相似三角形练习题附参考答案.docx

相像三角形练习题附参考答案相像三角形一解答题（共30小题）1如图，在ABC中，DEBC，EFAB，求证：ADEEFC2如图，梯形ABCD中，ABCD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G（1）求证：CDFBGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EFCD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长3如图，点D，E在BC上，且FDAB，FEAC求证：ABCFDE4如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BFAE于F，试说明：ABFEAD5已知：如图所示，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点（1）求证：BE=CD；AMN是等腰三角形；（2）在图的基础上，将ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图所示的图形请干脆写出（1）中的两个结论是否照旧成立；（3）在（2）的条件下，请你在图中延长ED交线段BC于点P求证：PBDAMN6如图，E是ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F在不添加帮助线的状况下，请你写出图中全部的相像三角形，并任选一对相像三角形赐予证明7如图，在4×3的正方形方格中，ABC和DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上（1）填空：ABC=_°，BC=_；（2）推断ABC与DEC是否相像，并证明你的结论8如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm某一时刻，动点M从A点动身沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点动身沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与ACD相像？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由9如图，在梯形ABCD中，若ABDC，AD=BC，对角线BD, AC把梯形分成了四个小三角形（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的全部可能状况，并求出选取到的两个三角形是相像三角形的概率是多少；（留意：全等看成相像的特例）（2）请你任选一组相像三角形，并给出证明10如图ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，BAC=45°，BDC=60°，CEBD于E，连接AE（1）写出图中全部相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相像三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求BEC与BEA的面积之比11如图，在ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的随意一点，过点M分别作AB, AC的平行线交AC于P，交AB于Q（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相像三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论12已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：ADMMCP13如图，已知梯形ABCD中，ADBC，AD=2，AB=BC=8，CD=10（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B动身，以1cm/s的速度，沿BADC方向，向点C运动；动点Q从点C动身，以1cm/s的速度，沿CDA方向，向点A运动，过点Q作QEBC于点E若P, Q两点同时动身，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒问：当点P在BA上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P, A, D为顶点的三角形与CQE相像？若存在，请求出全部符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P, D, Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出全部符合条件的t的值；若不存在，请说明理由14已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P, Q分别是AB, BC上运动的两点若P自点A动身，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B动身以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P, B, Q为顶点的三角形与BDC相像？15如图，在ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A起先沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B起先沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，假如P, Q分别从A, B同时动身，问经过几秒钟，PBQ与ABC相像16如图，ACB=ADC=90°，AC=，AD=2问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相像17已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A, B），使得CDM与MAN相像？若能，请给出证明，若不能，请说明理由18如图在ABC中，C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B动身，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C动身，沿CA方向以1cm/s的速度移动若Q, P分别同时从B, C动身，摸索究经过多少秒后，以点C, P, Q为顶点的三角形与CBA相像？19如图所示，梯形ABCD中，ADBC，A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相像20ABC和DEF是两个等腰直角三角形，A=D=90°，DEF的顶点E位于边BC的中点上（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：BEMCNE；（2）如图2，将DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相像三角形外，能否再找出一对相像三角形并证明你的结论21如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A起先向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D起先向点A以1cm/s的速度移动假如P, Q同时动身，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q, A, P为顶点的三角形与ABC相像22如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23阳光明媚的一天，数学爱好小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜请你在他们供应的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案（1）所需的测量工具是：_；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x24问题背景在某次活动课中，甲, 乙, 丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体其粗细忽视不计）的高度为200cm，影长为156cm任务要求：（1）请依据甲, 乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与O相切于点M请依据甲, 丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；须要时可接受等式1562+2082=2602）25阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC26如图，李华晚上在路灯下闲逛已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=OP=l，两灯柱之间的距离OO=m（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v227如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3（1）如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1, S2, S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论28已知：如图，ABCADE，AB=15，AC=9，BD=5求AE29已知：如图RtABCRtBDC，若AB=3，AC=4（1）求BD, CD的长；（2）过B作BEDC于E，求BE的长30（1）已知，且3x+4z2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相像三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长一解答题（共30小题）1如图，在ABC中，DEBC，EFAB，求证：ADEEFC解答：证明：DEBC，DEFC，AED=C又EFAB，EFAD，A=FECADEEFC点评：本题考查的是平行线的性质和相像三角形的判定定理2如图，梯形ABCD中，ABCD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G（1）求证：CDFBGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EFCD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长解答：（1）证明：梯形ABCD，ABCD，CDF=FGB，DCF=GBF，（2分）CDFBGF（3分）（2）解：由（1）CDFBGF，又F是BC的中点，BF=FC，CDFBGF，DF=GF，CD=BG，（6分）ABDCEF，F为BC中点，E为AD中点，EF是DAG的中位线，2EF=AG=AB+BGBG=2EFAB=2×46=2，CD=BG=2cm（8分）3如图，点D，E在BC上，且FDAB，FEAC求证：ABCFDE解答：证明：FDAB，FEAC，B=FDE，C=FED，ABCFDE4如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BFAE于F，试说明：ABFEAD解答：证明：矩形ABCD中，ABCD，D=90°，（2分）BAF=AED（4分）BFAE，AFB=90°AFB=D（5分）ABFEAD（6分）点评：考查相像三角形的判定定理，关键是找准对应的角5已知：如图所示，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点（1）求证：BE=CD；AMN是等腰三角形；（2）在图的基础上，将ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图所示的图形请干脆写出（1）中的两个结论是否照旧成立；（3）在（2）的条件下，请你在图中延长ED交线段BC于点P求证：PBDAMN 解答：（1）证明：BAC=DAE，BAE=CAD，AB=AC，AD=AE，ABEACD，BE=CD由ABEACD，得ABE=ACD，BE=CD，M, N分别是BE，CD的中点，BM=CN又AB=AC，ABMACNAM=AN，即AMN为等腰三角形（2）解：（1）中的两个结论照旧成立（3）证明：在图中正确画出线段PD，由（1）同理可证ABMACN，CAN=BAMBAC=MAN又BAC=DAE，MAN=DAE=BACAMN，ADE和ABC都是顶角相等的等腰三角形PBD和AMN都为顶角相等的等腰三角形，PBD=AMN，PDB=ANM，PBDAMN6如图，E是ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F在不添加帮助线的状况下，请你写出图中全部的相像三角形，并任选一对相像三角形赐予证明分析：依据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相像这一判定定理可证明图中相像三角形有：AEFBEC；AEFDCF；BECDCF解答：解：相像三角形有AEFBEC；AEFDCF；BECDCF（3分）如：AEFBEC在ABCD中，ADBC，1=B，2=3（6分）AEFBEC（7分）7如图，在4×3的正方形方格中，ABC和DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上（1）填空：ABC=135°°，BC=；（2）推断ABC与DEC是否相像，并证明你的结论解答：解：（1）ABC=135°，BC=；（2）相像；BC=，EC=；，；又ABC=CED=135°，ABCDEC8如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm某一时刻，动点M从A点动身沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点动身沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与ACD相像？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由解：（1）设经过x秒后，AMN的面积等于矩形ABCD面积的，则有：（62x）x=×3×6，即x23x+2=0，（2分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，所以经过1秒或2秒后，AMN的面积等于矩形ABCD面积的（4分）（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与ACD相像，由矩形ABCD，可得CDA=MAN=90°，因此有或（5分）即，或（6分）解，得t=；解，得t=（7分）经检验，t=或t=都符合题意，所以动点M，N同时动身后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与ACD相像（8分）9如图，在梯形ABCD中，若ABDC，AD=BC，对角线BD, AC把梯形分成了四个小三角形（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的全部可能状况，并求出选取到的两个三角形是相像三角形的概率是多少；（留意：全等看成相像的特例）（2）请你任选一组相像三角形，并给出证明解答：解：（1）任选两个三角形的全部可能状况如下六种状况：，（2分）其中有两组（，）是相像的选取到的二个三角形是相像三角形的概率是P=（4分）证明：（2）选择, 证明在AOB与COD中，ABCD，CDB=DBA，DCA=CAB，AOBCOD（8分）选择, 证明四边形ABCD是等腰梯形，DAB=CBA，在DAB与CBA中有AD=BC，DAB=CAB，AB=AB，DABCBA，（6分）ADO=BCO又DOA=COB，DOACOB（8分）点评：此题考查概率的求法：假如一个事务有n种可能，而且这些事务的可能性相同，其中事务A出现m种结果，那么事务A的概率P（A）=，即相像三角形的证明还考查了相像三角形的判定10附加题：如图ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，BAC=45°，BDC=60°，CEBD于E，连接AE（1）写出图中全部相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相像三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求BEC与BEA的面积之比解答：解：（1）AD=DE，AE=CECEBD，BDC=60°，在RtCED中，ECD=30°CD=2EDCD=2DA，AD=DE，DAE=DEA=30°=ECDAE=CE（2）图中有三角形相像，ADEAEC；CAE=CAE，ADE=AEC，ADEAEC；（3）作AFBD的延长线于F，设AD=DE=x，在RtCED中，可得CE=，故AE=ECD=30°在RtAEF中，AE=，AED=DAE=30°，sinAEF=，AF=AEsinAEF=点评：本题主要考查了直角三角形的性质，相像三角形的判定和三角形面积的求法等，范围较广11如图，在ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的随意一点，过点M分别作AB, AC的平行线交AC于P，交AB于Q（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相像三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论解答：解：（1）ABMP，QMAC，四边形APMQ是平行四边形，B=PMC，C=QMBAB=AC， B=C，PMC=QMBBQ=QM，PM=PC四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a（2）PMAB，PCMACB，QMAC，BMQBCA；（3）当点M中BC的中点时，四边形APMQ是菱形，点M是BC的中点，ABMP，QMAC，QM，PM是三角形ABC的中位线AB=AC，QM=PM=AB=AC又由（1）知四边形APMQ是平行四边形，平行四边形APMQ是菱形12已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：ADMMCP解答：证明：正方形ABCD，M为CD中点，CM=MD=ADBP=3PC，PC=BC=AD=CMPCM=ADM=90°，MCPADM13如图，已知梯形ABCD中，ADBC，AD=2，AB=BC=8，CD=10（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B动身，以1cm/s的速度，沿BADC方向，向点C运动；动点Q从点C动身，以1cm/s的速度，沿CDA方向，向点A运动，过点Q作QEBC于点E若P, Q两点同时动身，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒问：当点P在BA上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P, A, D为顶点的三角形与CQE相像？若存在，请求出全部符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P, D, Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出全部符合条件的t的值；若不存在，请说明理由解答：解：（1）过D作DHAB交BC于H点，ADBH，DHAB，四边形ABHD是平行四边形DH=AB=8；BH=AD=2CH=82=6CD=10，DH2+CH2=CD2DHC=90°B=DHC=90°梯形ABCD是直角梯形SABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40（2）BP=CQ=t，AP=8t，DQ=10t，AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，8t+2+10t=t+8+tt=38当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分第一种状况：0t8若PADQEC则ADP=CtanADP=tanC=，t=若PADCEQ则APD=C tanAPD=tanC=，=t=第二种状况：8t10，P, A, D三点不能组成三角形；第三种状况：10t12ADP为钝角三角形与RtCQE不相像；t=或t=时，PAD与CQE相像第一种状况：当0t8时过Q点作QEBC，QHAB，垂足为E, HAP=8t，AD=2，PD=CE=t，QE=t，QH=BE=8t，BH=QE=tPH=tt=tPQ=，DQ=10t：DQ=DP，10t=，解得t=8秒：DQ=PQ，10t=，化简得：3t252t+180=0解得：t=，t=8（不合题意舍去）t=第二种状况：8t10时DP=DQ=10t当8t10时，以DQ为腰的等腰DPQ恒成立第三种状况：10t12时DP=DQ=t10当10t12时，以DQ为腰的等腰DPQ恒成立综上所述，t=或8t10或10t12时，以DQ为腰的等腰DPQ成立14已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P, Q分别是AB, BC上运动的两点若P自点A动身，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B动身以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P, B, Q为顶点的三角形与BDC相像？解答：解：设经x秒后，PBQBCD，由于PBQ=BCD=90°，（1）当1=2时，有：，即；（2）当1=3时，有：，即，经过秒或2秒，PBQBCD15如图，在ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A起先沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B起先沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，假如P, Q分别从A, B同时动身，问经过几秒钟，PBQ与ABC相像解答：解：设经过秒后t秒后，PBQ与ABC相像，则有AP=2t，BQ=4t，BP=102t，当PBQABC时，有BP：AB=BQ：BC，即（102t）：10=4t：20，解得t=2.5（s）（6分）当QBPABC时，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=（102t）：20，解得t=1所以，经过2.5s或1s时，PBQ与ABC相像（10分）解法二：设ts后，PBQ与ABC相像，则有，AP=2t，BQ=4t，BP=102t分两种状况：（1）当BP与AB对应时，有=，即=，解得t=2.5s（2）当BP与BC对应时，有=，即=，解得t=1s所以经过1s或2.5s时，以P, B, Q三点为顶点的三角形与ABC相像16如图，ACB=ADC=90°，AC=，AD=2问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相像解答：解：AC=，AD=2，CD=要使这两个直角三角形相像，有两种状况：（1） 当RtABCRtACD时，（2） 有=，AB=3；（3） 当RtACBRtCDA时，（4） 有=，AB=3故当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相像17已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A, B），使得CDM与MAN相像？若能，请给出证明，若不能，请说明理由解答：证明：分两种状况探讨：若CDMMAN，则=边长为a，M是AD的中点，AN=a若CDMNAM，则边长为a，M是AD的中点，AN=a，即N点与B重合，不合题意所以，能在边AB上找一点N（不含A, B），使得CDM与MAN相像当AN=a时，N点的位置满足条件18如图在ABC中，C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B动身，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C动身，沿CA方向以1cm/s的速度移动若Q, P分别同时从B, C动身，摸索究经过多少秒后，以点C, P, Q为顶点的三角形与CBA相像？解答：解：设经过x秒后，两三角形相像，则CQ=（82x）cm，CP=xcm，（1分）C=C=90°，当或时，两三角形相像（3分）（1）当时，x=；（4分）（2）当时，x=（5分）所以，经过秒或秒后，两三角形相像（6分）点评：本题综合考查了路程问题，相像三角形的性质和一元一次方程的解法19如图所示，梯形ABCD中，ADBC，A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相像解答：解：（1）若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即APDBCP，=，=，AP27AP+6=0，AP=1或AP=6，检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，=，又A=B=90°，APDBCP当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又A=B=90°，APDBCP（2）若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即APDBPC=，=，AP=检验：当AP=时，由BP=，AD=2，BC=3，=，又A=B=90°，APDBPC因此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1, , 6处20ABC和DEF是两个等腰直角三角形，A=D=90°，DEF的顶点E位于边BC的中点上（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：BEMCNE；（2）如图2，将DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相像三角形外，能否再找出一对相像三角形并证明你的结论解答：证明：（1）ABC是等腰直角三角形，MBE=45°，BME+MEB=135°又DEF是等腰直角三角形，DEF=45°NEC+MEB=135°BEM=NEC，（4分）而MBE=ECN=45°，BEMCNE（6分）（2）与（1）同理BEMCNE，（8分）又BE=EC，（10分）则ECN与MEN中有，又ECN=MEN=45°，ECNMEN（12分）21如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A起先向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D起先向点A以1cm/s的速度移动假如P, Q同时动身，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q, A, P为顶点的三角形与ABC相像解答：解：以点Q, A, P为顶点的三角形与ABC相像，所以ABCPAQ或ABCQAP，当ABCPAQ时，所以，解得：t=6；当ABCQAP时，所以，解得：t=；当AQPBAC时，=，即=，所以t=；当AQPBCA时，=，即=，所以t=30（舍去）故当t=6或t=时，以点Q, A, P为顶点的三角形与ABC相像22如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？解答：解：MAC=MOP=90°，AMC=OMP，MACMOP，即，解得，MA=5米；同理，由NBDNOP，可求得NB=1.5米，小明的身影变短了51.5=3.5米23阳光明媚的一天，数学爱好小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜请你在他们供应的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案（1）所需的测量工具是：；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x 解答：解：（1）皮尺，标杆；（2）测量示意图如图所示；（3）如图，测得标杆DE=a，树和标杆的影长分别为AC=b，EF=c，DEFBAC，（7分）24问题背景在某次活动课中，甲, 乙, 丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽视不计）的高度为200cm，影长为156cm任务要求：（1）请依据甲, 乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与O相切于点M请依据甲, 丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；须要时可接受等式1562+2082=2602）解答：解：（1）由题意可知：BAC=EDF=90°，BCA=EFDABCDEF，即，（2分）DE=1200（cm）所以，学校旗杆的高度是12m（3分）（2）解法一：与类似得：，即，GN=208（4分）在RtNGH中，依据勾股定理得：NH2=1562+2082=2602，NH=260（5分）设O的半径为rcm，连接OM，NH切O于M，OMNH（6分）则OMN=HGN=90°，又ONM=HNG，OMNHGN，（7分），又ON=OK+KN=OK+（GNGK）=r+8，解得：r=12景灯灯罩的半径是12cm（8分）解法二：与类似得：，即，GN=208（4分）设O的半径为rcm，连接OM，NH切O于M，OMNH（5分）则OMN=HGN=90°，又ONM=HNG，OMNHGN，即，（6分）MN=r，又ON=OK+KN=OK+（GNGK）=r+8（7分）在RtOMN中，依据勾股定理得：r2+（r）2=（r+8）2即r29r36=0，解得：r1=12，r2=3（不合题意，舍去），景灯灯罩的半径是12cm（8分）25（2007白银）阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC解答：解：AEBD，ECADCB，EC=8.7m，ED=2.7m，CD=6mAB=1.8m，AC=BC+1.8m，BC=4，即窗口底边离地面的高为4m点评：此题基本上难度不大，利用相像比即可求出窗口底边离地面的高26如图，李华晚上在路灯下闲逛已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=OP=l，两灯柱之间的距离OO=m（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2解答：解：（1）由已知：ABOP，ABCOPC，OP=l，AB=h，OA=a，解得：（2）ABOP，ABCOPC，即，即同理可得：，=是定值（3）依据题意设李华由A到A'，身高为A'B'，A'C'代表其影长（如图）由（1）可知，即，同理可得：，由等比性质得：，当李华从A走到A'的时候，他的影子也从C移到C'，因此速度与路程成正比，所以人影顶端在地面上移动的速度为27如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3（1）如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1, S2, S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论解：设直角三角形ABC的三边BC, CA, AB的长分别为a, b, c，则c2=a