中考总复习二次函数知识讲解基础.docx

中考总复习：二次函数学问讲解根底【考纲要求】1二次函数概念常为中档题主要考察点坐标、确定解析式、自变量取值范围等；2二次函数解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题热点；3抛物线性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容综合题一般较难，在解答题中出现【学问网络】 【考点梳理】考点一、二次函数定义 一般地，假如a、b、c是常数，a0，那么y叫做x二次函数要点诠释： 二次函数(a0)构造特征是：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x二次式，x最高次数是2(2)二次项系数a0考点二、二次函数图象及性质(a0)图象是一条抛物线，顶点为2.当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下3.|a|大小确定抛物线开口大小|a|越大，抛物线开口越小，|a|越小，抛物线开口越大 c大小确定抛物线与y轴交点位置c0时，抛物线过原点；c0时，抛物线与y轴交于正半轴；c0时，抛物线与y轴交于负半轴 ab符号确定抛物线对称轴位置当ab0时，对称轴为y轴；当ab0时，对称轴在y轴左侧；当ab0时，对称轴在y轴右侧图象，可以由图象挪动而得到将向上挪动k个单位得：将向左挪动h个单位得：将先向上挪动k(k0)个单位，再向右挪动h(h0)个单位，即得函数图象要点诠释：求抛物线a0对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自优缺点，应依据实际敏捷选择和运用考点三、二次函数解析式：(a0) 假设条件是图象上三个点，那么设所求二次函数为，将条件代入，求出a、b、c值2.交点式双根式： 假设二次函数图象与x轴两个交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为，将第三点(m，n)坐标(其中m、n为数)或其他条件代入，求出待定系数，最终将解析式化为一般形式： 假设二次函数图象顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为，将条件代入，求出待定系数，最终将解析式化为一般形式：假设二次函数图象上两对称点(x1，m)，(x2，m)，那么可设所求二次函数为，将条件代入，求得待定系数，最终将解析式化为一般形式要点诠释： 图象上三点或三对、值，通常选择一般式.图象顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成图象平移后所对应函数).图象与轴交点坐标、，通常选用交点式：a0.(由此得根与系数关系：).考点四、二次函数(a0) 图象位置与系数a、b、c关系1.开口方向：a0时，开口向上，否那么开口向下2.对称轴：时，对称轴在y轴右侧；当时，对称轴在y轴左侧3.与x轴交点：时，有两个交点；时，有一个交点；时，没有交点要点诠释： 当x1时，函数ya+b+c； 当x-1时，函数ya-b+c； 当a+b+c0时，x1与函数图象交点在x轴上方，否那么在下方； 当a-b+c0时，x-1与函数图象交点在x轴上方，否那么在下方考点五、二次函数最值1.当a0时，抛物线有最低点，函数有最小值，当时，2.当a0时，抛物线有最高点，函数有最大值，当时，要点诠释： 在求应用问题最值时，除求二次函数最值，还应考虑实际问题自变量取值范围【典型例题】类型一、应用二次函数定义求值1二次函数y=x2-2k+1x+k+3有最小值-4，且图象对称轴在y轴右侧，那么k值是 2【思路点拨】因为图象对称轴在y轴右侧，所以对称轴x=k+10，即k-1；又因为二次函数y=x2-2k+1x+k+3有最小值-4，所以y最小值= =-4，可以求出k值【答案与解析】解：图象对称轴在y轴右侧，对称轴x=k+10，解得k-1，二次函数y=x2-2k+1x+k+3有最小值-4，y最小值= =k+3-k+12=-k2-k+2=-4，整理得k2+k-6=0，解得k=2或k=-3，k=-3-1，不合题意舍去，k=2【总结升华】求二次函数最大小值有三种方法，第一种可由图象干脆得出，第二种是配方法，第三种是公式法举一反三：【变式】是二次函数，求k值【答案】是二次函数，那么由得，即，得，明显，当k-3时，原函数为y0，不是二次函数 k2即为所求类型二、二次函数图象及性质应用2把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，那么平移后抛物线解析式为( ) A B C D【思路点拨】抛物线平移问题，本质上是顶点平移，原抛物线y=-x2顶点坐标为0，0，向左平移1个单位，然后向上平移3个单位后，顶点坐标为-1，3，依据抛物线顶点式可求平移后抛物线解析式【答案】 D；【解析】依据抛物线平移规律可知：向左平移1个单位可变成，再向上平移3个单位后可变成【总结升华】(1)图象向左或向右平移|h|个单位，可得图象(h0时向左，h0时向右) (2)图象向上或向下平移|k|个单位，可得图象(k0时向上，k0时向下)举一反三：【变式】将二次函数图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象函数表达式是( )A B C D【答案】依据平移规律“上加下减，左加右减得应选A.类型三、求二次函数解析式3二次函数图象经过点(1，0)，(-5，0)，顶点纵坐标为，求这个二次函数解析式 【思路点拨】将点1，0，-5，0代入二次函数y=ax2+bx+c，再由 ，从而求得a，b，c值，即得这个二次函数解析式【答案与解析】解法一：由题意得 解得所以二次函数解析式为解法二：由题意得 把代入，得，解得所以二次函数解析式为，即 解法三：因为二次函数图象与x轴两交点为(1，0)，(-5，0)，由其对称性知，对称轴是直线所以，抛物线顶点是可设函数解析式为即【总结升华】依据题目条件，有多种方法求二次函数解析式举一反三：【变式】：抛物线经过点1求值；2假设，求这条抛物线顶点坐标；3假设，过点作直线轴，交轴于点，交抛物线于另一点，且，求这条抛物线所对应二次函数关系式提示：请画示意图思索【答案】解：1依题意得：， 2当时， 抛物线顶点坐标是 yxOBPA3解法1：当时，抛物线对称轴，对称轴在点左侧因为抛物线是轴对称图形，且 又，抛物线所对应二次函数关系式 解法2：当时，对称轴在点左侧因为抛物线是轴对称图形，且 又，解得：这条抛物线对应二次函数关系式是 解法3：， 轴， 即：解得：，即 由，这条抛物线对应二次函数关系式. 类型四、二次函数图象位置与a、b、c关系42021 包头如图，二次函数y=ax2+bx+ca0图象与x轴交于点A1，0，对称轴为直线x=1，与y轴交点B在0，2和0，3之间包括这两点，以下结论：当x3时，y0；3a+b0；1a；4acb28a；其中正确结论是ABCD【思路点拨】先由抛物线对称性求得抛物线与x轴令一个交点坐标为3，0，从而可知当x3时，y0；由抛物线开口向下可知a0，然后依据x=1，可知：2a+b=0，从而可知3a+b=0+a=a0；设抛物线解析式为y=ax+1x3，那么y=ax22ax3a，令x=0得：y=3a由抛物线与y轴交点B在0，2和0，3之间，可知23a3由4acb28a得c20与题意不符【答案】B；【答案与解析】解：由抛物线对称性可求得抛物线与x轴令一个交点坐标为3，0，当x3时，y0，故正确；抛物线开口向下，故a0，x=1，2a+b=03a+b=0+a=a0，故正确；设抛物线解析式为y=ax+1x3，那么y=ax22ax3a，令x=0得：y=3a抛物线与y轴交点B在0，2和0，3之间，23a3解得：1a，故正确；抛物线y轴交点B在0，2和0，3之间，2c3，由4acb28a得：4ac8ab2，a0，c2c20c2，与2c3冲突，故错误应选：B【总结升华】此题主要考察是二次函数图象和性质，驾驭抛物线对称轴、开口方向与系数a、b、c之间关系是解题关键举一反三：【变式】如下图是二次函数图象一部分，图象经过点A(-3，0)，对称轴为给出四个结论：；其中正确结论是 A B C D【答案】本例是利用二次函数图象位置与a、b、c和、差、积符号问题，其中利用直线， 交抛物线位置来推断，符号问题应留意理解和驾驭由图象开口向下，可知a0，图象与x轴有两个交点，所以， 确对称轴为，所以，又由a0，b2a，可得5ab，正确应选B.类型五、求二次函数最值5某商品进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；假如每件商品售价每上涨1元，那么每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)设每件商品售价上涨x元(x为正整数)，每个月销售利润为)y元(1)求y与x函数关系式并干脆写出自变量x取值范围 (2)每件商品售价定为多少元时，每个月可获得最大利润最大月利润是多少元(3)每件商品售价定为多少元时，每个月利润恰为2200元？依据以上结论，请你干脆写出售价在什么范围时，每个月利润不低于2200元【思路点拨】1每件商品售价每上涨1元，那么每个月少卖10件，当每件商品售价上涨x元时，每个月可卖出210-10x件，每件商品利润为x+50-40=10+x；2每个月利润为卖出商品数和每件商品乘积，即210-10x10+x，当每个月利润恰为2200元时得到方程210-10x10+x=2200求此方程中x值【答案与解析】(1)y(210-l0x)(50+x-40)-10x2+110x+2100(0<x15且x为整数) (2)y-10(x-5.5)2+2402.5 a-100， 当x5.5时，y有最大值2402.5 0<x15，且x为整数， 当x5时，50+x55，y2400(元)；当x6时，50+x56，y2400(元) 当售价定为每件55元或56元时，每个月利润最大，最大月利润是2400元 (3)当y2200时，-10x2+110x+21002200， 解得x11，x210 当x1时，50+x51；当x10时，50+x60 当售价定为每件51元或60元时，每个月利润为2200元【总结升华】做此类应用题时，要明确题目中所给信息，并找到其中相等量可以用不同表达式表示就可以列出方程举一反三：【变式】某水果批发商销售每箱进价为40元苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发觉，假设每箱以50元价格销售，平均每天销售90箱，价格每进步l元，平均每天少销售3箱。 (1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间函数关系式 (2)求该批发商平均每天销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间函数关系式(3)当每箱苹果销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少【答案】解：(1)， 化简得y-3x+240(50x55)(2)w(x-40)(-3x+240)(50x55) (3)w， a0， 抛物线开口向下当时，w有最大值， 又x60，w随x增大而增大 当x55元时，w最大值为l125元。 当每箱苹果销售价为55元时，可以获得1125元最大利润类型六、二次函数综合题62021 北京在平面直角坐标系xOy中，过点0，2且平行于x轴直线，与直线y=x1交于点A，点A关于直线x=1对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B1求点A，B坐标；2求抛物线C1表达式及顶点坐标；3假设抛物线C2：y=ax2a0与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a取值范围【思路点拨】1当y=2时，那么2=x1，解得x=3，确定A3，2，依据AB关于x=1对称，所以B1，22把3，2，2，2代入抛物线C1：y=x2+bx+c得，求出b，c值，即可解答；3画出函数图象，把A，B代入y=ax2，求出a值，即可解答【答案与解析】解：1当y=2时，那么2=x1，解得：x=3，A3，2，点A关于直线x=1对称点为B，B1，22把3，2，2，2代入抛物线C1：y=x2+bx+c得：解得：y=x22x1顶点坐标为1，23如图，当C2过A点，B点时为临界，代入A3，2那么9a=2，解得：a=，代入B1，2，那么a12=2，解得：a=2，【总结升华】此题考察了二次函数性质，解集此题关键是求出二次函数解析式，并结合图形解决问题举一反三：【变式1】函数图象如下图，依据其中供应信息，可求得使y1成立x取值范围是( )A-1x3 B-3x1 Cx-3 Dx-1或x3【答案】由图象知，使yl成立x值为x-1，x3，使y1图象是在直线y1上方两部分答案：D.【变式2】：抛物线为常数，且.1求证：抛物线与轴有两个交点；2设抛物线与轴两个交点分别为、在左侧，与轴交点为. 当时，求抛物线解析式；将中抛物线沿轴正方向平移个单位>0，同时将直线：沿轴正方向平移，挪动后、对应点分别为、.当为何值时，在直线上存在点，使得为以为直角边等腰直角三角形【答案】1证明：令,那么.= , . 方程有两个不相等实数根. 抛物线与轴有两个交点. 2令,那么，解方程，得. 在左侧,且, 抛物线与轴两个交点为，. 抛物线与轴交点为， . .在Rt中，可得 ， 抛物线解析式为. 依题意，可得直线解析式为，,. 为以为直角边等腰直角三角形， 当时，点坐标为或. .解得 或. 当时，点坐标为或.解得或不合题意，舍去.综上所述，或.