高等数学下知识点总结.docx
主要公式总结第八章 空间解析几何及向量代数1、 二次曲面1） 椭圆锥面：2） 椭球面： 旋转椭球面：3） 单叶双曲面： 双叶双曲面：4） 椭圆抛物面： 双曲抛物面马鞍面：5） 椭圆柱面： 双曲柱面：6） 抛物柱面：（二） 平面及其方程1、 点法式方程： 法向量：，过点2、 一般式方程：截距式方程：3、 两平面的夹角：， ； 4、 点到平面的间隔 ：（三） 空间直线及其方程1、 一般式方程：2、 对称式点向式方程： 方向向量：，过点3、 两直线的夹角：， ； 4、 直线及平面的夹角：直线及它在平面上的投影的夹角， ； 第九章 多元函数微分法及其应用1、 连续：2、 偏导数： ；3、 方向导数： 其中为的方向角。4、 梯度：，那么。5、 全微分：设，那么（一） 性质1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义122342、 微分法1） 复合函数求导：链式法那么 假设，那么 ，（二） 应用1） 求函数的极值 解方程组 求出全部驻点，对于每一个驻点，令， 假设，函数有微小值， 假设，函数有极大值； 假设，函数没有极值； 假设，不定。2、 几何应用1） 曲线的切线及法平面曲线，那么上一点对应参数为处的切线方程为：法平面方程为：2） 曲面的切平面及法线曲面，那么上一点处的切平面方程为： 法线方程为：第十章 重积分（一） 二重积分 ：几何意义：曲顶柱体的体积1、 定义：2、 计算：1） 直角坐标， ， 2） 极坐标 ， （二） 三重积分1、 定义： 2、 计算：1） 直角坐标 “先一后二 “先二后一2） 柱面坐标，3） 球面坐标（三） 应用曲面的面积：第十一章 曲线积分及曲面积分（一） 对弧长的曲线积分1、 定义：2、 计算：设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，那么（二） 对坐标的曲线积分1、 定义：设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，定义，.向量形式：2、 计算：设在有向光滑弧上有定义且连续, 的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，那么3、 两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，那么.（三） 格林公式1、 格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在D 上具有连续一阶偏导数, 那么有2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，那么 曲线积分 在内及途径无关（四） 对面积的曲面积分1、 定义：设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，定义 2、 计算：“一单二投三代入，那么（五） 对坐标的曲面积分1、 定义：设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有界函数，定义 同理， ；2、 性质：1，那么计算：“一投二代三定号，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，那么,为上侧取“ + ， 为下侧取“ - .3、 两类曲面积分之间的关系：其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。（六） 高斯公式1、 高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数在上有连续的一阶偏导数, 那么有或2、 通量及散度通量：向量场通过曲面指定侧的通量为：散度：（七） 斯托克斯公式1、 斯托克斯公式：设光滑曲面 S 的边界 G是分段光滑曲线, S 的侧及 G 的正向符合右手法那么, 在包含å 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 那么有为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:2、 环流量及旋度环流量：向量场沿着有向闭曲线G的环流量为旋度：第十二章 无穷级数（一） 常数项级数1、 定义：1无穷级数：部分和：，正项级数：，交织级数：，2级数收敛：假设存在，那么称级数收敛，否那么称级数发散3条件收敛：收敛，而发散；肯定收敛：收敛。2、 性质：1） 变更有限项不影响级数的收敛性；2） 级数，收敛，那么收敛；3） 级数收敛，那么随意加括号后仍旧收敛；4） 必要条件：级数收敛.留意：不是充分条件！3、 审敛法正项级数：，1） 定义：存在；2） 收敛有界；3） 比较审敛法：，为正项级数，且 假设收敛，那么收敛；假设发散，那么发散.4） 比较法的推论：，为正项级数，假设存在正整数，当时，而收敛，那么收敛；假设存在正整数，当时，而发散，那么发散. 5） 比较法的极限形式：，为正项级数，假设，而收敛，那么收敛；假设或，而发散，那么发散.6） 比值法：为正项级数，设，那么当时，级数收敛；那么当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.7） 根值法：为正项级数，设，那么当时，级数收敛；那么当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.8） 极限审敛法：为正项级数，假设或，那么级数发散；假设存在，使得，那么级数收敛.交织级数：莱布尼茨审敛法：交织级数：，满意：，且，那么级数收敛。随意项级数：肯定收敛，那么收敛。常见典型级数：几何级数： ； p -级数：（二） 函数项级数1、 定义：函数项级数，收敛域，收敛半径，和函数；2、 幂级数：3、 收敛半径的求法：，那么收敛半径 4、 泰勒级数 绽开步骤：干脆绽开法1） 求出；2） 求出；3） 写出；4） 验证是否成立。间接绽开法：利用函数的绽开式1；2；3；4；56785、 傅里叶级数1） 定义：正交系：函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间上积分为零。傅里叶级数：系数： 2） 收敛定理：(绽开定理)设 f (x) 是周期为2p的周期函数, 并满意狄利克雷( )条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类连续点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 那么 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有3） 傅里叶绽开：求出系数：；写出傅里叶级数；依据收敛定理断定收敛性。
