第31届中国数学奥林匹克竞赛题.docx

第31届中国数学奥林匹克竞赛题江西 鹰潭第一天（2015年12月16日 8：0012：30）1、设正整数满意：求的最大值.2、如图，凸四边形ABCD中，K、L、M、N分别是边AB、BC、CD、DA上的点，满意：延长AB、CD交于E点，延长AD、BC交于点F，设AEF的内切圆在边AE、AF上的切点分别为S、T；CEF的内切圆在边CE、CF上的切点分别为U、V.证明：若K、L、M、N四点共圆，则S、T、U、V四点共圆. 3、设是奇素数，是整数，证明以下两个命题等价：存在一个次数不超过的整系数多项式，使得对每个不超过的正整数，都有.对每个不超过的正整数，都有，这里下标按模理解，即.第二天（2015年12月17日 8：0012：30）4、设整数，不超过的素数共有个，设A是集合的子集，A的元素个数小于，且A中随意一个数不是另一个数的倍数.证明：存在集合的元子集B，使得B中随意一个数也不是另一个数的倍数，且B包含A.5、在平面中，对随意给定的凸四边形ABCD，证明：存在正方形（其顶点可以按顺时针或逆时针标记），使得，且直线，经过同一个点.6、一项赛事共有100位选手参与，对随意两位选手，他们之间恰竞赛一次且分出输赢，以表示战胜，假如对随意两位选手，均能找到某个选手序列，使得，那么称该赛事结果是“友好”的.证明：对随意一个友好的赛事结果，存在正整数满意如下条件：对随意两位选手，均能找到某个长度为的选手序列（可以有重复），使得.对随意一个友好的赛事结果T，将符合中条件的最小正整数记为，求的最小值.