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第十八章 勾股定理181 勾股定理一一、教学目的1理解勾股定理的发觉过程，驾驭勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。2培育在实际生活中发觉问题总结规律的意识和实力。3介绍我国古代在勾股定理讨论方面所获得的成就，激发学生的爱国热忱，促其勤奋学习。二、重点、难点1重点：勾股定理的内容与证明。2难点：勾股定理的证明。三、例题的意图分析例1补充通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，熬炼学生的动手理论实力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族骄傲感，和爱国情怀。例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会变更。进一步让学生确信勾股定理的正确性。四、课堂引入目前世界上很多科学家正在试图找寻其他星球的“人，为此向宇宙发出了很多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，放射一种反映勾股定理的图形，假如宇宙人是“文明人，那么他们确定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是特别了不得的成就。让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角ABC，用刻度尺量出AB的长。以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发觉的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得始终角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。这句话意思是说一个直角三角形较短直角边勾的长是3，长的直角边股的长是4，那么斜边弦的长是5。再画一个两直角边为5和12的直角ABC，用刻度尺量AB的长。你是否发觉32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。对于随意的直角三角形也有这特性质吗？五、例习题分析例1补充：在ABC中，C=90°，A、B、C的对边为a、b、c。求证：a2b2=c2。分析：让学生打算多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形态，利用面积相等进展证明。拼成如下图，其等量关系为：4S+S小正=S大正 4×abba2=c2，化简可证。发挥学生的想象实力拼出不同的图形，进展证明。 勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族骄傲感，和爱国情怀。例2：在ABC中，C=90°，A、B、C的对边为a、b、c。求证：a2b2=c2。分析：左右两边的正方形边长相等，那么两个正方形的面积相等。左边S=4×abc2右边S=a+b2左边和右边面积相等，即4×abc2=a+b2181 勾股定理二一、教学目的1会用勾股定理进展简洁的计算。2树立数形结合的思想、分类讨论思想。二、重点、难点1重点：勾股定理的简洁计算。2难点：勾股定理的敏捷运用。三、例题的意图分析例1补充使学生熟识定理的运用，刚开始运用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。让学生明确在直角三角形中，随意两边都可以求出第三边。并学会利用不同的条件转化为两边求第三边。例2补充让学生留意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。例3补充勾股定理的运用范围是在直角三角形中，因此留意要创建直角三角形，作高是常用的创建直角三角形的协助线做法。让学生把前面学过的学问和新学问综合运用，进步综合实力。四、课堂引入复习勾股定理的文字表达；勾股定理的符号语言与变形。学习勾股定理重在应用。五、例习题分析例1补充在RtABC，C=90°a=b=5,求c。a=1,c=2, 求b。c=17,b=8, 求a。a：b=1：2,c=5, 求a。b=15，A=30°，求a，c。分析：刚开始运用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。两直角边，求斜边干脆用勾股定理。斜边和始终角边，求另始终角边，用勾股定理的便形式。一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，随意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。例2补充直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。分析：两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种状况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。例3补充：如图，等边ABC的边长是6cm。求等边ABC的高。 求SABC。分析：勾股定理的运用范围是在直角三角形中，因此留意要创建直角三角形，作高是常用的创建直角三角形的协助线做法。欲求高CD，可将其置身于RtADC或RtBDC中，但只有一边，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=AB=3cm，那么此题可解。六、课堂练习1填空题在RtABC，C=90°，a=8，b=15，那么c= 。在RtABC，B=90°，a=3，b=4，那么c= 。在RtABC，C=90°，c=10，a：b=3：4，那么a= ，b= 。一个直角三角形的三边为三个连续偶数，那么它的三边长分别为 。直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，那么第三边长为 。等边三角形的边长为2cm，那么它的高为 ，面积为 。2：如图，在ABC中，C=60°，AB=，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。 3等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。181 勾股定理三一、教学目的1会用勾股定理解决简洁的实际问题。2树立数形结合的思想。二、重点、难点1重点：勾股定理的应用。2难点：实际问题向数学问题的转化。三、例题的意图分析例1教材P74页探究1明确如何将实际问题转化为数学问题，留意条件的转化；学会如何利用数学学问、思想、方法解决实际问题。例2教材P75页探究2使学生进一步娴熟运用勾股定理，探究直角三角形三边的关系：保证一边不变，其它两边的变更。四、课堂引入勾股定理在实际的消费生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发觉和运用解决了很多生活中的问题，今日我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试。五、例习题分析例1教材P74页探究1分析：在实际问题向数学问题的转化过程中，留意勾股定理的运用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。让学生深化讨论图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？指出薄木板在数学问题中忽视厚度，只记长度，讨论以何种方式通过？转化为勾股定理的计算，采纳多种方法。留意给学生小结深化数学建模思想，激发数学爱好。例2教材P75页探究2分析：在AOB中，AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。 在COD中，CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD。那么BD=ODOB，通过计算可知BDAC。进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD。六、课堂练习1小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。2如图，山坡上两株树木之间的坡面间隔 是4米，那么这两株树之间的垂直间隔 是 米，程度间隔 是 米。 3如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的间隔 是 。4如图，原方案从A地经C地到B地修建一条高速马路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地干脆修建，高速马路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，那么改建后可省工程费用是多少？181 勾股定理四一、教学目的1会用勾股定理解决较综合的问题。2树立数形结合的思想。二、重点、难点1重点：勾股定理的综合应用。2难点：勾股定理的综合应用。三、例题的意图分析例1补充“双垂图是中考重要的考点，娴熟驾驭“双垂图的图形构造和图形性质，通过讨论、计算等使学生可以敏捷应用。目前“双垂图须要驾驭的学问点有：3个直角三角形，三个勾股定理与推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，与30°或45°特别角的特别性质等。例2补充让学生留意所求结论的开放性，根据条件，作适当协助线求出三角形中的边和角。让学生驾驭解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。使学生清晰作协助线不能破坏角。例3补充让学生驾驭不规那么图形的面积，可转化为特别图形求解，此题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。在转化的过程中留意条件的合理运用。让学生把前面学过的学问和新学问综合运用，进步解题的综合实力。例4教材P76页探究3让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。四、课堂引入复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。五、例习题分析例1补充1：在RtABC中，C=90°，CDBC于D，A=60°，CD=，求线段AB的长。分析：此题是“双垂图的计算题，“双垂图是中考重要的考点，所以要求学生对图形与性质驾驭特别娴熟，可以敏捷应用。目前“双垂图须要驾驭的学问点有：3个直角三角形，三个勾股定理与推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，与30°或45°特别角的特别性质等。 要求学生可以自己画图，并正确标图。引导学生分析：欲求AB，可由AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特别角，求出BD=3和AD=1。或欲求AB，可由，分别在两个三角形中利用勾股定理和特别角，求出AC=2和BC=6。例2补充：如图，ABC中，AC=4，B=45°，A=60°，根据题设可知什么？分析：由于此题中的ABC不是直角三角形，所以根据题设只能干脆求得ACB=75°。在学生充分思索和讨论后，发觉添置AB边上的高这条协助线，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC与SABC。让学生充分讨论还可以作其它协助线吗？为什么？小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。并指出如何作协助线？解略。例3补充：如图，B=D=90°，A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。分析：如何构造直角三角形是解此题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据此题给定的角应选后两种，进一步根据此题给定的边选第三种较为简洁。教学中要逐层展示给学生，让学生深化体会。解：延长AD、BC交于E。A=60°，B=90°，E=30°。AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE=。S四边形ABCD=SABE-SCDE=AB·BE-CD·DE=小结：不规那么图形的面积，可转化为特别图形求解，此题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。例4教材P76页探究3分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。182 勾股定理的逆定理一一、教学目的1体会勾股定理的逆定理得出过程，驾驭勾股定理的逆定理。2探究勾股定理的逆定理的证明方法。3理解原命题、逆命题、逆定理的概念与关系。二、重点、难点1重点：驾驭勾股定理的逆定理与证明。2难点：勾股定理的逆定理的证明。三、例题的意图分析例1补充使学生理解命题，逆命题，逆定理的概念，与它们之间的关系。例2P82探究通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起视察能否重合，激发学生的爱好和求知欲，熬炼学生的动手操作实力，再通过探究理论证明方法，使理论上升到理论，进步学生的理性思维。例3补充使学生明确运用勾股定理的逆定理断定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先推断那条边最大。分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。推断a2+b2和c2是否相等，假设相等，那么是直角三角形；假设不相等，那么不是直角三角形。四、课堂引入创设情境：怎样断定一个三角形是等腰三角形？怎样断定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的断定进展比照，从勾股定理的逆命题进展揣测。五、例习题分析例1补充说出以下命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？同旁内角互补，两条直线平行。假如两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。线段垂直平分线上的点到线段两端点的间隔 相等。直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。分析：每个命题都有逆命题，说逆命题时留意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并留意语言的运用。理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。解略。例2P82探究证明：假如三角形的三边长a，b，c满意a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。分析：留意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写求证。如何推断一个三角形是直角三角形，如今只知道假设有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何推断一个角是直角。利用条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，那么通过三边对应相等的两个三角形全等可证。先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起视察能否重合，激发学生的爱好和求知欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题熬炼学生的动手操作实力，由理论到理论学生更简洁承受。证明略。例3补充：在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，a=n21，b=2n，c=n21n1求证：C=90°。分析：运用勾股定理的逆定理断定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先推断那条边最大。分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。推断a2+b2和c2是否相等，假设相等，那么是直角三角形；假设不相等，那么不是直角三角形。要证C=90°，只要证ABC是直角三角形，并且c边最大。根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。由于a2+b2= n2122n2=n42n21，c2=n212= n42n2从而a2+b2=c2，故命题获证。182 勾股定理的逆定理二一、教学目的1敏捷应用勾股定理与逆定理解决实际问题。2进一步加深性质定理与断定定理之间关系的相识。二、重点、难点1重点：敏捷应用勾股定理与逆定理解决实际问题。2难点：敏捷应用勾股定理与逆定理解决实际问题。三、例题的意图分析例1P83例2让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。例2补充培育学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。四、课堂引入创设情境：在军事和航海上常常要确定方向和位置，从而运用一些数学学问和数学方法。五、例习题分析例1P83例2分析：理解方位角，与方位名词；依题意画出图形；依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30；因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知QPR=90°；PRS=QPR-QPS=45°。小结：让学生养成“三边求角，利用勾股定理的逆定理的意识。例2补充一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试推断这个三角形的形态。分析：假设推断三角形的形态，先求三角形的三边长；设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。解略。六、课堂练习1小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 。2如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，那么A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？3如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海疆，我海军甲、乙两艘巡逻艇马上从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？七、课后练习1一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，那么三边长分别为 ，此三角形的形态为 。2一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间间隔 是9米，B、D两点之间间隔 是5米，那么电线杆和地面是否垂直，为什么？3如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又B=90°。课后反思：182 勾股定理的逆定理三一、教学目的1应用勾股定理的逆定理推断一个三角形是否是直角三角形。 2敏捷应用勾股定理与逆定理解综合题。3进一步加深性质定理与断定定理之间关系的相识。二、重点、难点1重点：利用勾股定理与逆定理解综合题。2难点：利用勾股定理与逆定理解综合题。三、例题的意图分析例1补充利用因式分解和勾股定理的逆定理推断三角形的形态。例2补充使学生驾驭讨论四边形的问题，通常添置协助线把它转化为讨论三角形的问题。此题协助线作平行线间间隔 无法求解。创建3、4、5勾股数，利用勾股定理的逆定理证明DE就是平行线间间隔 。例3补充勾股定理与逆定理的综合应用，留意条件的转化与变形。四、课堂引入勾股定理和它的逆定理是黄金伙伴，常常综合应用来解决一些难度较大的题目。五、例习题分析例1补充：在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，满意a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。试推断ABC的形态。分析：移项，配成三个完全平方；三个非负数的和为0，那么都为0；a、b、c，利用勾股定理的逆定理推断三角形的形态为直角三角形。例2补充：如图，四边形ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。求：四边形ABCD的面积。分析：作DEAB，连结BD，那么可以证明ABDEDBASA；DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；在DEC中，3、4、5勾股数，DEC为直角三角形，DEBC；利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。例3补充：如图，在ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。求证：ABC是直角三角形。 分析：AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=AD+BD2=AB2六、课堂练习1假设ABC的三边a、b、c，满意aba2b2c2=0，那么ABC是 A等腰三角形；B直角三角形；C等腰三角形或直角三角形；D等腰直角三角形。2假设ABC的三边a、b、c，满意a：b：c=1：1：，试推断ABC的形态。3：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且ABBC。求：四边形ABCD的面积。4：在ABC中，ACB=90°，CDAB于D，且CD2=AD·BD。求证：ABC中是直角三角形。课后反思：1假设ABC的三边a、b、c满意a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求ABC的面积。2在ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm。求证：ABC是等腰三角形。3：如图，1=2，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2。求证：AB2=AE2+CE2。4ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，试断定ABC的形态。 三 平行四边形的断定三角形的中位线一、 教学目的：1 理解三角形中位线的概念，驾驭它的性质2 能较娴熟地应用三角形中位线性质进展有关的证明和计算3经验探究、揣测、证明的过程，进一步开展推理论证的实力4能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法二、 重点、难点1重点：驾驭和运用三角形中位线的性质2难点：三角形中位线性质的证明协助线的添加方法 三、例题的意图分析 例1是教材P98的例4，这是三角形中位线性质的证明题，教材采纳的是先证明后引出概念与性质的方法，它一是要练习稳固平行四边形的性质与断定，二是为了降低难度，因此老师们在教学中要把握好度建议讲完例1，引出三角形中位线的概念和性质后，立刻做一组练习，以稳固三角形中位线的性质，然后再讲例2例2是一道补充题，选自老教材的一个例题，它是三角形中位线性质与平行四边形的断定的混合应用题，题型挺好，添加协助线的方法也很巧，结论以后也会常常用到，可根据学生状况适当的选讲例2教学中，要把协助线的添加方法讲清晰，可以借助与多媒体或教具四、课堂引入1 平行四边形的性质；平行四边形的断定；它们之间有什么联络？2 你能说说平行四边形性质与断定的用处吗？答：平行四边形学问的运用包括三个方面：一是干脆运用平行四边形的性质去解决某些问题例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是断定一个四边形是平行四边形，从而断定直线平行等；三是先断定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题3创设情境试验：请同学们思索：将随意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？答案如图图中有几个平行四边形？你是如何推断的？五、例习题分析 例1教材P98例4 如图，点D、E、分别为ABC边AB、AC的中点，求证：DEBC且DE=BC 分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的学问，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就须要添加适当的协助线来构造平行四边形 方法1：如图1，延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由ADECFE，可得ADFC，且AD=FC，因此有BDFC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形所以DFBC，DF=BC，因为DE=DF，所以DEBC且DE=BC也可以过点C作CFAB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体一样 方法2：如图2，延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形所以ADFC，且AD=FC因为AD=BD，所以BDFC，且BD=FC所以四边形ADCF是平行四边形所以DFBC，且DF=BC，因为DE=DF，所以DEBC且DE=BC定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线【思索】：1想一想：一个三角形的中位线共有几条？三角形的中位线与中线有什么区分？ 2三角形的中位线与第三边有怎样的关系？ 答：1一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区分主要是线段的端点不同中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线 2三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半拓展利用这确定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？让学生口述理由例2补充：如图1，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形分析：因为点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加协助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线的根本图形后，此题便可得证证明：连结AC图2，DAG中， AH=HD，CG=GD， HGAC，HG=AC三角形中位线性质同理EFAC，EF=AC HGEF，且HG=EF 四边形EFGH是平行四边形此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形六、课堂练习1填空如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，假如测得MN=20 m，那么A、B两点的间隔 是 m，理由是 2：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长3如图，ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，1假设EF=5cm，那么AB= cm；假设BC=9cm，那么DE= cm；2中线AF与DE中位线有什么特别的关系？证明你的揣测七、课后练习1填空一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，那么这三条平行线所组成的三角形的周长是 cm2填空：ABC中，点D、E、F分别是ABC三边的中点，假如DEF的周长是12cm，那么ABC的周长是 cm3：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形19.2.1 矩形(一)一、教学目的：    1驾驭矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区分与联络    2会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题    3浸透运动联络、从量变到质变的观点二、重点、难点1重点：矩形的性质2难点：矩形的性质的敏捷应用三、例题的意图分析例1是教材P104的例1，它是矩形性质的干脆运用，它除了用以稳固所学的矩形性质外，对计算题的格式也起了一个示范作用例2与例3都是补充的题目，其中通过例2的讲解是想让学生理解：1因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算常常要用到直角三角形的性质，而利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法；2“直角三角形斜边上的高是一个根本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边与斜边上的高的一个根本关系式并能通过例2、例3的讲解使学生驾驭解决有关矩形方面的一些计算题目与证明题的方法四、课堂引入1展示生活中一些平行四边形的实际应用图片推拉门，活动衣架，篱笆、井架等，想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？2思索：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，视察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？动画演示拉动过程如图3再次演示平行四边形的挪动过程，当挪动到一个角是直角时停顿，让学生视察这是什么图形？小学学过的长方形引出本课题与矩形定义矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上作出对角线，拉动一对不相邻的顶点，变更平行四边形的形态 随着的变更，两条对角线的长度分别是怎样变更的？ 当是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？操作，思索、沟通、归纳后得到矩形的性质矩形性质1 矩形的四个角都是直角矩形性质2 矩形的对角线相等 如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=AC=BD因此可以得到直角三角形的一特性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半五、例习题分析 例1 教材P104例1：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长分析：因为矩形是特别的平行四边形，所以它具有对角线相等且相互平分的特别性质，根据矩形的这个特性和，可得OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求解：四边形ABCD是矩形，AC与BD相等且相互平分OA=OB又 AOB=60°， OAB是等边三角形 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8cm 例2补充：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm求AD的长与点A到BD的间隔 AE的长分析：1因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算常常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法略解：设AD=xcm，那么对角线长x+4cm，在RtABD中，由勾股定理：，解得x=6 那么 AD=6cm（2）（3） 例3补充 ：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DFAE于F，假设AE=BC 求证：CEEF 分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，假设AFBE，那么问题解决，而证明AFBE，只要证明ABEDFA即可，在矩形中简洁构造全等的直角三角形 证明： 四边形ABCD是矩形， B=90°，且ADBC 1=2 DFAE， AFD=90° B=AFD又 AD=AE， ABEDFAAAS AF=BE EF=EC 此题还可以连接DE，证明DEFDEC，得到EFEC六、随堂练习1填空1矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 2矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，那么矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为 、 、 、 3矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，那么矩形的边长分别为 cm， cm， cm， cm2选择1以下说法错误的选项是 A矩形的对角线相互平分 B矩形的对角线相等C有一个角是直角的四边形是矩形 D有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有 A2对 B4对 C6对 D8对19.2.1 矩形(二)一、教学目的：1理解并驾驭矩形的断定方法2使学生能应用矩形定义、断定等学问，解决简洁的证明题和计算题，进一步培育学生的分析实力二、重点、难点1重点：矩形的断定2难点：矩形的断定与性质的综合应用三、例题的意图分析 本节课的三个例题都是补充题，例1在的一组推断题是为了让学生加深理解断定矩形的条件，老师们在教学中还可以适当地再增加一些推断的题目；例2是利用矩形学问进展计算；例3是一道矩形的断定题，三个题目从不同的角度动身，来综合应用矩形定义与断定等学问的四、课堂引入1什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？2矩形有哪些性质？3矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？4事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么方法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？通过讨论得到矩形的断定方法矩形断定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形矩形断定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形指出：断定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了因为由四边形内角和可知，这时第四个角确定是直角五、例习题分析 例1补充以下各句断定矩形的说法是否正确？为什么？    1有一个角是直角的四边形是矩形； ×    2有四个角是直角的四边形是矩形；     3四个角都相等的四边形是矩形；      4对角线相等的四边形是矩形； ×     5对角线相等且相互垂直的四边形是矩形； ×6对角线相互平分且相等的四边形是矩形； 7对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； ×8一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；    9两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形 () 指出：    l所给四边形添加的条件不满意三个的确定不是矩形；    2所给四边形添加的条件是三个独立条件，但假设与断定方法不同，那么须要利用定义和断定方法证明或举反例，才能下结论例2 补充 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积分析：首先根据AOB是等边三角形与平行四边形对角线相互平分的性质断定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值