全等三角形经典题型题含答案.docx

全等三角形证明经典50题含答案1. ：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求ADADBC延长AD到E,使DE=AD,那么三角形ADC全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD是整数,那么AD=5 2. ：D是AB中点，ACB=90°，求证：DABC3. ：BC=DE，B=E，C=D，F是CD中点，求证：1=2ABCDEF21证明：连接BF与EF。因为 BC=ED,CF=DF,BCF=EDF。所以 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。所以 BF=EF,CBF=DEF。连接BE。在三角形BEF中,BF=EF。所以 EBF=BEF。又因为 ABC=AED。所以 ABE=AEB。所以 AB=AE。在三角形ABF与三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,ABF=ABE+EBF=AEB+BEF=AEF。所以 三角形ABF与三角形AEF全等。所以 BAF=EAF (1=2)。 BACDF21E4. ：1=2，CD=DE，EF/AB，求证：EF=AC证明：过E点，作EG/AC，交AD延长线于G那么DEG=DCA，DGE=2又CD=DEADCGDEAASEG=ACEF/ABDFE=11=2DFE=DGEEF=EGEF=AC5. ：AD平分BAC，AC=AB+BD，求证：B=2CACDB证明：在AC上截取AE=AB，连接EDAD平分BACEAD=BAD又AE=AB，AD=ADAEDABDSASAED=B，DE=DBAC=AB+BD AC=AE+CECE=DEC=EDCAED=C+EDC=2CB=2C6. ：AC平分BAD，CEAB，B+D=180°，求证：AE=AD+BE证明： 在AE上取F，使EFEB，连接CF 因为CEAB 所以CEBCEF90° 因为EBEF，CECE， 所以CEBCEF 所以BCFE 因为BD180°，CFECFA180° 所以DCFA 因为AC平分BAD 所以DACFAC 又因为ACAC 所以ADCAFCSAS 所以ADAF 所以AEAFFEADBE 12. 如图，四边形ABCD中，ABDC，BE, CE分别平分ABC, BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.ABE=FBE,BE=BE,那么ABEFBE(SAS),EFB=A;AB平行于CD,那么:A+D=180°又EFB+EFC=180°,那么EFC=D;又FCE=DCE,CE=CE,故FCEDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.DCBAFE13.：AB/ED，EAB=BDE，AF=CD，EF=BC，求证：F=CAB/ED,AE/BD推出AE=BD,又有AF=CD,EF=BC所以三角形AEF 全等于三角形DCB，所以:C=F14. ：AB=CD，A=D，求证：B=CABCD证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，当AD<BC时，E点是射线BA,CD的交点，当AD>BC时，E点是射线AB,DC的交点。那么：AED是等腰三角形。所以：AE=DE而AB=CD所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量所以：BEC是等腰三角形所以：角B=角C.15. P是BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-AB作B关于AD的对称点B，因为AD是角BAC的平分线，B'在线段AC上在AC中间，因为AB较短因为PC<PB+BC,PC-PB<BC,而B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB<AC-ABPDACB16. ABC=3C，1=2，BEAE，求证：AC-AB=2BEBAC=180-ABC+C=180-4C1=BAC/2=90-2CABE=90-1=2C延长BE交AC于F因为，1 =2，BEAE所以，ABF是等腰三角形AB=AF,BF=2BEFBC=ABC-ABE=3C-2C=CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE17. ，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求FAEDCBDC作AGBD交DE延长线于GAGE全等BDE AG=BD=5AGFCDF AF=AG=5所以DC=CF=2185分如图，在ABC中，BD=DC，1=2，求证：ADBC延长AD至H交BC于H;BD=DC;所以:DBC=角DCB;1=2;DBC+1=角DCB+2;ABC=ACB;所以:AB=AC;三角形ABD全等于三角形ACD;BAD=CAD;AD是等腰三角形的顶角平分线所以:AD垂直BC195分如图，OM平分POQ，MAOP,MBOQ，A, B为垂足，AB交OM于点N求证：OAB=OBA因为AOM与MOB都为直角三角形, 共用OM，且MOA=MOB所以MA=MB所以MAB=MBA因为OAM=OBM=90度所以OAB=90-MAB OBA=90-MBA所以OAB=OBA205分如图，ADBC，PAB的平分线与CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D求证：AD+BC=AB证明：做BE的延长线，与AP相交于F点，PA/BCPAB+CBA=180°，又，AE，BE均为PAB与CBA的角平分线EAB+EBA=90°AEB=90°，EAB为直角三角形在三角形ABF中，AEBF，且AE为FAB的角平分线三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中，EBC=DFE,且BE=EF，DEF=CEB，三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，DF=BCAB=AF=AD+DF=AD+BC216分如图，ABC中，AD是CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：C=2B证明：在AB上找点E，使AE=ACAE=AC，EAD=CAD，AD=ADADEADC。DE=CD，AED=CAB=AC+CD，DE=CD=AB-AC=AB-AE=BEB=EDBC=B+EDB=2B226分如图，E, F分别为线段AC上的两个动点，且DEAC于E，BFAC于F，假设AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M1求证：MB=MD，ME=MF2当E, F两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？假设成立请赐予证明；假设不成立请说明理由分析：通过证明两个直角三角形全等，即RtDECRtBFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形再依据平行四边形的性质得出结论解答：解：1连接BE，DFDEAC于E，BFAC于F，DEC=BFA=90°，DEBF，在RtDEC与RtBFA中，AF=CE，AB=CD，RtDECRtBFA，DE=BF四边形BEDF是平行四边形MB=MD，ME=MF；2连接BE，DFDEAC于E，BFAC于F，DEC=BFA=90°，DEBF，在RtDEC与RtBFA中，AF=CE，AB=CD，RtDECRtBFA，DE=BF四边形BEDF是平行四边形MB=MD，ME=MF 237分：如图，DCAB，且DC=AE，E为AB的中点，1求证：AEDEBC2观看图前，在不添协助线的状况下，除EBC外，请再写出两个与AED的面积相等的三角形干脆写出结果，不要求证明：(1)DCAE，且DC=AE，所以四边形AECD是平行四边形。于是知AD=EC，且EAD=BEC。由AE=BE，所以AEDEBC。2AEC, ACD, ECD都面积相等。247分如图，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F求证：BD=2CE证明：延长BA, CE，两线相交于点F BECE BEF=BEC=90° 在BEF与BEC中 FBE=CBE, BE=BE, BEF=BEC BEFBEC(ASA) EF=EC CF=2CE ABD+ADB=90°,ACF+CDE=90° 又ADB=CDE ABD=ACF 在ABD与ACF中 ABD=ACF, AB=AC, BAD=CAF=90° ABDACF(ASA) BD=CF BD=2CE25, 10分如图：DF=CE，AD=BC，D=C。求证：AEDBFC。26, 10分如图：AE, BC交于点M，F点在AM上，BECF，BE=CF。求证：AM是ABC的中线。证明：BECFE=CFM，EBM=FCMBE=CFBEMCFMBM=CMAM是ABC的中线. 27, 10分如图：在ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BDAC。三角形ABD与三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角ADB与角CDB相等，它们的与是180度，所以都是90度，BD垂直AC 28, 10分AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF证明：在ABD与ACD中AB=ACBD=DCAD=ADABDACDADB=ADCBDF=FDC在BDF与FDC中BD=DCBDF=FDCDF=DFFBDFCDBF=FC29, 12分如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。因为AB=DCAE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FB所以三角形ABE=三角形CDF因为 角DCB=角ABFAB=DC BF=CE三角形ABF=三角形CDE所以AF=DE30.公园里有一条“Z字形道路ABCD，如下图，其中ABCD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BECF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.证：AB平行CDB=C两直线平行，内错角相等M在BC的中点EM=FM中点定义在BME与CMF中 BE=CF B=C已证 EM=FM已证BME全等与CMFSASEMB=FMC全等三角形的对应角相等EMF=EMB+BMF=FMC+BMF=BMC=180°等式的性质E，M，F在同始终线上31：点A, F, E, C在同一条直线上， AFCE，BEDF，BEDF求证：ABECDF证明：AF=CEAF+EF=CE+EFAE=CFBE/DFBEA=DFC又BE=DF ABECDFSASDBCcAFE32.：如下图，ABAD，BCDC，E, F分别是DC, BC的中点，求证： AEAF。 连结BD，得到等腰三角形ABD与等腰三角形BDC，由等腰两底角相等得：角ABC=角ADC 在结合条件证得：ADEABF得AE=AF33如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，1=2，3=4，求证: 5=6 因为角1=角23=4所以角ADC=角ABC.又因为AC是公共边，所以AAS=>三角形ADC全等于三角形ABC.所以BC等于DC，角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC所以5=634ABDE，BCEF，D，C在AF上，且ADCF，求证：ABCDEF因为D,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因为AB平行DE，BC平行EF所以角A+角EDF，角BCA=角F两直线平行，内错角相等然后SSA角角边三角形全等ACBDEF35：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D, E，BD, CE相交于点F，求证：BE=CD证明：因为 AB=AC， 所以 EBC=DCB 因为 BDAC，CEAB 所以 BEC=CDB BC=CB (公共边) 那么有 三角形EBC全等于三角形DCB 所以 BECD36、 如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F。AEBDCF求证：DE=DFAAS证ADFDCBAE37.：如图, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE假设AB = 5 ,求AD 的长？角C=角E=90度角B=角EAD=90度-角BACBC=AEABCDAEAD=AB=538如图：AB=AC，MEAB，MFAC，垂足分别为E, F，ME=MF。求证：MB=MC证明AB=ACABC是等腰三角形B=C又ME=MF，BEM与CEM是直角三角形BEM全等于CEMMB=MC39.如图，给出五个等量关系： 请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论只需写出一种状况，并加以证明ABC：求证：证明：1,2求证4因为AD=BC AC=BD，在四边形ADBC中，连AB所以ADB全等于BCA 所以角D=角C以4,5为条件，1为结论。即：在四边形ABCD中，D=C，A=B，求证：AD=BC因为 A+B+C+D=360D=C，A=B，所以 2(A+D)=360°， A+D=180°，所以 AB/DC 40在ABC中，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ；(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，1中的结论还成立吗？假设成立，请给出证明；假设不成立，说明理由.（1） 证明：ACB=90°，ACD+BCE=90°，而ADMN于D，BEMN于E，ADC=CEB=90°，BCE+CBE=90°，ACD=CBE在RtADC与RtCEB中，ADC=CEBACD=CBE AC=CB，RtADCRtCEBAAS，AD=CE，DC=BE，DE=DC+CE=BE+AD；2不成立，证明：在ADC与CEB中，ADC=CEB=90°ACD=CBE AC=CB，ADCCEBAAS，AD=CE，DC=BE，DE=CE-CD=AD-BE；41如下图，AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证：1EC=BF；2ECBFAEBMCF（1） 证明;因为AE垂直AB所以角EAB=角EAC+角CAB=90度因为AF垂直AC所以角CAF=角CAB+角BAF=90度所以角EAC=角BAF因为AE=AB AF=AC所以三角形EAC与三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F（2） (2)延长FB与EC的延长线交于点G因为角ECA=角F(已证所以角G=角CAF因为角CAF=90度所以EC垂直BF42如图：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求证：1AM=AN；2AMAN。证明：1BEAC，CFABABM+BAC=90°，ACN+BAC=90°ABM=ACNBM=AC，CN=ABABMNACAM=AN2ABMNACBAM=NN+BAN=90°BAM+BAN=90°即MAN=90°AMAN43如图,A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BCEF连接BF, CE，证明ABF全等于DECSAS，然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF从而求得BC平行于EF44如图,ACBD，EA, EB分别平分CAB与DBA，CD过点E，那么AB与AC+BD相等吗？请说明理由在AB上取点N ,使得AN=AC CAE=EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN所以ANE=ACE又AC平行BD所以ACE+BDE=180而ANE+ENB=180所以ENB=BDENBE=EBNBE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD45, 10分 如图,: AD是BC上的中线 ,且DF=DE求证:BECF证明：AD是中线BD=CDDF=DE，BDE=CDFBDECDFBED=CFDBECFADECBF46, (10分)：如图，ABCD，DEAC，BFAC，E，F是垂足，求证：证明：DEAC，BFAC，DEC=AFB=90°，在RtDEC与RtBFA中，DE=BF，AB=CD，RtDECRtBFA，C=A，ABCD47, (10分)如图，1=2，3=4，求证：AB=CD 【待定】ACEDB48, (10分)如图，ACAB，DBAB，ACBE，AEBD，试揣测线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.结论：CE>DE。当AEB越小，那么DE越小。证明：过D作AE平行线与AC交于F，连接FB由条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形 ，且DFB为等腰三角形。RTBAE中，AEB为锐角，即AEB<90°DF/AE FDB=AEB<90°DFB中 DFB=DBF=(180°-FDB)/2>45°RTAFB中，FBA=90°-DBF <45° AFB=90°-FBA>45°AB>AFAB=CE AF=DECE>DE49, (10分)如图，ABDC，ACDB，BECE，求证：AEDE.ABECD先证明ABCBDC 的出角ABC=角DCB在证明ABEDCE得出AE=DEABCDEF图950如图9所示，ABC是等腰直角三角形，ACB90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：ADCBDE证明：作CG平分ACB交AD于GACB=90°ACG= DCG=45°ACB=90° AC=BCB=BAC=45°B=DCG=ACGCFADACF+DCF=90° ACF+CAF=90°CAF=DCF AC=CB ACG=BACGCBECG=BE DCG=B CD=BDCDG BDEADC=BDE第 14 页