高中数学知识点 直线.docx

第九章 直 线一、考纲要求1.理解有向线段的概念.驾驭有向线段定比分点坐标公式，熟识运用两点间的间隔 公式和线 段的中点坐标公式.2.理解直线斜率的概念，驾驭过两点的直线的斜率的公式，娴熟驾驭直线方程的点斜式，掌 握直线方程的斜截式、两点式、截距式以及直线的一般式.可以依据条件求出直线的方程.3.驾驭两条直线平行与垂直的条件.可以依据直线的方程断定两条直线的位置关系.会求两条 直线的夹角和交点.驾驭点到直线的间隔 公式.二、学问构造1.有向线段一条有向线段的长度，连同表示它的方向的正负号，叫做有向线段的数量.有向线段 的数量用AB表示.若有向线段在数轴上的坐标为A(x1)，B(x2)，则它的数量 AB=x2-x1它的长度 AB=x2-x1平面上两点间的间隔 设P1(x1,y1),P2(x2,y2)是坐标平面上的随意两点，则 它们的间隔 P1P2=当P1P2Ox轴时，P1P2=y2-y1；当P1P2Oy轴时，P1P2 =x2-x1；点P(x,y)到原点O的间隔 ，OP=.三角形的中线长公式如图，AO是ABC的BC边上的中线.则AB2+AC2=2AO2+OC22.线段的定比分点有向直线l上的一点P，把l上的有向线段分成两条有向线段分成两条有向线段，则和的数量之比=定比分点公式 若P1、P2两点坐标为(x,y1)，(x2,y2),点P(x,y)分有向线段成定比=(-1)，则P点坐标x=， y=.(1).中点公式 设P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则P1P2的中点P(x,y)的坐标是 x=, y=.(2)三角形的重心公式 若ABC的各顶点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则ABC的重心G(x,y)的坐标是x=， y=.3.直线的方程直线方程的几种形式名称已知条件方程说明斜截式斜率k纵截距by=kx+bx不包括y轴和平行于y轴的直线点斜式点P1(x1,y1)斜率ky-y1=k(x-x1)不包括y轴和平行于y轴的直线两点式点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)=不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线截距式横截距a纵坐标b+=1不包括坐标轴，平行于坐标轴和原点的直线一般式Ax+By+C=0A、B不同时为0 两条直线的位置关系直线方程位置关系当直线不平行于坐标轴时：l1y=k1x+b1l2y=k2x+b2l1A1x+B1y+C1=0l2A2x+B2y+C2=0l1与l2组成的方程组平行k1=k2且b1b2=无解重合k1=k2且b1=b2=有多数多解相交k1k2=有唯一解垂直k1·k2=-1A1A2+B1B2=0 两条直线的交角公式(1)直线l1到l2的角 直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1 到l2的角.计算公式设直线l1，l2的斜率分别是k1，k2，则tg= (k1k2-1)(2)两条直线的夹角 一条直线到另一条直线的角小于直角的角，即两条直线所成的锐角叫 做两条直线所成的角，简称夹角.这时的计算公式为：tg=4.点与直线的位置关系点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上的充要条件是Ax0+By0+C=0.点到直线的间隔 公式点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的间隔 是d=据此可推出：(1)两平行线间的间隔 公式两平行直线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0间的间隔 为d=.5.直线关于点的对称直线关于点的对称直线肯定是一条与已知直线平行的直线，由中点坐标公式可得直线Ax+By+C=0关于点P(x0,y0)的对称直线方程是A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0即 Ax+By-(2Ax0+2By0+C)=0.“直线关于直线”对称(1)几种特别位置的对称已知曲线f(x,y)=0，则它：关于x轴对称的曲线是f(x,-y)=0；关于y轴对称的曲线是f(-x,y)=0；关于原点对称的曲线是f(-x,-y)=0；关于直线y=x对称的曲线f(y,x)=0；关于直线线y=-x对称的曲线f(-y,-x)=0；关于直线x=a对称的曲线是f(2a-x,y)=0；关于直线y=b对称的曲线是f(x,2b-y)=0三、学问点、实力点提示(一)有向线段、两点间间隔 、线段的定比分点例1 在ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(-4，7)，求BAC平分线的长.解： 由两点间隔 公式求得AB=5，AC=10，设角平分线交BC于D(x，y)，由角平分线 性质得=，从而求得D(，)，故可得AD=.(二)直线方程，直线的斜率，直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，直线方程的一 般形式例2 始终线过点P(-3，4)且在两坐标轴上的截距相等，求此直线方程.解： 设截距a=b且均不为零，故可设所求直线方程为+=1.由P在直线上，解得a=1，所求直线方程为x+y-1=0.但还有一种状况，即a=b=0 ，直线过原点时也合题意，此时直线方程为4x+3y=0.故在运用截距式时必需检验截距为零是 否合适，以防漏解.(三)两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角，两条直线的交点，点到直线的间隔 说明 这局部内容近年高考在填空、选择及解答题中都常考察到.运用公式求l1到l2的角时，应留意k1、k2的依次.过两直线交点的直线系方程中不 包括直线l2.例3 光线由点(-1，4)射出，遇直线2x+3y-6=0被反射，已知反射光线过点(3 ，).求反射光线所在直线方程.解： 设(-1，4)点关于已知直线对称点为(x，y).则点(-1，4)与点(x，y)的连线段被已知直线垂直平分，故可得 = x=- 解得 2()+3()-6=0 y=，再由两点式可得所求直线方程为13x-26y+85=0.(四)综合例题赏析例4 假如A·C0且B·C0，那么直线Ax+By+C=0不 通过( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解： A·C0，B·C0A0，B0，C0，Ax+By+C=0可化y=-x-.B·C00-0，直线和y轴正半轴有交点.A·C0，即A和C异号，B·C0即B和C异号，A和B同号0-0，从而直线Ax+By+C=0过第一、二、四象限，不过第三象限.应选C.例5 和直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程是( )A.3x+4y-5=0 B.3x+4y+5=0C.-3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0解： 若曲线c的方程f(x,y)=0，曲线c和c关于x轴对称，则曲线c的方程 是f(x，-y)=0.3x-4(-y)+5=0即3x+4y+5=0为所求.应选B.例6 直线bx+ay=ab(a0，b0的倾斜角是( )A.arctg(-) B.arctg(-)C.-arctg D.-arctg解： 直线的倾角范围是0，.由a0，b0知a0，故原方程可化为y=-x+b.设此直线的倾角为，则tg=-.由a0且b00-0，a(，).=-arctg，应选C.例7 若三点P1，P2在一条直线上，点P1和点P2在直角坐标系中的坐标分别为(0，-6)和(3，0)，且=-， 则点P的坐标是_.解： 若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)和P(x，y)三点在一条直线上，且=，则x=，y=，由题设知，x=0，y1=6，x2=3，y2=0，=，代入上面公式 ，得x=-3,y=P点坐标是(-3，-12).例8 通过点(0，2)且倾斜角为15°的直线方程是( )A.y=(-2)x+2 B.y=(-1)x+2C.y=(2-)x+2 D.y=(-1) x+2解： 直线通过点(0，2).直线在y轴上的截距b=2.直线的倾角为15°，直线的斜率k=tg15°=把k=2-，b=2代入直线的斜截式方程y=kx+b，得y=(2-)x+2 .应选C.例9 直线3x-2y=6在y轴上的截距是( )A. B.-2 C. -3 D.3解： 3x-2y=6y=-+=1，又直线的截距为b=-3，即在y轴上的截距为-3.应选C.例10 假如直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么系数a=( )A.-3 B.-6 C.- D. 解：l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，且A20，B20，C2 0，则有l1l2由题设有.应选B.例11 假如直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称 ，那么( )A.a=，b=6 B.a=，b=-6C.a=3，b=-2 D.a=3，b=6解：若C1的方程是f(x,y)=0,C2和C1关于直线y=x对称，则C2的方程是f(y,x)=0.直线y=ax+2关于直线y=x对称的直线的方程是x=ay+2，即y=x-.由题设y=和y=3x-b是同一条直线，,解得应选A.例12 假如直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0相互垂直，那么a 的值等于( )A.1 B.- C. - D.-2解：两直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，相互垂直的充要条件是 ：A1A2+B1B2=0由题设得a·1+2·1=0，从而a=-2.应选D.例13 点P(2，5)关于直线x+y=0的对称点的坐标是( )A.(5，2) B.(2，-5)C.(-5，-2) D.(-2，-5)解：设P(2，5)和Q(m，n)关于直线y=-x对称，则PQ中点R()在y=-x上，且KPQ·(-1)=-1. 解得对称点Q的坐标是(-5，-2).应选C.例14 原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标是( )A.(2，) B.()C.(3，4) D.(4，3)解：设(m，n)为所求，则 解得m=4，n=3应选D.例15 点(0，5)到直线y=2x的间隔 是( )A BC D解：y=2x2x-y=0d=应选(B)例16 以A(1，3)、B(-5，1)为端点的线段垂直平分线的方程是( ) A.3x-y+8=0 B.3x+y+4=0C.2x+y+2=0 D.3x+y+8=0解：设P(x，y)为线段AB的中垂线上的点，则PA=PB即化简得3x+y+4=0.应选B.例17 在直角坐标系xoy中，过点P(-3，4)的直线1与直线OP的夹角为45°，求1的方程.解：设1的斜率为k，kOP=-tg45°=,得=±1，解出k=-，71的方程为y-4=- (x+3)或y-4=7(x+3).即1的方程为x+7y-25=0或7x-y+25=0.例18 点(0，1)到直线x+y=2的间隔 是 .解：d=四、实力训练(一)选择题1.数轴上有一有向线段，起点A的坐标为-m，终点B的坐标为n，那么此有向线段的数量 可表示为( )A.=n-m B.AB=n+mC.AB=n+m D.AB=n-m2.已知点M(3，4)，N(12，7)，P在直线MN上，且=，则点P的坐标是( )A.(6，5) B.(9，6)C.(0，3) D.(0，3)或(6，5)3.直线x+y-1=0的倾斜角是( )A. B.-C. D. 4.方程x-1+y=1确定的曲线与x轴围成的图形的面积是( )A. B.1 C.2 D.45.过点(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( )A.x+y=5 B.3x-2y=0C.x+y=5或3x-2y=0 D.4x-y=56.过点(1，2)倾斜角的正弦值是的直线的方程是( )A.4x-3y+2=0 B.4x+3y-6=0C.3x-4y+6=0 D.y=±(x-1)+27.假如直线Ax+By+C=0的倾斜角是一锐角，且在y轴上的截距大于零，则( )A.AB0，AC0 B.AB0，AC0C.AB0，AC0 D.AB0，AC08.下列各点中，不与P(4，3)、Q(-1，6)两点共线的点是( )A.(5，6) B.(2，-3)C.(3t，t+3)(这里tZ) D.(t+3，3t)(这里tZ)9.两条不重合的直线mx+y-n=0和x+my+1=0相互平行的充要条件是( )A.m=1，n=1 B.m=-1，n=-1C.m=1,n-1,或m=-1,n1D.m±1，n±110.点(a，b)关于直线x+y=1对称的点的坐标是( )A.(1-a，1-b) B.(1-b，1-a)C.(-a，-b) D.(-b，-a)11.已知0，且点(1，cos) 到直线xsin+ycos=1的间隔 等于 ，则等于( )A. B. C. D. 12.已知直线l1x-2y-6=0，l23x-y+4=0下列说法中错误的是( )A.l1与l2的夹角是45° B.l1到l2的角是45° C.l2到l1的夹角是45° D.l2到l1的角是135 °13.l1x+3y-7=0，l2kx-y-2=0与x轴、y轴正方向所围成的四边形有外接圆，则k为( )A.-3 B.3 C.-6 D.614.已知P(-2，-2)，Q(0，-1)，取一点R(2，m)使PR+RQ最小，则m为( )A. B.0 C.-1 D.- 15.设点A(-1，2)，B(2，-2)，C(0，3)，且M(a，b)是线段AB上的一点(a0)，则直线MC的斜率的取值范围是( )A.-，1 B.-1，C.-，0(0，1) D.(- ，-1，+)(二)填空题16.两条平行直线2x-7y+8=0和2x-7y-8=0间的间隔 是 .17.直线x+5=0与直线x+2y-5=0的夹角是 .18.直线y=-x+b和5x+3y-31=0的交点在第一象限，那么b的范围是 .19.已知点P是直线l上一点，将直线l绕点P沿逆时针方向旋转角(0°90°，所得直 线的方程是x-y-2=0，若将它接着为转90°-，所得直线的方程2x+y-1=0，则直线l的方程为 .(三)解答题20.正方形中心为G(-1，0)，一边所在直线的斜率为3，且此正方形的面积为14.4，求这正方 形各边所在直线的方程.21.已知在ABC的边上运动的点D、E、F在t=0时分别从A、B、C动身，各以肯定的速度向B、 C、A前进，在t=1时分别到达B、C、A，试证明在运动过程中，DEF的重心是一个定点. 22.一条光线从点M(5，3)射出，被直线lx+y=1反射，入射光线到直线l的角为，已知tg=2，求入射光线与反射光线所在直线的方程.23.用解析法证明三角形内角平分线性质定理.24.过点P(2，1)作直线l交x，y轴的正向于A，B的点，求(1)当AOB的面积最小值时，直线l的方程.(2)PA·PB为最小时，直线l的方程.25.当时，求证：方程x2(tg2+cos2)-2xytg+y2sin2=0表示过原点的两直线，且其斜率之差 的肯定值为2.实力训练参考答案(一)1.B 2.D 3.D 4.B 5.C 6.D 7.D 8.C 9.C 10.B 11.A 12.C 13.B 14.D 15.D (二)16.；17.-arctg；18.b；19.略(三)20.3x-y+9=0,3x-y-3=0,x+3y+7=0,x+3y-5=0;21，证略：22.入射光线：y -3x+12=0,反射光线：3y-x+10=0;23.证略；24.(1)x+2y-4=0,(2)x+y-3=0；25.证略.