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高中数学学业程度测试必背学问点必修一一、 集合与函数概念 并集：由集合A和集合B的元素合并在一起组成的集合，假如遇到重复的只取一次。记作：AB交集：由集合A和集合B的公共元素所组成的集合，假如遇到重复的只取一次记作：AB补集：就是作差。1、集合的子集个数共有个；真子集有1个；非空子集有1个；非空的真子有2个. 2、求的反函数：解出，互换，写出的定义域；函数图象关于y=x对称。3、（1）函数定义域：分母不为0；开偶次方被开方数；指数的真数属于R、对数的真数.4、函数的单调性：假如对于定义域I内的某个区间D内的随意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<（）f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增（减）函数，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的部分性质。5、奇函数：是，函数图象关于原点对称（若在其定义域内，则）；偶函数：是，函数图象关于y轴对称。6、指数幂的含义及其运算性质：（1）函数叫做指数函数。（2）指数函数当 为减函数，当 为增函数；。（3）指数函数的图象和性质 0 < a < 1a > 1图 象性质定义域R值域(0 , +)定点过定点（0，1），即x = 0时，y = 1（1）a > 1，当x > 0时，y > 1；当x < 0时，0 < y < 1。（2）0 < a < 1，当x > 0时，0 < y < 1；当x < 0时，y > 1。单调性在R上是减函数在R上是增函数对称性和关于y轴对称奇偶性非奇非偶函数7、对数函数的含义及其运算性质：（1）函数叫对数函数。（2）于对数函数当 为减函数，当 为增函数；负数和零没有对数；1的对数等于0 ：；底真一样的对数等于1：，（3）对数的运算性质：假如a > 0 , a 1 , M > 0 , N > 0，那么：； ；。（4）换底公式：(5)对数函数的图象和性质：0 < a < 1a > 1图象定义域(0 , +)值域R性质（1）过定点（1，0），即x = 1时，y = 0（2）在R上是减函数（2）在R上是增函数（3）同正异负，即0 < a < 1 , 0 < x < 1或a > 1 , x > 1时，log a x > 0；0 < a < 1 , x > 1或a > 1 , 0 < x < 1时，log a x < 0。（4）非寄非偶函数。8、幂函数：函数叫做幂函数（只考虑的图象）。9、方程的根与函数的零点：假如函数在区间 a , b 上的图象是连绵不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间 (a , b) 内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根。必修二一、直线 平面 简洁的几何体1、长方体的对角线长；正方体的对角线长2、球的体积公式： ； 球的外表积公式： 3、柱体、锥体、台体的体积公式：=h (为底面积，为柱体高)； = (为底面积，为柱体高)=(+) (, 分别为上、下底面积，为台体高)4、点、线、面的位置关系及相关公理及定理：（1）四公理三推论:公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上全部的点都在这个平面内。公理2：经过不在同始终线上的三点，有且只有一个平面。公理3：假如两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且全部这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.（2）空间线线，线面，面面的位置关系：空间两条直线的位置关系：相交直线有且仅有一个公共点；平行直线在同一平面内，没有公共点； 异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。空间直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内（多数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，。空间平面和平面的位置关系：（1）两个平面平行没有公共点；（2）两个平面相交有一条公共直线。5、直线与平面平行的断定定理：假如平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与这个平面平行。符号表示：。图形表示：6、两个平面平行的断定定理：假如一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。符号表示：。图形表示：7、. 直线与平面平行的性质定理：假如一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么交线与这条直线平行。符号表示：。 图形表示：8、两个平面平行的性质定理：假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线的平行。符号表示： 9、直线与平面垂直的断定定理：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。符号表示：10、.两个平面垂直的断定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 符号表示：11、直线与平面垂直的性质：假如两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。符号表示：。12、平面与平面垂直的性质：假如两个平面相互垂直，那么在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。符号表示：13、异面直线所成角：平移到一起求平移后的夹角。直线与平面所成角：直线和它在平面内的射影所成的角。（如右图）14、异面直线所成角的取值范围是；直线与平面所成角的取值范围是；二面角的取值范围是；两个向量所成角的取值范围是二、直线和圆的方程1、斜 率：，；直线上两点，则斜率为2、直线的五种方程 ：（1）点斜式 (直线过点，且斜率为)（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).（3）两点式( (、； ()、().(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)（5）一般式 (其中A、B不同时为0).3、两条直线的平行、重合和垂直： (1)若，；.(2)若,且A1、A2、B1、B2都不为零,；4、两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的间隔 公式 P1P2=5、两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的中点坐标公式 M（，）6、点P（x0，y0）到直线（直线方程必需化为一般式）Ax+By+C=0的间隔 公式d=7、平行直线Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0的间隔 公式d=8、圆的方程：标准方程，圆心，半径为；一般方程，（配方：） 时，表示一个以为圆心，半径为的圆；9、点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有三种：若，则点在圆外;点在圆上;点在圆内.10、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种:;.其中.11、弦长公式：若直线y=kx+b与二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交于A(x1，y1)，B（x2，y2）两点，则由ax2+bx+c=0(a0)二次曲线方程y=kx+m 则知直线与二次曲线相交所截得弦长为：= = = = =13、 空间直角坐标系，两点之间的间隔 公式： xoy平面上的点的坐标的特征A（x，y，0）：竖坐标z=0 xoz平面上的点的坐标的特征B（x，0，z）：纵坐标y=0 yoz平面上的点的坐标的特征C（0，y，z）：横坐标x=0 x轴上的点的坐标的特征D（x，0，0）：纵、竖坐标y=z=0 y轴上的点的坐标的特征E（0，y，0）：横、竖坐标x=z=0 z轴上的点的坐标的特征E（0，0，z）：横、纵坐标x=y=0 P1P2=必修三算法初步与统计：以下是几个根本的程序框流程和它们的功能图形符号名称功能终端框（起止框）表示一个算法的起始和完毕输入、输出框表示一个算法输入输出的信息处理框（执行框）赋值、计算（语句、结果的传送）推断框推断某一条件是否成立时，在出口处标明“是”或“Y”，不成立时标明“否”或“N”流程线连接程序框（流程进展的方向）连接点连接程序框图的两部分注释框扶植注解流程图循环框程序做重复运算一、算法的三种根本构造：（1）依次构造（2）条件构造（3）循环构造二、算法根本语句：1、输入语句:输入语句的格式：INPUT “提示内容”； 变量。2、输出语句:输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式。3、赋值语句:赋值语句的一般格式：变量=表达式。4、条件语句（1）“IFTHENELSE”语句。5、循环语句:直到型循环构造“DOLOOP UNTIL”语句和当型循环构造“WHILEWEND”。三三种常用抽样方法：1、简洁随机抽样；2系统抽样；3分层抽样。4统计图表：包括条形图，折线图，饼图，茎叶图。四、频率分布直方图：详细做法如下：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）确定组距与组数；（3）将数据分组；（4） 列频率分布表；（5）画频率分布直 方 图。注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距×频率。2、频率分布直方图： （留意：不是小矩形的高度）计算公式： 各组频数之和=样本容量， 各组频率之和=13、茎叶图：茎表示高位，叶表示低位。折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。4、刻画一组数据集中趋势的统计量：平均数，中位数，众数。在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；将一组数据根据从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的中位数；5、刻画一组数据离散程度的统计量：极差 ，极准差，方差。（1）极差肯定程度上说明数据的分散程度，对极端数据特别敏感。（2）方差，标准差越大，离散程度越大。方差，标准差越小，离散程度越小，聚集于平均数的程度越高。（3）计算公式：标准差：方差： 直线回来方程的斜率为，截距为，即回来方程为=x+（此直线必过点（，）。6、频率分布直方图：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，方长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。五、随机事务：在肯定的条件下所出现的某种结果叫做事务。一般用大写字母A,B,C表示.随机事务的概率：在大量重复进展同一试验时,事务A发生的频率 总接近于某个常数，在它旁边摇摆，这时就把这个常数叫做事务A的概率,记作P（A）。由定义可知0P（A）1，明显必定事务的概率是1，不行能事务的概率是0。1、事务间的关系：（1）互斥事务：不能同时发生的两个事务叫做互斥事务；（2）对立事务：不能同时发生，但必有一个发生的两个事务叫做互斥事务；（3）包含：事务A发生时事务B肯定发生，称事务A包含于事务B（或事务B包含事务A）；（4）对立肯定互斥，互斥不肯定对立。2、概率的加法公式：（1）当A和B互斥时，事务A+B的概率满意加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥）（2）若事务A与B为对立事务，则AB为必定事务，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)3、古典概型：（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中全部可能出现的根本领件只有有限个；2）每个根本领件出现的可能性相等；（2）驾驭古典概型的概率计算公式： 4、几何概型：（1）几何概率模型：假如每个事务发生的概率只与构成该事务区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。（2）几何概型的特点：1）试验中全部可能出现的结果（根本领件）有无限多个；2）每个根本领件出现的可能性相等（3）几何概型的概率公式： 5、排列：（1）、排列数公式： =.(，N*，且)0！=1（2）、全排列：n个不同元素全部取出的一个排列； 6、组合：（1）、组合数公式： =(，N*，且)；。必修四一、 三角函数1、弧度制：（1）、弧度，1弧度；弧长公式： （为所对的弧长，为半径，正负号确实定：逆时针为正，顺时针为负）。2、三角函数： （1）、定义：3、特别角的三角函数值：的角度的弧度4、同角三角函数根本关系式：5、诱导公式：（众变横不变，符号看象限） 正弦上为正；余弦右为正；正切一三为正。 6、两角和与差的正弦、余弦、正切： ： ： ： ：tan+tan= tan(+)() tan-tan= tan(-)()7、协助角公式：8、二倍角公式：（1）、： ： （2）、降次公式：（多用于探讨性质） 9、在四个三角函数中只有是偶函数，其它三个是寄函数。（指数函数、对数函数是非寄非偶函数）10、在三角函数中求最值（最大值、最小值）；求最小正周期；求单调性（单调第增区间、单调第减区间）；求对称轴；求对称中心点都要将原函数化成标准型；如：再求解。11、三角函数的图象与性质：函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数周期性 单调性在上是增函数在上是减函数在上是增函数在上是减函数在上是增函数最值当时，当时，当时，当时， 无对称性对称中心，对称轴：对称中心，对称轴：对称中心，对称轴：无12函数的图象：（1）用“图象变换法”作图由函数的图象通过变换得到的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。法一：先平移后伸缩，法二：先伸缩后平移 当函数（A>0，）表示一个振动量时，A就表示这个量振动时分开平衡位置的最大间隔 ，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所须要的时间，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数，它叫做振动的频率；叫做相位，叫做初相（即当x0时的相位）。二、平面对量 1、平面对量的概念：在平面内，具有大小和方向的量称为平面对量向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向向量的大小称为向量的模（或长度），记作模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作方向一样且模相等的向量称为相等向量2、实数与向量的积的运算律：设、为实数，那么(1) 结合律：()=();(2)第一安排律：(+) =+;(3)第二安排律：()= +.3、向量的数量积的运算律：(1) · =· （交换律）;(2)（）· = （·）=· =·（）;(3)（）·= · +·.4、平面对量根本定理：假如、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得 =1 +2不共线的向量、叫做表示这一平面内全部向量的一组基底5、坐标运算：（1）设，则数与向量的积：，数量积：（2）、设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则.（终点减起点）6、平面两点间的间隔 公式：（1） =（2）向量的模|：；（3）、平面对量的数量积： ， 留意：，（4）、向量的夹角，则， （）7、重要结论：（1）、两个向量平行： ， （2）、两个非零向量垂直 （3）、P分有向线段的：设P（x，y） ，P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，且 ， 则定比分点坐标公式 中点坐标公式三、空间向量1、空间向量的概念：（空间向量与平面对量相像）在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向向量的大小称为向量的模（或长度），记作模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作方向一样且模相等的向量称为相等向量2、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算当时，与方向一样；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为的长度是的长度的倍3、设，为实数，是空间随意两个向量，则数乘运算满意安排律及结合律安排律：；结合律：4、假如表示空间的有向线段所在的直线相互平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线5、向量共线的充要条件：对于空间随意两个向量，的充要条件是存在实数，使6、平行于同一个平面的向量称为共面对量7、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任肯定点，有；或若四点，共面，则8、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，则称为向量，的夹角，记作两个向量夹角的取值范围是：9、对于两个非零向量和，若，则向量，相互垂直，记作10、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作即零向量与任何向量的数量积为11、等于的长度与在的方向上的投影的乘积12、若，为非零向量，为单位向量，则有；，；13、量数乘积的运算律：；14、空间向量根本定理：若三个向量，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得15、三个向量，不共面，则全部空间向量组成的集合是这个集合可看作是由向量，生成的，称为空间的一个基底，称为基向量空间随意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底16、设，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以，的公共起点为原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系则对于空间随意一个向量，肯定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量存在有序实数组，使得把，称作向量在单位正交基底，下的坐标，记作此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标17、设，则 若、为非零向量，则若，则，则18、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，则，异面垂直时19、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，则，20、直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量21、法向量的定义：垂直于平面或者垂直于线的向量（方向不管）。22、若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则，法向量的计算方法一：已知,设面平ABC的一个法向量为，由面ABC得所以： ;所以 即 上面两个方程，要解三个未知数，为了计算便利，取z（或x或y）等于一个数，可求出另两个未知数，得出平面的一个法向量。方法二：若，则平面ABC的一个法向量为： y1 z1 z1 x1 x1 y1 ( )y2 z2 ，z2 x2 ，x2 y2 =（y1z2-y2z1，z1x2-z2x1，x1y2-x2y1）立体几何中的向量方法 -间隔 问题一、求点到平面的间隔 1（一般）传统方法：利用定义先作出过这个点到平面的垂线段，再计算这个垂线段的长度；2还可以用等积法求间隔 ；3向量法求点到平面的间隔 .在中，又（其中为斜向量，为法向量）二、直线到平面的间隔 转化为点到线的间隔 ：（其中为斜向量，为法向量）三、平面到平面的间隔 也是转化为点到线的间隔 ：（其中为斜向量，为法向量）四、异面直线的间隔 如图，异面直线也是转化为点到线的间隔 ：（其中为两条异面直线上各取一点组成的向量，是与都垂直的向量）例1如图，在正方体中，棱长为1，为的中点，求下列问题：（1） 求到面的间隔 ；解：如图，建立空间直角坐标系，则，设为面的法向量则取，得，选点到面的斜向量为得点到面的间隔 为（2）求到面的间隔 ；(3) 求面与面的间隔 ；(4) 求异面直线与的间隔 . 都垂直的向量，则，取，得一个法向量为 选的两点向量得的间隔 为练习1：B1A1BC1AC1如图在直三棱柱中，, ，求点到面的间隔 . 2已知棱长为1的正方体，求平面和平面间的间隔 3已知棱长为1的正方体，求直线和间的间隔 。4已知棱长为1的正方体中，、分别是和的中点，求点 到平面的间隔 。5如图在直三棱柱中，求点到面的间隔 . 6在直三棱柱中，分别为的中点，且 （） 求到面的间隔 ；（）（） 求到面的间隔 （）立体几何中的向量方法 -空间角问题空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角（）求异面直线所成的角设、分别为异面直线a、b的方向向量,则两异面直线所成的角 =（）求线面角设是斜线l的方向向量，是平面的法向量，则斜线l与平面所成的角=（）求二面角法一、在内，在内，其方向如图，则二面角的平面角=法二、设是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角的平面角=例如图，在棱长为的正方体中，E、F分别是棱的中点 （）求异面直线所成的角；（II）求和面EFBD所成的角；（III）求到面EFBD的间隔 解：（）记异面直线所成的角为，则等于向量的夹角或其补角，（II）如图建立空间坐标系，则，设面的法向量为由得又记和面EFBD所成的角为则 和面EFBD所成的角为（III）点到面EFBD的间隔 等于向量在面EFBD的法向量上的投影的肯定值，例2如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱，点是的中点，作交于点. （1）求证：； （2）求证： （3）求二面角的大小.练习：在正四面体中，棱长为，E,分别为SA和BC的中点，求异面直线BE和SF所成的角（）在边长为的菱形ABCD中，将菱形沿对角线AC折起，使 折起后BD，求二面角的余弦值（）典型例题：1已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 。 。2在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形， ACB=，平面，EF，.=.（）若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角-的大小3.如图，在五棱锥PABCDE中，平面ABCDE，AB/CD，AC/ED，AE/BC，三角形PAB是等腰三角形。 （）求证：平面PCD 平面PAC； （）求直线PB与平面PCD所成角的大小； （）求四棱锥PACDE的体积。必修五：一、解三角形：（1）三角形的面积公式：（2）正弦定理：（3）、余弦定理： （4）求角： 二. 数列1、数列的前n项和：； 数列前n项和与通项的关系：2、等差数列 ：（1）、定义：等差数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数；（2）、通项公式： （其中首项是，公差是；）（3）、前n项和： （d0）（4）、等差中项： 是与的等差中项： 或，三个数成等差常设：a-d，a，a+d3、等比数列：（1）、定义：等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（）。（2）、通项公式：（其中：首项是，公比是）（3）、前n项和：（4）、等比中项： 是与的等比中项：， 即（或，等比中项有两个）三：不等式1、重要不等式：（1） 或 (当且仅当ab时取“=”号)2、均值不等式：（2） 或 (当且仅当ab时取“=”号)一正、二定、三相等留意：解指数、对数不等式的方法：同底法，同时对数的真数大于0；