小学数学比和比例问题知识汇总及解析例题.docx

小学数学学问总结之比和比例应用题【求比的问题】例1 两个同样容器中各装满盐水。第一个容器中盐及水的比是23，第二个容器中盐及水的比是34，把这两个容器中的盐水混合起来，那么混合溶液中盐及水的比是_。无锡市小学数学竞赛试题那么混合溶液中，盐及水的比是：某电子产品去年按定价的80出售，能获利20，由于今年买入价降1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题即： 【比例问题】例1 甲、乙两包糖的重量比是41，假如从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为75 那么两包糖重量的总和是_克。1989年全国小学数学奥林匹克初赛试题例2 甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精及水混合。第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器。这样甲容器中纯酒精含量为62.5，乙容器中纯酒精含量为25，那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是_升。1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题讲析：因为如今乙容器中纯酒精含量为25，所以，乙容器中酒精及水的比为251-25=13第一次从甲容器中倒5升纯酒精到乙容器，才使得乙容器中纯酒精及水的比恰好是515=13又甲容器中纯酒精含量为62.5，那么甲容器中酒精及水的比为62.51-62.5=53第二次倒后，要使甲容器中纯酒精及水的比为53，不妨把从甲容器中倒入乙容器的混合液中纯酒精作1份，水作3份。那么甲容器中剩下的纯酒精便是11-5=6升6升算作4份，这样可恰好配成53。而第二次从乙容器倒入甲容器的混合液共为13=4份，所以也应是6升。一.比的意义和性质1 比的意义   两个数相除又叫做两个数的比。   “：是比号，读作“比。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。   同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。 比的后项不能是零。 依据分数及除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值2比的性质   比的前项和后项同时乘上或者除以一样的数0除外，比值不变，这叫做比的根本性质。3 求比值和化简比   求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。   依据比的根本性质可以把比化成最简洁的整数比。它的结果必需是一个最简比，即前、后项是互质的数。  4比例尺   图上间隔 ：实际间隔 =比例尺   要求会求比例尺；图上间隔 和比例尺务实际间隔 ；实际间隔 和比例尺求图上间隔 。   线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际间隔 。  5按比例安排   在农业消费和日常生活中，经常须要把一个数量依据肯定的比来进展安排。这种安排的方法通常叫做按比例安排。   方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。  2 比例的意义和性质  1 比例的意义   表示两个比相等的式子叫做比例。   组成比例的四个数，叫做比例的项。   两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。  2比例的性质   在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的根本性质。  3解比例   依据比例的根本性质，假如比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。  3 正比例和反比例  1 成正比例的量   两种相关联的量，一种量改变，另一种量也随着改变，假如这两种量中相对应的两个数的比值也就是商肯定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。   用字母表示y/x=k(肯定  2成反比例的量   两种相关联的量，一种量改变，另一种量也随着改变，假如这两种量中相对应的两个数的积肯定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。   用字母表示x×y=k(肯定)  二 正反比例问题【含义】 两种相关联的量，一种量改变，另一种量也随着改变，假如这两种量中相对应的两个数的比的比值肯定即商肯定，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等学问的综合运用。两种相关联的量，一种量改变，另一种量也随着改变，假如这两种量中相对应的两个数的积肯定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等学问的综合运用。【数量关系】 推断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。很多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：把分率倍数转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。例1 修一条马路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条马路总长是多少米？例2 张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？关键：做题效率肯定，做题数量及做题时间成正比例关系例3 孙亮看十万个为什么这本书，每天看24页，15天看完，假如每天看36页，几天就可以看完？三 按比例安排问题【含义】 所谓按比例安排，就是把一个数依据肯定的比分成假设干份。这类题的条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是干脆给出份数。【数量关系】 从条件看，总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。 总份数比的前后项之和【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几以总份数作分母，比的前后项分别作分子，再依据求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。例1 学校把植树560棵的任务按人数安排给五年级三个班，一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？例2 用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是345。三条边的长各是多少厘米？例3 从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。例4 某工厂第一、二、三车间人数之比为81221，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人？四 列方程 例1 甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人？例2 仓库里有化肥940袋，两辆汽车4次可以运完，甲汽车每次运125袋，乙汽车每次运多少袋？智趣题学校买了4张办公桌和1把椅子，共用去510元，后又买来6张办公桌和1把椅子共用去750元。求每张办公桌和每把椅子各多少元？作业1 一台拖拉机第一天上午3小时平均每小时耕地7.8公亩，下午4小时平均每小时耕地8.1公亩，第二天用了5小时耕地38.4公亩，正好完成任务。这台拖拉机平均每天耕地多少公亩2王、张两人各带同样多的钱去商店买花布，同种的花布小王买了9米，小张买了6米。王向张借了12元，两人的钱刚好用完。这种花布每米多少元比的应用练习题1、两个一样的瓶子都装满了酒精溶液，一个瓶中酒精及水的体积比是3 ：1，另一个瓶中酒精及水的体积比是4 ：1。假如把这两个瓶中酒精溶液混合，混合溶液中酒精和水的比是           。2、五角人民币及贰角人民币的张数比为12 ：35，那么伍角及贰角的总钱数比为       。3、甲、乙、丙三个数的平均数是60。甲、乙、丙三个数的比是3 ：2 ：1。甲、乙、丙三个数各是多少？4、一个直角三角形的两个锐角度数的比是2 ：1，这两个锐角分别是多少度？5、大、小两瓶油共重2.7千克，大瓶的油用去0.2千克后，剩下的油及小瓶内油的重量比是3 ：2。求大、小瓶里各装油多少千克？6、甲、乙、丙三位同学共有图书108本，乙比甲多18本，乙及丙的图书数之比是5 ：4，求甲、乙、丙三人各有图书多少本？7、一个直角三角形的三条边总和是60厘米，三条边的比是3 ：4 ：5.这个直角三角形的面积是多少平方厘米？8、一个直角三角形的周长为36厘米，三条边的长度比是3 ：4 ：5，这个三角形的面积是多少平方厘米？9、一瓶盐水，盐和水的重量比是1 ：24，假如再放入75克水，这时盐及水的重量比是1 ：27，原来瓶内盐水重多少千克？10、盒子里有三种颜色的球，黄球个数及红球个数的比是2 ：3，红球个数及白球个数的比是4 ：5。三种颜色的球共175个，红球有多少个？11、王老师用100元去买了20支圆珠笔和10支钢笔，每支钢笔的价钱和每支圆珠笔的价钱的比是3 ：1。问买圆珠笔和钢笔各花了多少元？12、甲、乙两包糖果的重量的比是4 ：1，假如从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖果重量的比变为7 ：5。那么两包糖果重量的总和是多少？13、某小学男、女生人数之比是16 ：13，后来有几位女生转学到这所学校，男、女生人数之比变成为6 ：5，这时全体学生共有880人，问转学来的女生有多少人？14、小明读一本书，已读的和末读的页数比是1 ：5。假如再读30页，那么已读的和末读的页数之比为3 ：5。这本书共有多少页？15、运输队要运一批货物，已经运走的和剩下的比是1 ：4。假如再运走4吨，那么运走的和剩下的比为3 ：7。这批货物共多少吨？16、甲、乙、丙三人的彩球数的比例为9：4：2，甲给了丙30个彩球，乙也给了丙一些彩球，比例变为2 ：1 ：1。乙给了丙多少个彩球？溶液问题 一碗糖水中有多少糖，这就要用百分比浓度来衡量.放多少水和放多少糖能配成某一浓度的糖水，这就是配比问题.在考虑浓度和配比时，百分数的计算扮演了重要的角色，并产生形形色色的计算问题，这是小学数学应用题中的一个重要内容. 从一些根本问题开始探讨.例15 根本问题一1浓度为10，重量为80克的糖水中，参与多少克水就能得到浓度为8的糖水？2浓度为20的糖水40克，要把它变成浓度为40的糖水，需加多少克糖？解：1浓度10，含糖 80×10 8克，有水80-872克.假如要变成浓度为8，含糖8克，糖和水的总重量是8÷8100克，其中有水100-892克.还要参与水 92- 72 20克.2浓度为20，含糖40×208克，有水40- 8 32克.假如要变成浓度为40，32克水中，要加糖x克，就有x32401-40，例16 根本问题二20的食盐水及5的食盐水混合，要配成15的食盐水900克.问：20及5食盐水各须要多少克？解： 20比15多20-15， 5比15少15-5，多的含盐量20-15×20所需数量要恰好能弥补少的含盐量15-5×5所需数量.也就是画出示意图：相差的百分数之比及所需数量之比恰好是反比例关系.答：须要浓度 20的 600克，浓度 5的 300克.这一例题的方法极为重要，在解很多配比问题时都要用到.如今用这一方法来解几个配比的问题.例17 某人到商品买红、蓝两种笔，红笔定价5元，蓝笔定价9元.由于买的数量较多，商店就给打折扣.红笔按定价 85出售，蓝笔按定价 80出售.结果他付的钱就少了18.他买了蓝笔 30支，问红笔买了几支？解：相当于把两种折扣的百分数配比，成为1-1882.85%-8282%-8032.依据根本问题二，他买红、蓝两种笔的钱数之比是23.设买红笔是x支，可列出比例式5x9×3023答：红笔买了 36支.配比问题不光是溶液的浓度才有的，有百分数和比，都可能存在配比.要提请留意，例17中是钱数配比，而不是两种笔的支数配比，千万不要搞错.例18 甲种酒精纯酒精含量为72，乙种酒精纯酒精含量为58，混合后纯酒精含量为 62.假如每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25.问第一次混合时，甲、乙两种酒精各取多少升？解：利用例16的方法，原来混合时甲、乙数量之比是后一次混合，甲、乙数量之比是这及上一讲例 14是同一问题.都加15，比例变了，但两数之差却没有变.5中前、后两项都乘2，35中前、后两项都乘3，就把比的份额统一了，即答：第一次混合时，取甲酒精12升，乙酒精30升.例19 甲容器中有8的食盐水300克，乙容器中有12.5的食盐水 120克.往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器的食盐水浓度一样.问倒入多少克水？解：要使两个容器中食盐水浓度一样，两容器中食盐水重量之比，要及所含的食盐重量之比一样.甲中含盐量：乙中含盐量= 300×8120×12.5= 85.如今要使300克+倒入水120克+倒入水85.把“300克+ 倒入水算作8份，“120克+ 倒入水算作5份，每份是300-120÷8-5= 60克.倒入水量是 60×8-300 180克.答：每一容器中倒入 180克水.例20 甲容器有浓度为2的盐水 180克，乙容器中有浓度为 9的盐水假设干克，从乙取出 240克盐水倒入甲.再往乙倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度的盐水.问：1如今甲容器中食盐水浓度是多少？2再往乙容器倒入水多少克？解：1如今甲容器中盐水含盐量是180×2 240×9 25.2克.浓度是÷180 240× 100= 6.2“两个容器中有一样多同样浓度的盐水盐.因为后来倒入的是水，所以盐只在原有的盐水中.在倒出盐水 240克后，乙的浓度仍是 9，要含有 ÷9280克，还要倒入水420-280140克.答：1甲容器中盐水浓度是6；2乙容器再要倒入140克水.例21 甲、乙两种含金样品熔成合金.如甲的重量是乙的一半，得到含乙两种含金样品中含金的百分数.解：因为甲重量增加，合金中含金百分数下降，所以甲比乙含金少.用例17方法，画出如下示意图.因为甲及乙的数量之比是12，所以68-甲百分数乙百分数-6821 63.留意：6+3279.那么每段是因此乙的含金百分数是甲的含金百分数是答：甲含金 60，乙含金 72.用这种方法解题，肯定要先弄清晰，甲和乙分别在示意图线段上哪一端，也就是甲和乙哪个含金百分数大.