第一章函数极限连续教案.docx

第一章 函数·极限·连续学问点： 教学目的要求：（1）理解函数的概念，会求函数的定义域及函数值；理解并驾驭函数的简洁性质；娴熟驾驭根本初等函数的表达式、定义域、图形和特性；理解复合函数的概念，会正确分析复合函数的复合过程；理解初等函数的概念；能建立简洁实际问题的函数关系式。（2）理解数列和函数极限的描绘性定义；理解函数左、右极限的定义，理解函数极限存在的充分必要条件；理解无穷小量和无穷大量的概念及互相关系，理解与驾驭无穷小量的性质，理解无穷小量的比拟；娴熟驾驭极限四则运算法则和两个重要极限，会求极限。（3）理解函数连续与连续的概念，驾驭推断函数连续性的方法；理解函数连续和极限存在之间的关系；会求函数的连续点与连续区间；理解初等函数的连续性，并能利用函数连续性求极限；理解闭区间上连续函数的性质。教学重点：1函数的定义域2根本初等函数3复合函数4极限的运算5连续的概念教学难点：1复合函数2极限的概念3重要极限4连续的概念1.1函数【教学内容】函数的定义和函数的定义域，函数的简洁性质，根本初等函数，复合函数以及初等函数，简洁的经济函数模型。【教学目的】理解函数的概念，会求函数的定义域及函数值；理解并驾驭函数的简洁性质；娴熟驾驭根本初等函数的表达式、定义域、图形和特性；理解复合函数的概念，会正确分析复合函数的复合过程；理解初等函数的概念；能建立简洁实际问题的函数关系式。【教学重点】1函数的定义域；2根本初等函数的图像与性质；3复合函数的分解；4本钱函数、收入函数、利润函数。【教学难点】1复合函数的概念与分解；2经济函数模型建立。【教学时数】3学时【教学进程】一、函数的概念与性质(一) 函数的概念提问：什么叫函数？请你举出1到2个函数的例子。教师可举例：在某商店，可一双皮鞋卖200元，两双多少元？双呢？（）从而归纳出函数的定义。定义定义11 设有两个变量和，当变量在非空数集内取某一数值时，变量依据某种对应法则，有惟一确定的数值与之对应，则称变量为变量的函数，记作其中称为自变量，称为函数或因变量，数集称为函数的定义域函数的表示方法，一般有解析法、表格法、图像法。2定义域提问：如何求函数的定义域？当函数用解析法表示时，求函数的定义域的原则是使函数表达式有意义。因此，要求：（1）分式，分母必需不等于零；（2）偶次根式，被开方式必需大于等于0；（3）对数，真数必需大于零，底大于零且不等于1；（4）正切符号下的式子必需不等于（）；（5）余切符号下的式子必需不等于（）；（6）反正弦、反余弦符号下的式子的肯定值必需小于等于1假如表达式中同时有以上几种状况，需同时考虑，并求它们的交集在实际应用问题中，除了要依据解析式子本身来确定自变量的取值范围以外，还要考虑到变量的实际意义例1求下列函数的定义域。（1）； （2）； （3）； （4） 解 （1）分式的分母不能为0，由解得且，即定义域为（2）偶次根式被开方式大于等于零，由解得或；即定义域为（3）对数的真数大于零，由解得；即定义域为（4）要使式子有意义，必需满意的条件，即，解得；即定义域为课堂练习：（1）（答案：）（2）（答案：）（3）（答案：）强调定义域必需用区间或集合表示。介绍邻域概念：我们称开区间为点的邻域，简称点的邻域。为正数，称为邻域的半径。如点1的2邻域，即1为中心，2为半径的邻域指的是开区间（-1，3）。3函数值提问：什么叫函数值？如何求函数值？假如取数值时，则函数在处有定义，与对应的数值称为函数在点的函数值，记作即或全体函数值的集合，称为函数的值域。例2已知，求，。解 ， 提问：什么样的函数是表示同一只函数？函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素。当两个函数的定义域与对应法则一样时，这两个函数表示的是同一个函数。如与，它们的定义域与对应法则一样，只是表示不同而已，实际是同一个函数。分段函数提问：我们在产品销售中往往会遇到这样的事，某产品销量在100件以内（包括100件）按每件50元销售，超过100件，超过的局部可打八折，那么销售收入与销售量之间的关系如何表示？明显，销售收入与销售量之间的关系式要用两个式子表示，当时，；当时，所以可表示成即象这样，两个变量之间的函数关系有的要用两个或多于两个的数学式子来表达，即对一个函数，在其定义域的不同范围内用不同数学式子来表达，称为分段函数分段函数的定义域为各段自变量取值集合的并集例3 设函数，求：(1)函数的定义域；(2)，；(3)作出图象解 (1)定义域为；(2)，；(3)函数的图象如图1-1所示课堂练习：依据中华人民共和国主席令2005年第44号，自2006年1月1日起施行新的个人所得税纳税标准，新纳税标准以月收入额1600元为起征点，详细如下：表11全月应纳税所得额（月收入额1600元）税率不超过500元的5%超过500元至2000元的局部10%超过2000元至5000元的局部15%超过5000元至20000元的局部20%超过20000元至40000元的局部25%超过40000元至60000元的局部30%超过60000元至80000元的局部35%超过80000元至100000元的局部40%超过100000元的局部45%试表示应缴税款和月收入额之间的关系；某人月收入额为3900元应缴税多少元？答案：月收入元应缴税元二、函数的性质提问：函数的性质有哪些？让学生敍述函数的四大性质。1。函数的单调性定义12 设函数在区间上有定义，假如、，当时，有，则称函数在上是单调增加的；当时，有，则称函数在上是单调削减的2函数的奇偶性设函数的定义域关于原点对称，假如对随意，有，则称函数为奇函数；假如对随意，则称函数为偶函数既不是奇函数，又不是偶函数的函数称为非奇非偶函数.奇偶函数的定义域关于原点对称，且在平面直角坐标系中，偶函数的图形关于轴对称；奇函数的图形关于原点对称。例4 推断下列函数的奇偶性：；解 因为，所以为偶函数因为，所以为奇函数因为，明显，所以是非奇非偶函数课堂练习：推断下列函数的奇偶性。(1) （答案：偶函数）(2) （答案：非奇非偶函数）(3) （答案：奇函数）3函数的周期性提问：学过的函数中哪些具有周期性？定义14 设函数的定义域为，假如存在常数，对随意的，有，且使恒成立，则称函数为周期函数，满意上式的最小正数称为函数的周期4函数的有界性提问：学过的函数中哪些是有界的？定义15 设函数的定义域为，假如存在正数，使得对随意的，有则称函数为有界函数；否则称为无界函数有界函数的图像必介于两条平行于轴的直线和之间。三、初等函数提问：哪些是根本初等函数？1根本初等函数我们在中学里学过的常数函数（为常数）、幂函数（为随意实数）、指数函数、对数函数、三角函数，与反三角函数，统称为根本初等函数，关键搞清它们的图像与性质。2复合函数举例引出复合函数的概念。定义16 设是的函数，是的函数假如的值域或其局部是的定义域的子集，则通过构成的函数称为的复合函数，记为通常称为外层函数，简称外函数；称为内层函数，简称内函数；称为中间变量例如，由函数，构成了复合函数。由函数，构成了复合函数。例6 指出下列复合函数是由哪些简洁函数复合而成的(1)； (2)； (3) 解 (1)由函数复合而成；(2)由函数，复合而成的；(3)由函数，复合而成课堂练习：指出下列复合函数是由那些简洁函数复合而成的。（1） （答案：）（2） （答案：）（3） （答案：）（4） （答案：）3初等函数由根本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数叫初等函数。如，等都是初等函数。四、经济函数模型举例1需求函数与供给函数模型在探讨市场问题时，经常会涉及两个重要的函数，即需求函数和供给函数。市场对某种商品的需求量，主要受到该商品的价格的影响，通常降低商品的价格会使需求量增加，进步商品的价格会使需求量削减。在假定其它因素不变的条件下，市场需求量可视为该商品价格的函数，称为需求函数，记作供给是与需求相对应的概念，需求是就市场中的消费者而言，供给是就市场中的消费销售者而言的。某种商品的市场供给量也受商品价格的制约，价格上涨将刺激消费者向市场供给更多的商品，供给量增加；反之，价格下跌将使供给量削减。在假定其它因素不变的条件下，供给量也可看成价格的函数，称为供给函数，记作常见的需求函数和供给函数有线性函数，二次函数，指数函数等。一般地，需求函数是价格的单调减函数，供给函数是价格的单调增函数。当市场的需求量与供给量持平常，称为供需平衡。此时的价格称为供需平衡价格或平衡价格，记为；需求量称为平衡量，记为。例7市场调查显示，某商品当售价为每件元时，市场需求量为万件，若该商品每件降低元时，需求量将增加万件，试求该商品的线性需求函数。解 设，由题意得，解方程组得，得需求函数为从上式中解出，即得价格函数为例8上例中，当市场售价为每件元时，消费厂商愿向市场供给万件商品，当价格每件增加元时，消费厂商就多供给万件商品，试求该商品的线性供给函数。 解 依题意有，解得，所以供给函数为例9试求出上两例中该商品的市场平衡价格与平衡量。解 由供需平衡条件，可得解得即平衡价格为567元2本钱、收入和利润函数模型在消费和产品的经营活动中，人们总盼望尽可能降低本钱，进步收入和增加利润。而本钱、收入和利润这些经济变量都与产品的产量或销售量亲密相关，它们都可以看作的函数，我们分别称为总本钱函数，记作；总收入函数，记作；总利润函数，记作总本钱由固定本钱和可变本钱两局部组成：其中固定本钱与产量无关，如厂房、设备费等；变动本钱随产量的增加而增加，如原材料费等消费个单位产品时的平均本钱为总收入函数与产品的单价和产量或销售量有关假如产品的单位售价为，销售量为，则总收入函数为总利润等于总收入与总本钱的差，于是总利润函数为例10 已知某种产品的总本钱函数为求当消费200个该产品时的总本钱和平均本钱解 由题意，产量为200个时的总本钱为产量为200个时的平均本钱为例11 已知某产品的本钱函数为，供给函数为，求该产品的利润函数；并说明该产品的盈亏状况解 因为，由题意得收入函数为所以利润函数为又由可得盈亏平衡点简洁看出，当时，说明亏损；当时，说明盈利课堂练习：Ø 某旅游公司调查发觉，有一种短途来回巡游，售出的票数是票价的线性函数当票价为50元时，有40人买票；当票价为80元时，只能卖出10张票试写出该种短途巡游工程的需求函数，并确定总收益与票数的函数关系（答案：）Ø 某企业消费某种产品的日固定本钱为元，消费一个单位产品的变动本钱为元，试求该企业日总本钱函数。若每件产品的出厂价为元，试问每天消费多少件产品才能到达收支平衡？（答案：）3库存函数模型*例12 某商店半年销售500件小器皿，匀称销售，为节约库存费，分批进货. 每批订货费用（订合同手续费、旅差费、运货费等）为80元，每件器皿的库存费为每月0.4元，试列出库存费和进货费之和与批量间的函数关系.解 设每一批进货量为件. 货进店入库，由于匀称销售，库存货量由件渐渐匀称地削减到零件，所以平均库内存货量为件. 半年共有6个月，每件器皿每月的库存费为0.4元，因此半年的库存总费用为（元）每次进货件，半年（6个月）须要进货的次数为次，总的进货费用（元）所以，总费用为（元）课堂练习：某超市常年经销一种日用品，年销售量箱，每箱进货价元，粗略地认为按平均库存量占用资金，此项资金每年应付贷款利息，为了保证供给，要有安排地进货，又假设销售量是匀称的，卖完一批再进一批货，因此每批进货量一样。已知进一批货需手续费元，而库存保管费每箱每年元，试求库存总费用与进货批量（即每批进货的数量）之间的函数关系。（答案：（元）4金融数理模型（会计、税务、投资专业讲，其余专业不讲）金融数理分析的根底学问包括资金的时间价值和风险概念。利息是资金的时间价值的一种表现形式。利息又分为单利和复利，若本金在上期产生的利息不再参加本期本金计算利息，就叫单利；反之，若本金在上期产生的利息也纳入本期本金计算利息，就叫复利。常见的金融数理模型有：单利模型，复利模型，按揭模型，证券价格的评估模型等。例12（复利模型）设是本金，为年复利率，是计息年数，若每满年计息一次，求本利和与计息年数的函数模型。（答案：）解由题意，每期的复利率为，第一期末的本利和为把作为本金计息，则第二期末的本利和为再把作为本金计息，如此反复，第年（第期）末的本利和为本堂课小结：主要内容：函数的概念，分段函数的概念，函数的性质，根本初等函数与初等函数，复合函数，经济函数模型重点：函数的定义域，根本初等函数的图像与性质，复合函数分解过程。难点：复合函数的概念与分解，经济函数模型的建立作业：P34 习题1， 2 3 4 7 8 9 10 111.2 极限的概念【教学内容】数学极限与函数极限的概念，极限存在的充要条件，无穷小量与无穷大量的概念与性质。【教学目的】 理解数列极限与函数极限的描绘性定义。理解函数在点处左、右极限的概念，驾驭函数在一点处极限存在的充分必要条件，并运用此充分必要条件解决详细问题；理解无穷小量概念，理解无穷大量概念，驾驭无穷小量性质理解无穷小量的阶的概念【教学重点】1极限的概念，函数在一点处极限存在的充分必要条件； 2无穷小与无穷大的概念与性质。【教学难点】1极限的概念的理解及应用，理解函数左极限与右极限； 2理解无穷小与无穷大的关系。【教学时数】3学时【教学进程】1.2.1 数列的极限一、概念的引入【截丈问题】“一尺之棰，日截其半，万世不竭” 特点：1，无穷项等比数列2，随着项数的增大，数列中项渐渐削减【割圆术】“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不行割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽 二、数列的极限1、数列的定义定义:按自然数编号依次排列的一列数 ，称为无穷数列，简称数列。其中的每个数称为数列的项，称为通项(一般项)，记为。例如： 【留意】数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取数列是整标函数2、数列的极限问题: 当 n 无限增大时，数列是否无限接近于某一确定的数值？假如是，如何确定？【留意】例1三、例题选讲 ® 0 例2®1例31，1，1，1，(1)n+1， 分析：正负交织，n无限增大，数列不趋于任何定数，无极限.四、课堂练习（1） 分析：（2） 1，3，5，2n1，分析：随n增大数 列的项也无限增大，也不趋于任何定数,无极限.1.2.2函数的极限人类总在不断探究更加遥远的未知领域。 科学工作者利用函数去模拟四周不断变更的事物，并通过对函数的探讨去认知变更事物的遥远将来。 例如，在十八世纪，闻名人口学家马尔萨斯提出，假如人口的数量依据等比级数增长，最终地球将无法承受人类的生存。 用数学的语言叙述这个论断： (1+)x = +，其中是大于 0 的常数。这个问题属于函数极限的范畴。一、当x时，函数f(x)的极限1、时函数的极限例1例2 已知函数(x < 0)，试由函数的图象，推断x趋向负无穷大时函数y的变更趋势。例3因为，x+和x-可以写为x 定理1探讨已知函数y=arctanx,试探讨当x时，y=arctanx否有极限，为什么？例4分析：已知函数y=sin x,推断当x时，y=sin x是否有极限，为什么？分析：由图可见，x+时，y某一固定常数A x-时，y某一固定常数A课堂练习:视察下列极限是否存在，如存在请写出极限：二、当x®x0时，函数f(x)的极限1、当x®x0时，函数f(x)的极限留意：（）定义中“x®x0”表示x从小于x0和大于x0的两个方向趋近于x0；（）定义中考虑的是x®x0时函数f(x)的变更趋势,并不考虑在x0处f(x)的状况 . （3 ） 由极限的定义19简洁得到以下两个结论：例1考察下列函数，写出当时函数的极限，并作图验证。（）y = c (c为常数) （）y = x 解： 例2。 例3 求极限 ，并作图视察 解：2. 当x®x0时, 函数f(x)的左极限和右极限左极限与右极限的关系例1解 ：探讨解：1.2.3 无穷小量和无穷大量一、无穷小量1、 定义若在自变量的某一变更过程中，函数的极限为零，则把函数称为在自变量的这一变更过程中的无穷小量，简称无穷小。即：极限为零的变量称为无穷小.例如,留意 （1）无穷小是变量，是量的变更状态，不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.（3）无穷小必需指明自变量的变更趋势。例：自变量x在怎样的变更过程中，下列函数为无穷小。（1） （2）（3） （4）定理1 其中是当时的无穷小.2、无穷小与函数极限的关系证：必要性充分性例：当时，将函数写成其极限值与一个无穷小量之和的形式。3、无穷小的运算性质:性质1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.留意：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小例1、 求下列极限解：因为=0，而即sinx有界, 由无穷小性质 得原式=0解：0 原式=0二、无穷大肯定值无限增大的变量称为无穷大.定义2 若在自变量x的某一变更过程中，函数f(x)的肯定值可以随意地大，则称函数当(或)时为无穷大,记作例如： 特殊情形：正无穷大，负无穷大留意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大.分析：（1）取 无界，不是无穷大。三、无穷小与无穷大的关系定理 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大意义：关于无穷大的探讨,都可归结为关于无穷小的探讨.例1 解：由无穷小与无穷大的倒数关系得：原式=例2 指出下列函数分别在自变量怎样的变更过程中是无穷大和无穷小。解：因为时，所以时，是无穷小；因为时，所以时，是无穷大；解：因为时，所以时，是无穷小 因为时，所以时，是无穷大 解：因为时，所以时，是正无穷大 因为时，所以时，是无穷小 练习 指出下列函数分别在自变量怎样的变更过程中是无穷大和无穷小 四、无穷小的性质在自变量的同一变更过程中，无穷小具有以下的性质： 性质1：有限个无穷小的代数和为无穷小性质2：有界函数与无穷小的乘积为无穷小性质3：有限个无穷小的乘积为无穷小例1 解：因为 时， x为无穷小, 为有界函数,由性质2，得到 。练习4：利用无穷小的性质,求下列函数的极限 五、无穷小的比拟定义设a和b是同一变更过程中的两个无穷小，即lim a=0和limb=0() 假如，那么称a是b的高阶无穷小；() 假如，那么称a是b的低阶无穷小；() 假如，那么称a是b的同阶无穷小；特殊是当c=1时，即当时，则称a与b是等价无穷小,记作： ba。例1 选择题（1）当时，变量是变量的（ ）A高阶无穷小； B低阶无穷小； C同阶无穷小；D等价无穷小解：, （2）当时，变量是变量的（ ）A高阶无穷小； B低阶无穷小； C同阶无穷小；D等价无穷小解： ，第1章 函数、极限与连续第1.3节 极限的运算【教学目的与要求】1.驾驭极限的四则运算法则并娴熟运用法则求解极限问题；2.熟识娴熟驾驭用两个重要极限求极限的方法；3.理解利用无穷小量的等价交换求极限的方法【教学重点、难点】1.娴熟运用法则求解极限问题；2.两个重要极限的应用。【教学内容】1.3.1极限的四则运算一、极限运算法则定理1证： 由无穷小运算法则,得 推论1 即：常数因子可以提到极限记号外面.推论2定理2 （复合函数的极限）二、求极限方法举例常见方法：a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.（一）多项式与分式函数代入法求极限例1 解：例2 求解：例3 求解：例4 解：当先变形再求极限.(二)消去零因子法求极限消去零因子法：（1）因式分解；（2）有理化法；（3）变量交换法（1）因式分解例1 解：练习：求解：原式=（2）有理化法，将分子或分母有理化，约去极限为零的因式。例2 解： 练习：求 解：原式=1（3）变量交换法例5. 解：令原式=(三) 无穷小因子分出法无穷小因子分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例1 解：练习：=0（四）利用无穷小运算性质求极限1、利用有界函数与无穷小乘积是无穷小例1 求.解：2、利用无穷小与无穷大的关系（倒数关系）例2 解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得 （五）两个无穷大量相减的问题，我们首先进展通分运算，设法去掉不定因素，然后运用四则运算法则求其极限。也就是说，要将。详细有通分法、分子有理化。例1 求解：原式=例2 解：原式=练习：解：（六）利用左右极限与极限的关系例1设问 b 取何值时, 存在, 并求其值。.解 由函数的极限与其左、右极限的关系, 得b = 2 , 练习：解：左右极限存在且相等，（七）复合函数求极限方法例1解：所以，由复合函数求极限法则注：这类复合函数的极限通常可写成例2解：1.3.2两个重要的极限一、例1 解：原式=4例2 求解：例3 求极限解： .练习：求解：原式=二、 例4 解：例5 解： 例6解： 例7解： 练习 解1解2=e2【补充】等价无穷小代换定理(等价无穷小代换定理)常用等价无穷小: 例1 解：若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的随意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会变更原式的极限例2 解留意 不能滥用等价无穷小代换。切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.例3 错解 （）解： 1.4 函数的连续性【教学内容】连续与连续的概念；函数连续性的推断；闭区间上连续函数的性质。【教学目的】使学生理解与驾驭连续与连续函数的概念，会求连续点与连续区间，理解闭区间连续函数的性质。【教学重点】1连续的概念；2求函数的连续点或连续区间。 【教学难点】连续的概念。 【教学时数】2学时【教学进程】一、函数的连续性1函数的变更量提出问题：通过详细图像视察，提出当自变量由一个值变更到另一个值时，自变量变更了多少？同时，函数值变更了吗？函数值的变更用什么来表示？定义113 设函数在的某邻域内有定义，当自变量由变到，称差-为自变量在处的变更量或增量，通常用表示，即=-相应地，函数值由变到，称差为函数在处的变更量或增量，记作，即=例1 设，在下列变更状况下求和(1)由2变到201（答案：0.02）(2)由2变到198（答案：0.04）说明：和可以是正值，也可以是负值，也可以为零。2连续的概念1）定义提问：什么样的函数是连续的？（让学生视察下列图像，分析两个图像的不同处，提出用什么式子来衡量。）O图1-26视察图1-26和图1-27中两条曲线在处的状况图1-27归纳结论：由图1-26中可以看出，函数在处是连续的，且明显当时，有由图1-27中可以看出，函数在处是断开的，且明显当时，有（不趋近于零）定义114 设函数在点的某个邻域内有定义，假如在处，当自变量的增量无限趋近于0时，函数的增量也无限趋近于0，即则称函数在点处连续，称点为函数的连续点；否则就称函数在点处连续，点为函数的连续点例2 用定义证明在处连续再提问：函数在某点处连续，那么这点处的极限如何？与这点的函数值有何关系？（让学生视察图像，分析两个图像的不同处，提出用什么式子来衡量。）定义 设函数在点的某个邻域内有定义，假如那么函数在点处连续称点为函数的连续点否则称函数在点处连续，称为函数的连续点。提问：如何来推断函数在某点连续呢？（让学生先归纳出推断某点连续的方法，然后由教师进展总结。）2）推断连续的方法一般地，函数在点处连续必需满意下面三个条件：（1） 函数在点处有定义；（2） 存在；（3） ，即函数在点处的极限值等于这一点的函数值。假如，则称函数 在点处右连续；假如，则称函数在点处左连续。图115中的函数曲线是左连续的。例3探讨函数在点处的连续性。（答案：连续）例4 试说明函数在处是连续的（答案：连续）例5 已知函数在处连续，求与的值 （答案：）3）课堂练习：1探讨函数在处的连续性（答案：连续）2试说明函数在处连续。提问：两个函数在某点连续，进展四则运算后是否在此点仍连续？（让学生先思索，然后由教师进展总结。）4）连续的运算Ø 假如函数和在点处连续，则它们的和、差、积、商（）在点处均连续。Ø 假如函数在点连续，且，函数在连续，则它们的复合函数在点必连续，且例6求（答案：1）5）极限与连续的关系定理1·6假如函数在点处连续，则点处的极限肯定存在；反之，不肯定成立。例如，函数在处的极限存在，但在处不连续。3连续函数的概念1）连续函数的定义定义115 假如函数在区间内每一点都连续，则称函数在区间内连续；假如函数在开区间内连续，又在左端点处右连续，在右端点处左连续，则称函数在闭区间上连续2）重要结论连续函数的和、差、积、商及复合的函数都是连续函数。由于初等函数是由根本初等函数经过有限次四则运算及复合构成的，根本初等函数在其定义域内都是连续的，所以初等函数在其定义域内均连续。二、连续点与连续区间的求法1）方法（可由教师提问，让学生先思索，）一般地，假如函数是初等函数，则求它的连续区间只需考虑它有定义；假如函数是分段函数，则它的连续性着重应考虑它的分段点。2）举例例7推断下列函数在指定点处的连续性。（1）在处（答案：不连续）（2）在处（答案：不连续）例8说明函数在什么区间连续。（答案：）例9求下列函数的连续点。（1）（答案：，）（2）（答案：）3）课堂练习：求下列函数的连续点与连续区间1（答案：连续点：，；连续区间）2（答案：连续点：；连续区间）例10求下列极限：(1)（答案：）(2) （答案：）四、闭区间上连续函数的性质O图1-28mbcMa定理18（最值定理） 假如函数在闭区间上连续，则函数闭区间上肯定有最大值和最小值如图1-28所示，函数在闭区间上连续，在点处获得最小值，在点处获得最大值定理19（介值定理） 假如函数在闭区间上连续，和分别为函数在闭区间上的最小值与最大值，则对介于和之间的任一实数，至少存在一点使得如图1-28所示，对于，直线与连续曲线有两个交点，使得o图1-29推论（零点定理） 假如函数在闭区间上连续，且，则至少存在一点使得推论说明：连续函数满意，则方程在区间内至少有一个根（如图1-29所示）例11证明方程在与之间有实根。本节小结：主要内容：连续的概念，连续函数的概念，连续点与连续区间的求法，闭区间上连续函数的性质，第一章学问小结重点：连续的定义，连续点与连续区间的求法，极限求法与连续推断难点：连续的定义，闭区间上连续函数性质的理解第一章 “函数、极限、连续”总结【教学内容】函数、极限与连续的定义、极限及其相关计算【教学目的】综合理解并驾驭函数、极限与连续的概念、性质及其有关计算方法，驾驭函数在经济问题中的应用【教学重点】极限的计算【教学难点】极限的定义、极限的计算【教学时数】2学时【教学进程】一、根本概念根本性质1函数2反函数3函数的简洁性质有界性，奇偶性，单调性与周期性4根本初等函数与初等函数5复合函数6函数的极限（1）函数在处的极限（2）函数当时的极限（3）单侧极限（4）极限存在的条件=A=A7极限的四则运算法则设，那么；， ；上述法则对也成立8两个重要极限（1）（2） 或 9无穷小量与无穷大量（1）无穷小量的定义（2）无穷大量的定义（3）性质与关系1）有限个无穷小的和仍是无穷小2）有界量与无穷小的积仍是无穷小3）在自变量的同一变更过程中，假如函数为无穷大，则为无穷小；假如为无穷小且，则为无穷大10函数的连续性与连续性（1）函数连续性定义（2）函数连续性等价定义（其中）（3）单侧连续（4）区间上连续（5）连续点（6）初等函数的连续性初等函数在其定义域内的每一点都是连续的，由此可得初等函数的定义域就是该函数的连续区间11闭区间上连续函数的性质（1）最大值和最小值定理（2）介值定理二 典型例题分析题型1 函数值与函数记号例1.1 设 ，求（1）；（2）答 （1）； （2）例1.2 设，求，.答： ，=题型2 求函数的定义域例1.3 求下列函数的定义域：（1）； （2）；=答：（1）（2）函数的定义域是0，2题型3推断函数的奇偶性例1.4 推断下列函数的奇偶性（1） ； (2)；（3）； （4）答：(1)偶函数；(2)奇函数；（3）偶函数；（4）非奇非偶函数题型4 函数关系的建立例1.5 某厂消费的手掌嬉戏机每台可卖110元，固定本钱为7500元，可变本钱为每台60元（1）要卖多少台手掌机，厂家才可保本（收回投资）？（2）卖掉100台的话，厂家盈利或亏损了多少？（3）要获得1250元利润，须要卖多少台？答 （1）要卖150台，厂家才可保本（2）卖掉100台的话，厂家亏损2500元（3）需卖175台题型6 求极限的方法1利用极限的四则运算法则及初等函数连续性求极限例1.6 求极限：答 = 例1.7 若=4，求值答 2利用零因子消去法求解型未定式的极限例1.8 求下列函数的极限：（1）； （2）； （3）答：（1）（2）原式=1（3）采纳变量交换法，将原式子变为有理式，再求解，令原式=3利用无穷小因子分出法求解型未定式的极限例1.9 求的极限下列函数：（1）；（2）；（3）答：(1) ；（2）0；（3）4将型未定式转化为未定式求极限例1.10 求下列函数的极限：（1）； （2）答 （1）1；（2）5利用求和公式求无限项求极限 例1.11 求答 6利用两个重要极限求极限例1.12 求下列极限：（