人教版数学八年级下册第十八章平行四边形性质与判定专题复习辅导讲义.docx

辅导讲义学员编号： 年 级： 课 时 数：学员姓名： 辅导科目： 学科老师： 授课类型T 平行四边形的概念、性质T 平行四边形的断定C中位线定理授课日期时段教学内容 一、同步学问梳理学问点1：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 表示：平行四边形用符号“”来表示如图，在四边形ABCD中，ABDC，ADBC，那么四边形ABCD是平行四边形平行四边形ABCD，记作ABCD”，读作“平行四边形ABCD”留意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角学问点2：平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的对边平行且相等（2）角：平行四边形的对角相等邻角互补（3）对角线：平行四边形的对角线相互平分 对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；二、同步题型分析题型1：平行四边形的边、角 例1：已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，AC80°，平行四边形ABCD的周长为46 cm，且ABBC3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数分析：由平行四边形的对角相等，邻角互补可求得各内角的度数；由平行四边形的对边相等，得ABBC23 cm，解方程组即可求出各边的长解：由平行四边形的对角相等，AC80°，得AC40°又DCAB，D及A为同旁内角互补，D180°A180°40°140°B140°由平行四边形对边相等，得ABCD，ADBC因周长为46 am，因此ABBC23 cm，而ABBC3 cm，得AB13 cm，BC10 cm，CD13 amAD10 cm题后反思：留意充分利用性质解题 例2：如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DEBF，你认为AECF吗？试说明理由分析：本题主要考察平行四边形的性质要证明AECF，可以把两线段分别放在两个三角形里，然后证明两三角形全等解：AECF理由：在平行四边形ABCD中， ABCD且ABCDABECDFDEBF， DEBDBFBD，即BEDF：ABECDF AECF题后反思：利用平行四边形的性质解题时，一般要用到三角形全等学问，此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等题型2：平行四边形的周长例1：如图3，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，作OEBD于O，交CD于E，连接BE，若BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（ B ） 图3A. 6 B. 12 C. 18 D. 不确定分析：本题主要考察平行四边形的性质:对角线相互平分。再由OEBD，依据垂直平分线的性质得DE=BE,BCE的周长=BE+BC+EC=CD+BC=6，平行四边形ABCD的周长就为12. 例2：在平行四边形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，且ACBD20，AOB的周长为15，则CD_ 解：因为：三角形ABO的周长为15，AB=6， 所以：AO+BO=15-6=9， 因为：四边形ABCD是平行四边形， 所以：AC=2AO，BD=2BO， 所以：AC+BD=2AO+2BO =2（AO+BO） =2×9 =18题型3：平行四边形的面积例1：如图4，ABCD，AC、BD交于点O，且OBOD已知SOBC1，求四边形ABCD的面积图4分析：要求四边形ABCD的面积，就要找到其及OBC的关系，考虑四边形ABCD是否为特别四边形，即平行四边形，而从题中条件，利用“等底等高的两三角形面积相等”，问题得解解：因为ABCD，且OBOD，据“等底等高的两三角形面积相等”可得：四边形ABCD为平行四边形利用平行四边形的性质，可得四边形ABCD的面积4SOBC4题后反思：“等底等高的两三角形面积相等”在平行四边形中也有许多不经意的好用途例2：在ABCD中，点A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分别是AB和CD的五等分点，点B1、B2、和D1、D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则ABCD的面积为( )A2 B C D15 图5分析：可以设平行四边形ABCD的面积是S，依据等分点的定义利用平行四边形ABCD的面积减去四个角上的三角形的面积，就可表示出四边形A4B2C4D2的面积，从而得到两个四边形面积的关系，即可求解解：设平行四边形ABCD的面积是S，设AB=5a，BC=3bAB边上的高是3x，BC边上的高是5y则S=5a3x=3b5y即ax=by= AA4D2及B2CC4全等，B2C= BC=b，B2C边上的高是5y=4y则AA4D2和B2CC4的面积是2by= 同理D2C4D及A4BB2的面积是解得S= 故选C题后反思：考察平行四边形的性质和三角形面积计算，正确利用等分点的定义，得到两个四边形的面积的关系是解决本题的关键 例3：已知：如图6，在YABCD中，点E在AC上，AE2EC，点F在AB上，BF2AF，若AEF的面积为2cm2，求YABCD的面积 图6解：由AEF的面积为2，先以AB为底看，设Q为BF中点，则FQE的面积=AEF的面积（底相等，高也相等），同理，QBE的面积=AEF的面积=2，则AEB的面积为6；再以AC为底看ABC，EC=AC，AE=AC，则EBC的面积=ABE的面积的一半=3，则ABC的面积=9,平行四边形ABCD的面积=18三、课堂达标检测1. 如图，YABCD中，CEAB，垂足为E，假如A115°，则BCE_2. 如图，在ABCD中，DBDC、A65°，CEBD于E，则BCE_3. 如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE4. 如图，在ABCD中，AC为对角线，BEAC，DFAC，E、F为垂足，求证：BEDF5. 如图，ADBC，AECD，BD平分ABC，求证AB=CE6. 已知：如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O及AB、CD分别相交于点E、F求证：OEOF，AE=CF，BE=DF7. 如图，YABCD中，B=60°，AB=6，则BC边上的高等于_ (第7题) (第8题)8. 如图，在YABCD中，A的平分线交BC于点E若AB=3，AD=8，则EC=_9. 如图，已知的周长为60 cm，对角线AC、BD相交于点O，AOB的周长比BOC的周长长8cm，求这个四边形各边长10. 如图，假如AOB及AOD的周长之差为8，而ABAD32，那么的周长为多少？11. 公园有一片绿地，它的形态是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB15cm，AD12cm，ACBC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积12. 已知：如图，在ABCD中，从顶点D向AB作垂线，垂足为E，且E是AB的中点，已知ABCD的周长为8.6cm，ABD的周长为6cm，求AB、BC的长13.已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AE=CG，BF=DH。求证：AEHCGF。【实力提升】1 如图，在中EF分别是AD、 CD 边上的点，连接BE 、AF,他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H,则图中的全等三角形有 （ ）A、2对 B、3对 C、4对 D、5对2在ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF=（ ）A1：2B1：3 C2：3D2：53.如图,在ABCD中，AB=3，AD=4，ABC=60°，过BC的中点E作EFAB，垂足为点F，及DC的延长线相交于点H，则DEF的面积是 . 4一题多变，培育应变实力已知：如图1，ABCD的对角线AC、BD交于点O， EF过点O及AB、CD分别交于点E、F 求证：OE=OF （图1） （图2） （图3） （图4）变式1在图1中，连结哪些线段可以构成新的平行四边形？为什么？（图2、图3）变式2在图1中，假如过点O再作GH，分别交AD、BC于G、H（如图4），你又能得到哪些新的平行四边形？为什么？5. 如图12-57，在ABC中，点M，N在AB上，AM=BN，MEBC交AC于E，MGAC交BC于G，NHAC交BC于H,求证：AC=NH+MG。6.如图，ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边ADE。（1）求证：ACDCBF；（2）当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且DEF=30°？证明你的结论。 一、同步学问梳理 学问点3：平行四边的断定：（1）（2）角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）对角线：对角形相互平行的四边形是平行四边形二、同步题型分析 题型1：平行四边形的断定例1：如图7所示，在平行四边形ABCD中，EFAB，HGAD，EF及GH相交于点O，则该图中平行四边形的个数共有（ ）图7 A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 11个解析：本题主要考察平行四边形的定义两条平行线把平行四边形ABCD分成8个（不含原来）四边形，看这些四边形是否都符合平行四边形的定义， EFAB，HGAD，它们的各边都平行即有ABCD，DEOH，HOFC，AGOE，GOFB，AGHD，GBCH，ABFE，EFCD答案C题后反思：先分清图中共有哪些四边形，然后依据定义去推断例2：如图8，已知六边形ABCDEF的每一个内角都是120°且ABl，DE2，BCCD8，求这个六边形的周长图8分析：要求其周长，只要求出AF及EF的和即可如何求？考虑到特别角，结合三角形学问，可将六边形化归为平行四边形来解解：如图5，延长FA、CB相交于点G，延长CD、FE相交于点H，由已知，ABG和DEH都是等边三角形所以GH60°因为CF120°，则四边形CGFH为平行四边形， GFFHCHCGCDDHCBBG CDBCDEAB81211 所以AFFE11128 则该六边形的周长为：881219题后反思：解题关键是作协助线，将不规则的六边形变成平行四边形题型2：平行四边形的性质、断定例1：已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF 图9 证明：因为ABCD是平行四边形， 所以 AD/BC，AD=BC， 因为 E，F分别是AD，BC的中点， 所以 ED=AD/2，BF=BC/2， 因为 AD=BC， 所以 ED=BF， 因为 AD/BC，ED=BF， 所以 四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 所以 BE=DF，且BE/DF。例2：已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BEAC于E，DFAC于F求证：四边形BEDF是平行四边形 图10 证明：BEAC，DFACBE/DF BEA=DFC=90º.A四边形ABCD是平行四边形AB=CD.S AB/CDBAE=DCF.ABAEDCF（AAS）BE=DF四边形BEDF是平行四边形【对边平行且相等】例3：如图11，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，当E、F满意下列哪个条件时，四边形DEBF不肯定是平行四边形 （ ）A. AECF B. DEBFC. ADECBF D. AEDCFB图11解析：由AECF，OAOC，得OEOFODOB，四边形DEBF是平行四边形；由ADECBF，或AEDCFB，都能推出ADECBF，AECF四边形DEBF是平行四边形答案：B题后反思：本题所用方法叫“解除法”在做选择题时常常用到，要留意总结二、课堂检测达标1如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=_ _cm，CD=_ _cm时，四边形ABCD为平行四边形；（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=_ _cm，DO=_ _cm时，四边形ABCD为平行四边形2在下列给出的条件中，能断定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）（A）ABCD，AD=BC （B）A=B，C=D （C）AB=CD，AD=BC （D）AB=AD，CB=CD3下列条件中能推断四边形是平行四边形的是（ ）（A）对角线相互垂直 （B）对角线相等 （C）对角线相互垂直且相等 （D）对角线相互平分4推断题：(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形； ( )(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ( )(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ( )(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ( )(5)对角线相等的四边形是平行四边形； ( )(6)对角线相互平分的四边形是平行四边形 ( )6如图12-1-23，在ABCD的对角线上取两点E、F，且BFDE，请至少用两种不同的方法证明四边形AECF是平行四边形.7已知：如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DFBE，EF交BD于点O求证：EO=OF8已知：如图，ABC，BD平分ABC，DEBC，EFBC， 求证：BE=CF9在ABCD中，O是对角线的交点。直线EF、MN都经过点O 求证：MENF【实力提升】1如图：由火柴棒拼出的一列图形，第n个图形由（n+1）个等边三角形拼成，通过视察，分析发觉：第4个图形中平行四边形的个数为 第8个图形中平行四边形的个数为 2下列图形都是由同样大小的平行四边形按肯定的规律组成，其中，第个图形中一共有1个平行四边形，第个图形中一共有5个平行四边形，第个图形中一共有11个平行四边形，则第个图形中平行四边形的个数为（ C ） A55 B 42 C 41 D 293如图所示，在四边形ABCD中，DCAB，以AD，AC为边作ACED，延长DC交EB于F，求证：EF=FB4如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，在AB的延长线上截取BE=AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M求证：CD=CM5如图，中，、分别在、上，及交于点，及交于点，猜测及间的关系，并证明你的猜测。 学问点4：三角形中位线定义及定理：（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线；（2）定理：三角形中位线平行且等于第三边的一半推论：经过三角形一边中点，且平行于另一边的直线，必经过第三边中点一、专题精讲 例1：如 图，点D、E、分别为ABC边AB、AC的中点，求证：DEBC且DE=BC 分析：延长DE至点F,使EF=DE，连接CF，证明ADECFE，得到AD=CF，DE=FE，因为点D为AB的中点，得到四边形DBCF是平行四边形，再由平行四边形的性质即可得证。证明：过C作CF/AB，交DE的延长线于F因为CF/AB所以A=ECF，ADE=F因为点E为AC的中点所以AE=CE所以ADECFE所以AD=CF，DE=FE因为点D为AB的中点所以AD=DB又CF/AB，即CF/DB所以四边形DBCF是平行四边形所以DF/BC，DF=BC又DE=FE，DE+FE=DF所以DE/BC，DE= BC例2：已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形分析:首先连接AC，BD，由三角形中位线的性质，可断定EHFG，GHEF，继而可证得四边形EFGH是平行四边形证明：连接AC，BD，四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，EHBD，FGBD，EHFG，同理：GHEF，四边形EFGH是平行四边形例3：如图DE是ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，求AG：GD 分析：过E作EMAB及GC交于点M，构造全等三角形把DG转移到和AG有关的中位线处，可得所求线段的比解：过E作EMAB及GC交于点M，EMFDGF，EM=GD，DE是中位线，CE= AC，又EMAG，CMECGA，EM：AG=CE：AC=1：2，又EM=GD，AG：GD=2：1二、专题过关1三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_cm2在RtABC中，C=90°，AC=5，BC=12，则连结两条直角边中点的线段长为_3如图1所示，EF是ABC的中位线，若BC=8cm，则EF=_cm (1) (2) (3) (4)4如图2所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的间隔 ，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以干脆到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间的间隔 为（ ） A15m B25m C30m D20m5如图3所示，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C挪动而点R不动时， 那么下列结论成立的是（ ） A线段EF的长渐渐增大 B线段EF的长渐渐削减 C线段EF的长不变 D线段EF的长不能确定6如图4,在ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是（ ） A10 B20 C30 D407 如图所示，已知E为ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，求证：AB=2OF8 如图所示，已知在ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：MNBC9.如图所示，在ABC中，点D在BC上且CD=CA，CF平分ACB，AE=EB，求证：EF=BD10.如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，求证：OEBC11.如图，CDA=BAD=90°，AB=2CD，M，N分别为AD，BC的中点，连MN交AC、BD于点E、F，若ME=4，求EF的长度11如图所示，在ABCD中，EFAB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF交于点M，连接CF，DE交于点N，求证：MNAD且MN=AD12.已知：如图，在ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC及BE交于G求证：GFGC13.已知：如图，ABC中，D是BC边的中点，AE平分BAC，BEAE于E点，若AB5，AC7，求ED【实力提升】1已知ABC的周长为1，连结ABC的三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） 、 B、 C、 D、2如图，小红作出了边长为1的第1个正A1B1C1，算出了正A1B1C1的面积，然后分别取A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，作出了第2个正A2B2C2，算出了正A2B2C2的面积，用同样的方法，作出了第3个正A3B3C3，算出了正A3B3C3的面积，由此可得，第8个正A8B8C8的面积是（ ）A B C D3如图所示，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，假如测得MN=20m，那么A，B两点间的间隔 是多少？4.如图，AD是ABC的中线，EF为ABC的中位线。求证：EF和AD相互平分。5如图所示，在ABC中，E为AB的中点，CD平分ACB，ADCD于点D试说明：（1）DEBC（2）DE=（BC-AC）6如图所示，在ABC中，BAC=90°，ADBC于D，BE平分ABC交AD于E，EFBC交AC于F，那么AE及CF相等吗？请验证你的结论三、学法提炼1、专题特点：三角形中位线性质及应用2、解题方法：（1）转化思想（又叫化归思想）四边形问题转化为三角形问题来处理（2）方程思想：在干脆求平行四边形等的角或线段长等未知量有困难时，可通过设未知数用方程思想来求解。（3）归纳探究思想：对于由给定条件寻求结论的这类探究性问题，一般是从给的条件动身，探究归纳猜测出结论，然后对猜测的结论进展证明。3、留意事项 ：正确理解和应用三角形中位线的性质 课后作业一、选择题1若平行四边形ABCD的周长是40cm，ABC的周长是27cm，则AC的长为( )A13cm B3cm C7cm D11.5 cm2依据下列条件，不能断定四边形是平行四边形的是( ) A一组对边平行且相等的四边形 B两组对边分别相等的四边形 C对角线相等的四边形 D对角线相互平分的四边形 3已知平行四边形周长为28cm，相邻两边的差是4cm ，则两边的长分别为( )A4cm、10cm B5cm、9cm C6cm、8cm D5cm、7cm 4若A、B、C三点不在同一条直线上，则以其为顶点的平行四边形共有( )个A1 B2 C3 D4 5可以断定四边形是平行四边形的条件是( )A一组对角相等 B两条对角线相互垂直C两条对角线相互平分 D一条邻角互补 6已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中能分别作它的两条对角线长的是( )A10及6 B12及16 C20及22 D10及18 7已知下列三个命题两组对角分别相等的四边形是平行四边形一个角及相邻两角都互补的四边形是平行四边形一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形其中错误的命题的个数是( )A0个 B1个 C2个 D3个8平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC = 10，BD = 8，则AD的取值范围是( ) AAD1 B AD9 C1AD9 DAD9二、填空题9一个平行四边形的周长为40，两邻边的比为35，则四边形的四条边长分别为_10一个平行四边形的一个内角比它的邻角大，则这个四边形的四个内角分别是_11在平行四边形ABCD中，EF过对角线交点O，交CD、AB于E、F，若AB = 4cm，AD = 3cm，OF = 1.3cm，则四边形BCEF周长为_12已知平行四边形的面积是144，相邻两边上的高分别为8和9，则它的周长为_13在平行四边形ABCD中，对角线BD = 7cm，DBC =，BC = 5cm，则平行四边形ABCD的面积为_ 14从平行四边形的一锐角顶点引另两条边的垂线，两垂线夹角，则此四边形的四个角分别为_ 三、解答题：15平行四边形周长等于68cm，被两条对角线分成两个不同的三角形的周长和等于80cm，两对角线的长度之比是23，求两条对角线的长度16如图，AD、BC垂直相交于点O，ABCD，又BC = 8，AD = 6，求：ABCD的长DCOBA 17已知如图12-1-21所示，在ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF，M、N是AB、CD上的点，且BMDN.求证：四边形MENF是平行四边形18如图,在平行四边形ABCD中,已知点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，EBFCAD试说明四边形AFCE是平行四边形. 19如图所示，在ABCD中，AM=CN，试说明四边形MBND是平行四边形AEFBCD20已知如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD,BC=AD,E、F是对角线AC上两点，且AE=CF.求证：BE=DF21.如图，在ABCD中，E、F、G、H各点分别在AB、BC、CD、DA上，且AE=BF=CG=DH，请说明：EG及FH相互平分22.如图所示，四边形中，分别是的中点， 试说明23.已知如图所示，在ABCD中，求证：四边形是平行四边形24.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在AB的延长线上截取BE=AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M求证：CD=CM 四、中考链接1、（长沙）如下左图所示，在四边形ABCD中，ABCD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是_（添加一个即可） 2、（呼和浩特）如上右图所示，已知E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，则S四边形EFGH：S四边形ABCD的值是_