中考复习讲义三种构造辅助圆解题的模型.docx

中考热点:三种构造协助圆解题的模型一、问题导读“圆”是一个完备的图形，在初中数学中具有丰富内容，其中大局部是及角度相关性质，如在圆周角中能轻易找到，等角和直角并及圆心角联络也比拟严密 ，通过在图形中构造协助圆往往能获得意想不到的效果，假如题目中出现了以下条件：三点及三点以上到同一点间隔 相等，作协助圆；同一侧有相等的角，或者须要构造出相等的角时，作协助圆；若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆在这些状况下，借助圆去解决一些问题都是特别好的一个选择，下面举例说明这三种构造协助圆解题的模型应用。二、典例精析类型1根据共端点等线段模型，根据圆的定义构造圆1.如图，已知，且k，则是的（）A2倍 Bk倍 C2k D1【分析】由，得到A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，则2，2，而k，即可得到k【解答】，A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，如图，2，2，而k，即2k2，k故选：B2.如图，在中，C90°，6，8，点F在边上，并且2，点E为边上的动点，将沿直线翻折，点C落在点P处，则点P到边间隔 的最小值是（）A1.5 B1.2 C2.4 D以上都不对【分析】先根据勾股定理求得的长，然后根据翻折的性质可知，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，根据垂线段最短可知当时，点P到的间隔 最短，然后根据题意画出图形，最终，利用相像三角形的性质求解即可【解答】如图所示：当在中，C90°，6，8，由勾股定理可求得10，由翻折的性质可知：2，C90°，90°由垂线段最短可知此时有最小值又为定值，有最小值又AA，即4/108，解得：3.23.221.2故选：B3.如图2所示,在凸四边形中,80°,则的度数为度【解析】，得到A，C，D在以B为圆心的同一个圆上，1/2, 1/2, + =80°,1/21/21/2()= 1/2×80°=40°,180°（）180°40°140°故答案为：1404. 如图，在四边形中，若25°，75°，则 度，度【解析】法一：，点B，C，D在以A为圆心的圆上，25°，1/212.5°，75°，1/237.5°故答案为：12.5，37.5法二：，25°，75°，（180°25°）÷277.5°，100°，（180°75°）÷252.5°，（180°100°）÷240°，52.5°40°12.5°，52.5°+77.5°130°，180°180°130°12.5°37.5°12.5°，37.5°类型2 直角模型，根据直径所对的圆周角是直角，构造三角形的外接圆解题5. 如图所示，矩形及矩形全等，点在一条直线上，的顶点P在线段上挪动，使得为直角的点P的个数是个【分析】的顶点P在线段上挪动，且为直角，点P也在以为直径的O的圆上运动；以为直径作O，O及的交点即为所求【解答】点在一条直线上，的顶点P在线段上挪动，为直角，点P在以为直径的O的圆上运动，点P就是O及的交点，由图示知，及O有2个交点故答案为：2【点评】本题主要考察了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角解答该题时，采纳了“数形结合”的数学思想6. 已知：如图，直尺的宽度为2，A、B两点在直尺的一条边上，6，C、D两点在直尺的另一条边上若90°，则C、D两点之间的间隔 为【分析】由90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，可得A，B，C，D在以为直径的圆上，C，D即是此圆及直尺的交点，设E为中点，可得是半径为3，然后作交于F，根据垂径定理可得：2，然后由勾股定理求得的长，继而求得答案【解答】设E为中点，90°，A，B，C，D在以为直径的圆上，连接，则1/23，作交于F，2，2，在和中，5，25故答案为：25【点评】此题考察了圆周角定理，垂径定理以及勾股定理等学问此题拿度适中，解题的关键是由90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，得到A，B，C，D在以为直径的圆上7. 已知中，5，12，90°，P是边上的动点（及点A、B不重合），Q是边上的动点（及点B、C不重合）（1）如图，当，且Q为的中点时，求线段的长；（2）当及不平行时，可能为直角三角形吗？若有可能，恳求出线段的长的取值范围；若不行能，请说明理由【分析】（1）根据平行线等分线段定理得到点P是斜边的中点，再直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，要求线段的长，只需根据勾股定理求得的长（2）若及不平行，则要使成为直角三角形只需保证90°根据直径所对的圆周角是直角，则分析以为直径的圆和斜边的公共点的状况：一是半圆和相切；二是半圆和相交首先求得相切时的值，即可进一步求得相交时的范围【解答】（1）在中90°，5，12，13；Q是的中点，；又，即P是的中点，中，13/2（2）当及不平行时，只有为直角，才可能是直角三角形以为直径作半圆D，当半圆D及相切时，设切点为M，连接，则，且5，1358；设x，则x，12x；在中，即（12x）8，解之得x10/3，2x20/3；即当20/3且点P运动到切点M位置时，为直角三角形当20/312时，半圆D及直线有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，为直角三角形当020/3时，半圆D及直线相离，即点P在边上运动时，均在半圆D外，90°，此时不行能为直角三角形当20/312时，可能为直角三角形8.已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0)(4,0),抛物线2过点,顶点为C,点P()为抛物线上一点,其中n<0.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;(2)当为钝角时,求m的取值范围.【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，再利用x0得出y的值即可得出C点坐标（2）因为为直径，所以当抛物线上的点P在C的内部时，满意为钝角，进而得出m的取值范围；解:(1) （1）抛物线y2（a0）过点A，B，2=0, 1642=0，解得：1/2, 3/2，抛物线的解析式为：y1/2x3/2x2，当x0时，y2，C（0，2）；(2)A(-1,0)(4,0),抛物线及y轴的交点D的坐标为(02),如图，抛物线的对称轴及x轴的交点为M(3/2,0),1+2=5(4+1) =254+2=16+4=20,则,由勾股定理的逆定理,知是直角三角形,90°,以M为圆心,以为半径作圆,则M经过点D,则M内抛物线上的全部的点都可以是P点,且使为钝角,根据抛物线及圆的对称性,M及抛物线的另一个交点坐标为(32),则满意条件的m的取值范围为1<m<0或3<m<4.类型3四点共圆模型(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆；(2)动点对定线段所张的角为定值.9. 如图2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），其中mn0点P为x轴正半轴上的一个动点，当到达最大时，干脆写出此时点P的坐标【解析】当以为弦的圆及x轴正半轴相切时，对应的最大，根据垂径定理和勾股定理即可求解当以为弦的圆及x轴正半轴相切时，作y轴，连接、A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），10. 在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（6，0），点C是y轴上的一个动点，当45°时，点C的坐标为【分析】如解答图所示，构造含有90°圆心角的P，则P及y轴的交点即为所求的点C留意点C有两个【解答】设线段的中点为E，点A（4，0）、B（6，0），10，E（1，0）（1）如答图1所示，过点E在第二象限作，且1/25，则易知为等腰直角三角形，90°，52；以点P为圆心，（或）长为半径作P，及y轴的正半轴交于点C，为P的圆周角，1/245°，即则点C即为所求过点P作y轴于点F，则5，1，在中，1，52，由勾股定理得：7，5+712，点C坐标为（0，12）；（2）如答图2所示，在第3象限可以参照（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，12）综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，12）故答案为：（0，12）或（0，12）【点评】本题难度较大由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的打破口，也是本题的难点所在11. 已知是等腰直角三角形，2，D是边上一中点，将绕C逆时针向旋得到，其点E是点A的对应点，点F是点D的对应点及交于点M；当从90°改变到180°时，点M运动的途径长为【分析】先证明A、D、M、C四点共圆，得到45°，即可推出点M在以为直径的O上，运动途径是弧，利用弧长公式即可解决问题【解答】，2180°，2180°，A、D、M、C四点共圆，45°，180°135°（补充：不用四点共圆的方法：由，推出，推出，即可证明45°）O是中点，连接、，90°，A、D、M、C四点共圆，当从90°改变到180°时，点M在以为直径的O上，运动途径是弧，【点评】本题考察几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的断定和性质、弧长公式、四点共圆等学问，解题的关键是发觉A、D、M、C四点共圆，最终一个问题的关键，正确探究出点M的运动途径，记住弧长公式，属于中考压轴题三、总结提升圆是我们初中阶段学习的唯一一个曲线图形，除了它本身的根本性质和计算常被考察到以外，还可以用作协助线。除了我们已知一条线段进展等腰三角形和直角三角形所运用的“两圆一垂”和“两垂一圆”以外，在涉及到一些动点相关的最值问题时，也特殊常用，这时候我们须要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时题目中虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们须要用的圆)，这就须要我们利用已知条件，借助图形把须要的实际存在的圆找出来，画出来。上面讲解并描述了常见的可以添加协助圆的方法，详细归纳如下：1利用圆的定义添补协助圆到一个定点等间隔 的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添协助圆的最根本方法简而言之，就是三点及三点以上到同一点间隔 相等，作协助圆。2作三角形的外接圆随意不在同始终线上的三点共圆，但是我们最常见到的确实是利用圆周角定理的推论，直角三角形在以斜边为直径的圆上。3四点共圆(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆这是由书上圆内接四边形对角互补的性质拓展出来的一个应用，前者在中考中出现频率特殊大，我甚至跟我学生说只要出现了内接和四边形等字眼，确定要想着去应用这条性质。而由此拓展出来的一条断定四点共圆的方法在我们解决线段长度和最值相关的问题时，特殊好用。(2)同底同侧有相等顶角的三角形，则各顶点四点共圆（若能证明其两顶角为直角，即可确定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）推断四点共圆后，就可以借助过这四点的协助圆解题。这也是我们非经常见的一类共圆问题，还可以拓展到利用圆来构造相等的角。