高中数学必修4平面向量教案.docx

老师姓名杨建才学生姓名邓婷婷填写时间2012-1-1年级高一学科数学上课时间2012-1-216:00-18:00阶段根底（ ） 进步（ ）强化（ ）课时安排第（7）次课共（ 60）次课教学目的1、理解和驾驭平面对量有关的概念；2、娴熟驾驭平面对量的几何运算和坐标运算；3、熟识平面对量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；4、明确平面对量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面的应用； 重难点1、向量的综合应用。2、用向量学问，实现几何及代数之间的等价转化。课后作业：依据学生上课承受状况布置相关作业老师评语及建议：科组长签字： 高中数学必修4 平面对量根本学问回忆：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：用有向线段表示-(几何表示法)；用字母、等表示(字母表示法)；平面对量的坐标表示（坐标表示法）：分别取及轴、轴方向一样的两个单位向量、作为基底。任作一个向量，由平面对量根本定理知，有且只有一对实数、，使得，叫做向量的（直角）坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特殊地，。；若，则，3.零向量、单位向量：长度为0的向量叫零向量，记为； 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：就是单位向量）4.平行向量：方向一样或相反的非零向量叫平行向量；我们规定及任一向量平行.向量、平行，记作.共线向量及平行向量关系：平行向量就是共线向量.性质：是唯一） （其中 ）5.相等向量和垂直向量：相等向量：长度相等且方向一样的向量叫相等向量.垂直向量两向量的夹角为性质： （其中 ）6.向量的加法、减法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。平行四边形法则： （起点一样的两向量相加，常要构造平行四边形）三角形法则加法法则的推广： 即个向量首尾相连成一个封闭图形，则有向量的减法向量加上的相反向量，叫做及的差。即： -= + (-)；差向量的意义： = , =, 则=- 平面对量的坐标运算：若，则，。向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：(+) +=+ (+)常用结论：（1）若，则D是AB的中点（2）或G是ABC的重心，则7向量的模：1、定义：向量的大小，记为 | 或 |2、模的求法：若 ，则 |若， 则 |3、性质：（1）； （实数及向量的转化关系）（2），反之不然（3）三角不等式：（4） （当且仅当共线时取“=”）即当同向时 ，； 即当同反向时 ，（5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，即8实数及向量的积：实数及向量的积是一个向量，记作：（1）|=|；（2）>0时及方向一样；<0时及方向相反；=0时=；（3）运算定律 ()=()，(+)=+，(+)=+交换律：;安排律： ()·=(·)=·();不满意结合律：即向量没有除法运算。如：，都是错误的（4）已知两个非零向量，它们的夹角为，则 =坐标运算：，则（5）向量在轴上的投影为：， （为的夹角，为的方向向量）其投影的长为 （为的单位向量）（6）的夹角和的关系： （1）当时，同向；当时，反向 （2）为锐角时，则有； 为钝角时，则有9向量共线定理：向量及非零向量共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数，使=。10平面对量根本定理：假如，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使=1+2。(1)不共线向量、叫做表示这一平面内全部向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进展分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. 1，2是被，唯一确定的数量。向量坐标及点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则=(x2-x1,y2-y1)11. 向量和的数量积：·=| |·|cos，其中0，为和的夹角。|cos称为在的方向上的投影。·的几何意义是：的长度|在的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。若 =（，）, =（x2，）, 则运算律：a· b=b·a, (a)· b=a·(b)=（a·b）， （a+b）·c=a·c+b·c。和的夹角公式：cos=|2=x2+y2，或|=| a·b | a |·| b |。12.两个向量平行的充要条件：符号语言：若，则=坐标语言为：设=（x1,y1），=(x2,y2)，则(x1,y1)=(x2,y2)，即，或x1y2-x2y1=0在这里，实数是唯一存在的，当及同向时，>0；当及异向时，<0。|=，的大小由及的大小确定。因此，当，确定时，的符号及大小就确定了。这就是实数乘向量中的几何意义。13.两个向量垂直的充要条件：符号语言：·=0坐标语言：设=(x1,y1), =(x2,y2)，则x1x2+y1y2=0例题讲解例1、如图，为单位向量，及夹角为1200， 及的夹角为450，|=5，用，表示。例2、已知ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量坐标。例3、求及向量=，-1）和=（1，）夹角相等，且模为的向量的坐标。 例4、在OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使|=13，|=14，设线段AN及BM交于点P，记= ，=，用 ，表示向量。例5、已知长方形ABCD，AB=3，BC=2，E为BC中点，P为AB上一点（1） 利用向量学问断定点P在什么位置时，PED=450；（2） 若PED=450，求证：P、D、C、E四点共圆。例6、直角坐标系中，分别是及轴正方向同向的单位向量在直角三角形中，若，则的可能值个数是（）1 2 3 4例7、如图，平面内有三个向量、,其中及及的夹角为120°，及的夹角为30°,且|1，| ，若+（，R）,则+的值为 .例8、设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（ ）A.(15,12)B.0 C.3 D.11例9、已知平面对量，且，则=（ ） A（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）例10、已知平面对量=（1，3），=（4，2），及垂直，则是（ ）A. 1 B. 1C. 2D. 2例11、在平行四边形ABCD中，AC及BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线及CD交于点F. 若, ,则（ ） AB. C. D. 例12、已知向量和的夹角为，则例13、已知向量 ,函数(1)求的最小正周期; (2)当时, 若求的值 点例14、已知向量(cosx，sinx)，()，且x0，（1）求（2）设函数+，求函数的最值及相应的的值。进步练习一一、选择题1 下列命题中正确的是（ ）A B C D 2 设点，,若点在直线上，且，则点的坐标为（ ）A B C 或 D 多数多个3 若平面对量及向量的夹角是，且，则( )A B C D 4 向量，若及平行，则等于A B C D 5 若是非零向量且满意， ，则及的夹角是（ ）A B C D 6 设，且，则锐角为（ ）A B C D 二、填空题1 若，且，则向量及的夹角为 2 已知向量，若用和表示，则=_ 3 若,，及的夹角为，若，则的值为 4 若菱形的边长为，则_ 5 若=，=，则在上的投影为_ 三、解答题1 求及向量，夹角相等的单位向量的坐标 2 试证明：平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和 3 设非零向量，满意，求证： 4 已知，其中 (1)求证： 及互相垂直；(2)若及的长度相等，求的值(为非零的常数) 进步练习二一、选择题1设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（ ）。A、-9 B、-6 C、9 D、6 2已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（ ）。A、B、C、D、3设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得向量为（ ）。 A、（2，3） B、（1，2） C、（3，4） D、（4，7） 4若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ABC是（ ）。 A、直角三角形 B、等边三角形C、等腰三角形 D、等腰直角三角形 5已知|=4, |b|=3, 及b的夹角为60°，则|+b|等于（ ）。 A、B、C、D、6已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（ ）。 A、B、C、D、7O是ABC所在平面上一点，且满意条件，则点O是ABC的（ ）。 A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心 8设、b、均为平面内随意非零向量且互不共线，则下列4个命题： (1)(·b)2=2·b2;(2)|+b|-b|;(3)|+b|2=(+b)2;(4)(b)-(a)b及不肯定垂直。其中真命题的个数是（ ）。A、1 B、2 C、3 D、4 9在ABC中，A=60°，b=1，则等于（ ）。 A、B、C、D、10向量和b的夹角平分线上的单位向量是（ ）。 A、+b B、C、D、11台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向挪动，离台风中心30千米内的地区为危急区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危急区内的时间为（ ）。 A、0.5小时 B、1小时 C、1.5小时 D、2小时 12设、b不共线，则关于x的方程x2+bx+=0的解的状况是（ ）。 A、至少有一个实数解 B、至多只有一个实数解C、至多有两个实数解 D、可能有多数个实数解二、填空题 13把函数y=4x的图象按平移到F, F的函数解析式为y=4x-2-2, 则等于_。 14锐角三角形三边长分别为2，3，x则x的取值范围是_。 15有一两岸平行的河流，水速为1，速度为的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝_方向行驶。 16假如向量及b的夹角为，那么我们称×b为向量及b的“向量积”，×b是一个向量，它的长度|×b|=|b|sin，假如|=3, |b|=2, ·b=-2，则|×b|=_。 三、解答题17已知向量=, 求向量b，使|b|=2|，并且及b的夹角为。 18已知平面上3个向量、b、的模均为1，它们互相之间的夹角均为120°。 平面对量 全章检测一、选择题1在ABC中，肯定成立的是（ ）AasinA=bsinB BacosA=bcosB CasinB=bsinADacosB=bcosA 2ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则ABC为（ ） A直角三角形B等腰直角三角形C等边三角形D等腰三角形3在ABC中，较短的两边为,且A=45°,则角C的大小是（ ）A15°B75C120°D60°4在ABC中，已知,则·等于（ ）A2B2C±2D±45设A是ABC中的最小角，且，则实数a的取值范围是（ ）Aa3Ba1C1a3Da06在ABC中,三边长AB=7，BC=5，AC=6，则·等于（ ）A19B14C18D197在ABC中，AB是sinAsinB成立的什么条件（ ）A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要 8若ABC的3条边的长分别为3，4，6，则它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比是（ ）A11B12C14D34 9已知向量，若及垂直，则实数=（ ）A1B1C0D2 10已知向量a=，向量b=，则|2ab|的最大值是（ ）A4B4C2D211已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)及(ab)垂直的（ ）A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件12有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（ ）A1公里Bsin10°公里Ccos10°公里Dcos20°公里第卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13在ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .14在ABC中，已知AB=l，C=50°，当B= 时，BC的长获得最大值.15向量a、b满意（ab）·（2a+b）=4，且|a|=2，|b|=4，则a及b夹角的余弦值等于 .16已知ab、c及a、b的夹角均为60°，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2bc) .三、解答题（本大题共74分，1721题每题12分，22题14分）17设e1、e2是两个互相垂直的单位向量，且a=3e1+2e2,b=3e1+4e2,求a·b.18设三角形各角的余切成等差数列，求证：相应各边的平方也成等差数列19已知ABC中，A（2，1），B（3，2），C（3，1），BC边上的高为AD，求及D点坐标.20如图，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上随意一点，以AB为一边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？ 21如图，在RtABC中，已知BC=a.若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.