两向量的夹角为即：所以点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式，要驾驭向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于这个公式的变形应用应当做到娴熟，另外向量垂直（平行）的充要条件必需驾驭。例4（1）（06全国1理，9）设平面对量、的和。假如向量、，满意，且顺时针旋转后及同向，其中，则（ ）A+= B-+=C+-= D+=（2）（06湖南理，5）已知 且关于的方程有实根, 则及的夹角的取值范围是（ ）A B C D解析：（1）D；（2）B；点评：对于平面对量的数量积要学会技巧性应用，解决好实际问题。题型3：向量的模例5（1）（06福建文，9）已知向量及的夹角为，则等于（ ） A5B4C3D1（2）（06浙江文，5）设向量满意,则（ ）A1 B2 C4 D5解析：（1）B；（2）D；点评：驾驭向量数量积的逆运算，以及。例6已知（3，4），（4，3），求x,y的值使(x+y)，且x+y=1。解析：由（3，4），（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y)；又（x+y）(x+y)·3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；即25x+24y ；又x+y=1x+y；（x+4y）（x+3y）；整理得25x48xy+25y即x(25x+24y)+24xy+25y ；由有24xy+25y ；将变形代入可得：y=±；再代回得：。点评：这里两个条件互相制约，留意表达方程组思想。题型4：向量垂直、平行的断定例7(2005广东12)已知向量，且，则 。解析：，。例8已知，按下列条件务实数的值。（1）；（2）；。解析：（1）；（2）；。点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的根本运算。题型5：平面对量在代数中的应用例9已知。 分析：，可以看作向量的模的平方，而则是、的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式。 证明：设 则。点评：在向量这局部内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式构造的式子，如等。例10已知，其中。 （1）求证：及互相垂直； （2）若及（）的长度相等，求。 解析：（1）因为 所以及互相垂直。 （2）， ， 所以， ， 因为， 所以， 有， 因为，故， 又因为，所以。点评：平面对量及三角函数在“角”之间存在着亲密的联络。假如在平面对量及三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法敏捷，极富思维性和挑战性。若依据所给的三角式的构造及向量间的互相关系进展处理。可使解题过程得到简化，从而进步解题的速度。题型6：平面对量在几何图形中的应用例11（2002年高考题）已知两点，且点P（x，y）使得，成公差小于零的等差数列。（1）求证；（2）若点P的坐标为，记及的夹角为，求。解析：（1）略解：，由干脆法得（2）当P不在x轴上时，而所以，当P在x轴上时，上式仍成立。图1点评：由正弦面积公式得到了三角形面积及数量积之间的关系，由面积相等法建立等量关系。例12用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。已知：如图，AB是O的直径，点P是O上任一点（不及A、B重合），求证：APB90°。证明：联结OP，设向量，则且，即APB90°。点评：平面对量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。题型7：平面对量在物理中的应用例13如图所示，正六边形PABCDE的边长为b，有五个力、作用于同一点P，求五个力的合力。解析：所求五个力的合力为，如图3所示，以PA、PE为边作平行四边形PAOE，则，由正六边形的性质可知，且O点在PC上，以PB、PD为边作平行四边形PBFD，则，由正六边形的性质可知，且F点在PC的延长线上。由正六边形的性质还可求得故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为，方向及的方向一样。五思维总结1两个向量的数量积及向量同实数积有很大区分（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所确定；（2）两个向量的数量积称为内积，写成·；今后要学到两个向量的外积×，而×是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若¹0，且×=0，不能推出=。因为其中cosq有可能为0；（4）已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c。但是×= ×；如右图：×= |cosb = |OA|，×c = |c|cosa = |OA|Þ× =×，但 ¹； (5)在实数中，有(×) = (×)，但是(×)¹ (×)，明显，这是因为左端是及c共线的向量，而右端是及共线的向量，而一般及c不共线。2平面对量数量积的运算律特殊留意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到；（3）=0不能得到=或=。3向量学问，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能及中学数学教学内容的很多主干学问综合，形成学问交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：求模长；求夹角；判垂直；4留意数学思想方法的教学数形结合的思想方法。由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量学问的整个学习过程中，都表达了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解学问要点，增加应用意识。化归转化的思想方法。向量的夹角、平行、垂直等关系的探讨均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形态的断定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式，沟通了向量及实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量学问去解决。分类探讨的思想方法。如向量可分为共线向量及不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量在方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。5突出向量及其它数学学问的交汇“新课程增加了新的现代数学内容，其意义不仅在于数学内容的更新，更重要的是引入新的思维方法，可以更有效地处理和解决数学问题和实际应用问题”。因此，新课程卷中有些问题属于新教材及旧教材的结合部，凡涉及此类问题，高考命题都采纳了新旧结合，以新带旧或以新方法解决的方法进展处理，从中启示我们在高考学习中，应突出向量的工具性，留意向量及其它学问的交汇及交融，但不宜“深挖洞”。我们可以预料近两年向量高考题的难度不会也不应当上升到压轴题的程度。