力学竞赛试题1.docx

海南高校土木建筑工程学院, 海南省力学学会第二届力学竞赛试题1, 如图1所示，质量均为m的nn3个均质圆柱体依次搁置在倾角为30° 的斜面上，并用铅垂设置的铰支板挡住。假设圆柱半径为R，板长为l，各圆柱及斜面和挡板之间的摩擦系数1/3，且不计各圆柱之间的摩擦，试求维持系统平衡时的最大水平力P。图1【解】先设圆柱，由三力平衡汇交定理知其及斜面间摩擦力为零，依次推断，直到圆柱及斜面间摩擦力均为零。再探讨圆柱共1个柱体的整体平衡，由 有 为圆柱及间的作用力。 再探讨圆柱，受力如图，由 有 设，由 当时，可知A处先滑动，且。由 EMBED Equation.DSMT4 将代入，得 所以 由 最终探讨铰支板的平衡，由 所以 2, 如图2所示，偏心轮质量为m，偏心距e。轮对质心C的回转半径为c，置于光滑水平面上。初始时呈水平，质心C有一水平初速，轮的角速度为零。求当C点运动至最低位置时，水平面对轮的约束反力。图2【解】取质心平动参考系图7，它以常速度运动。质心的相对速度沿轴。由动能定理，有图 7 其中。当质心C运动至最低点时，有 ， 故有 此时运用相对质心的动量矩定理，有 故 所以C点的加速度向上，为 所以有 即 3, 图3所示对称桁架，受载荷P作用，己知各杆材料一样，横截面面积也一样，问有何方法可使各杆同时到达材料的许用应力图3【解】方法1：利用装配应力变更内力支配。在精确加工, 装配的状况下，桁架中各杆的受力为 1 2因此，总是杆3先到达。为使各杆的 图 8应力同时到达，可接受加装配应力的方法，即预先将杆3做长，在强制装配以后，杆3将具有预应力，而杆1, 2将具有预拉应力。由图8可知，设外载增至时，各杆的应力同时到达，节点到达。在小变形假设的前提下，叠加原理运用，及各杆伸长量之间应满足以下协调方程 (3) 各杆的轴力又满足以下物理方程 4由方程3, 4解得杆3长度的过盈量， 5该桁架的许用载荷为 由式5可以看出，这个解答的适用范围有确定的限制，即假设接近时，就变得相当大，这时，小变形假设就不适用了，因此所得值也就没意义了。方法2：对于短暂加载状况，除了上述方法外，还可以接受加热应力的方法来到达一样的目的，假设材料的线膨胀系数为，又假设材料的许用应力不随温度的变更而变更，那么杆3所需上升的温度为 4, 物块C的重量为G，置于悬臂梁上图4，梁长L，弯曲刚度，物块及梁间的摩擦系数为，求：图4 1物块开场滑动时的位置；2物块滑离B端时的速度。【解】1设物块开场滑动时的位置为，如图9所示，那么段的挠度曲线方程为 由此可知 1由静力平衡条件，可求得摩擦力为 而物块开场滑动的条件为 图 9 由以上二式易得 将式(1)代入上式，即可得到物块开场滑动时的位置为 2物块由D处滑至B处，在此阶段的始, 末两处的挠度分别为 ， 设物块滑离B端时的速度为，W为摩擦力F在此滑动过程中所作的功，由能量守恒定律可得 2这里假定物块很小，其转动动能可忽视不计。由于 而 故有 积分上式，得 (3)将式3代入式2，最终得到 5, 以下构造均为等直杆，各相应载荷为随意分布。证明图5中a杆的轴力图, b圆轴的扭矩图, c梁的剪力图, d梁的弯矩图，其图形面积代数和均为零c梁剪力图在受分布和集中力偶矩时例外。图5 【证明】设轴力为，扭矩为，弯矩为，剪力为，E为弹性模量，G为切变性模量，I和分别为轴惯性矩和极惯性矩，A为杆的截面面积。 (a)图，受随意分布和集中的轴向力作用。杆的总伸长为。由胡克定律，正应变，故轴力图面积的代数和为 (b)图,受随意分布和集中的扭力偶作用。圆轴扭转角的边界条件为，依据圆轴扭转变形根本公式，故扭矩图面积的代数和为 (c)图，受随意分布和集中的横向载荷作用。对于简支梁，且在无分布力偶矩的状况下，剪力及弯矩的微分关系为，故有 受到分布和集中力偶矩作用时,此值一般不为零，因为关系式中，未考虑分布力偶矩的作用。在这种状况下，应修正为 其中及为分布力偶矩和集中力偶矩，逆时针为正。(d)图，受随意分布和集中的横向载荷及力偶矩作用。两端固支梁，转角边界条件为，有微分关系为 能够得出以上结论是因为，被积函数是有界且只有有限个连续点，因而总是可积的。在(a), (b), (d)三种状况下以及(c)只受横向载荷的状况下，原函数总是连续的，积分值仅及该原函数在两端的函数有关，而不必求出原函数。