天津市第一中学20172018学年高二下学期期末考试数学理试题含答案.docx

天津一中 2019-2018-2 高二年级数学学科期末质量调查试卷（理科）本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两局部，共 100 分，考试用时90 分钟。第 I 卷至页，第 II 卷至页。考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定 位置上，答在试卷上的无效。祝各位考生考试顺当! 一选择题：（每小题 3 分，共 30 分）x1设集合 A = x -1 < x < 2 ， B = í x 1 < ç 1 ÷< 1ý ，则 A I B = （）ïî8è 2 øþïA (0, 3)B (1, 3)C (0, 2)D (1, +¥)2命题“假如 x ³ a 2 + b2 ，那么 x ³ 2ab ”的逆否命题是（）A假如x < a 2 + b2，那么x < 2abB假如x ³ 2ab，那么x ³ a 2 - b2C假如 x < 2ab ，那么 x < a 2 + b2D假如 x ³ a 2 - b2 ，那么 x < 2ab3位于坐标原点的一个质点 P 按下列规则挪动：质点每次挪动一个单位，挪动的方向为1向上或向右，并且向上和向右挪动的概率都为是（），质点 P 挪动 5 次后位于（2，3）的概率21 3AB4 45 7CD16 164若 f ( x) 在 R 上可导, f ( x) = x 2 + 2 f ' (2) x + 3 , 则 f ¢(1) =（）A - 6B 6C 4 D - 45设6 2 6(2 - x)= a0 + a1 x + a2 x+ L + a6 x，则 | a1 | + | a2 | + × × × + | a6 | 的值是（）A665B729C728D636如图，由曲线 y = x 2 - 1 ，直线 x = 0, x = 2 和 x 轴围成的封闭图 形的面积是（） A12B34C3D 27若 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x < 0 时， f ( x) + xf ' ( x) < 0 ，且 f (-4) = 0 ，则 不等式 xf ( x) > 0 的解集为（）A(4,0)(4，)B(4,0)(0,4) C(，4)(4，)D(，4)(0,4)8如图为我国数学家赵爽（约 3 世纪初）在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，如今供应 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只 涂一种颜色，相邻区域颜色不一样，则不同的涂色方案共有（）种. A120B260C340D420（8 题图）9. 已知函数 f ( x) = - x 3 - 7 x + sin x ，若 f (a 2 ) + f (a - 2) > 0 ，则实数 a 的取值范围是A B C Dìx 2 + x, (-2 £ x £ -1)10已知函数 f ( x) = íîln(x + 2), (-1 < x £ 2)，若 g ( x) =f ( x) - a( x + 2) 的图像与 x 轴有 3 个不同的交点，则实数 a 的取值范围是（）A (0, 1 )B (0, 1 )C ln 2 , 1 )D 2 ln 2 , 1 )e - 1 3e2 e 3 3e二填空题：（每小题 4 分，共 24 分）11已知复数 z 满意 1 + i = 2i3 + 2i 4 ，其中 i 为虚数单位，则复数 z = z12若函数 y = x 3 - 3 x 2 + a 在1,1上有最大值 3，则该函数在1,1上的最小值是2ìïlg x, x > 0813设 f ( x) = í bï x + òt 2 dt, x £ 0，若 f ( f (1) = ，则常数 b = 3î 014 已知函数 f ( x) = ax 2 + bx(a > 0, b > 0) 的图象在点 (1, f (1) 处的切线的斜率为 2，8a + b则的最小值为 ab15已知函数 f ( x) =mx - 1+ ln x 在 e, +¥) 上存在极值点，则实数 m 的取值范围为16已知函数 f ( x) = ( x + 1)e x - 2 x - a, 若 f ( x) < 0 有且只有一个整数解，则 a 的取值范 围为 三、解答题：（共 4 题，共 46 分）17一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是，3 张卡片上的 数字是 2,2 张卡片上的数字是 3,从盒中任取 3 张卡片。（1）求所取 3 张卡片上的数字完全一样的概率；（2）设 X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列与数学期望。（注：若三个数 a, b, c 满意 a £ b £ c, 则称 b 为这三个数的中位数）182017 年 8 月 20 日起，市交警支队全面启动路口秩序环境综合治理，重点整治机动车不礼让斑马线和行人的行为，经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了 20 个路 口近三个月的车辆违章数据，经统计得如图所示的频率分布直方图，统计数据中凡违章车 次超过 30 次的设为“重点关注路口”.（1）现从“重点关注路口”中随机抽取两个路口支配交警去执勤，求抽出来的路口的违 章车次一个在，一个在中的概率；（2）现从支队派遣 5 位交警，每人选择一个路口执勤，每个路口至多 1 人，违章车次在 的路口必需有交警去，违章车次在的不须要交警过去，设去“重点关注路口”的交警人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望.19已知点 (2, 3) 在椭圆 x2y 2= 1(a > b > 0) 上，设 A ， B ， C 分别为椭圆的左顶点，a2b2上顶点，下顶点，且点 C 到直线 AB 的间隔 为 4 7 b .7（1）求椭圆的方程；（2）设 O 为坐标原点， M ( x1 , y1 ) ， N ( x2 , y2 )( x1 ¹ x2 ) 为椭圆上两点，且a2 x x+ b2 y yOM × ON =是，说明理由.1 21 2 ，试问 DMON 的面积是否为定值，若是，求出定值；若不a2 + b2120已知 f ( x) = ln x + + 1 ， g ( x) = x +x1 ( x > 0) .x（1）求 f ( x) 的极值；（2） 函数 h( x) =f ( x) - ag ( x) 有两个极值点 x1 ， x2 ( x1 < x2 ) ，若 h( x1 ) < m 恒成立，求实数 m 的取值范围.参考答案一选择题：（每小题 3 分，共 30 分）1C2C3C4A5A6D7D8D9A10C二填空题：（每小题 4 分，共 24 分）i11 2161 < a £ 2112 213214915m ³ e + 1 - 2e三、解答题：（共 4 题，共 46 分）17解：5（1）84（2）X123PEX = 47281743142841218解：（1）依据频率分布直方图，违章车次在的路口有， 在中的路口有， 设抽出来的路口违章车次一个在，一个在的事务为， 则（2）由题知随机变量可取值 2，3，4，5，19解：x2y 2（1）+= 11612（2） x1 ¹ x2 知直线 MN 的斜率存在，设直线 MN 的方程为 y = kx + m(m ¹ 0) ，x2y 2代入+= 1，并整理得 (3 + 4k 2 ) x2 + 8kmx + 4m2 - 48 = 0 .1612 D= 64k 2 m2 -16(3 + 4k 2 )(m2 - 12) = 48(12 + 16k 2 - m2 ) > 0 ，12 + 16k 2 - m2 > 0 ，x + x = -8km， x x = 4(m- 12) 1 23 + 4k 21 23 + 4k 2223m 2 - 48k 2 y1 y2 = (kx1 + m)(kx2 + m) = k x1 x2 + km( x1 + x2 ) + m =又 OM × ON = x1 x2 + y1 y2 ，3 + 4k 2a2 x x+ b2 y y16 x x+ 12 y y x1 x2 + y1 y2 =1 21 2 =a2 + b21 2 1 2 ，16 + 12整理得 m2 = 6 + 8k 2 （满意 D> 0 ），222MN =1 + k× x1 - x2 =221 + k ×( x1 + x2 )2- 4x1 x2= 1 + k 2 ×48(2m - m )æ m2 ö= 8 3 ´ 1 + k .mç 2 ÷又点 O 到直线 MN 的间隔 d =m1 + k 2111 + k 2m S= ´ MN ´ d =´ 8 3 ´´= 4 3 ，DMON 22m1 + k 2 DMON 的面积为定值 4 3 .20解：（1）域为 (0, +¥) ， f '( x) = 1 - 1= x - 1 ，xx2 x2令 f '( x) = 0 ，得 x = 1 ，当 x Î (0,1) 时， f '( x) < 0 ， f ( x) 单调递减，当 x Î (1, +¥) 时，f '( x) > 0 ， f ( x) 单调递增，所以 f ( x) 在 x = 1 处获得微小值，且微小值 f (1) = 2 ，无极大值.（2） h( x) =f ( x) - ag ( x) = ln x + 1 + 1 - ax - a ，其定义域为 (0, +¥) ，xxh '( x) = 1 - 1 a -ax 2 + x + a -1( x -1)(ax + a -1)- a + = -，则xx2 x2 x2x2当 a = 0 时， h '( x) = 0 仅有一解 x = 1 ，不合题意.当 a ¹ 0 时，令 h '( x) = 0 得 x = 1 或 x = 1 - a .a由题意得，1 - aa> 0 ，且1 - aa¹ 1 ，所以 a Î (0, 1 ) U ( 1 ,1) ，22此时 h( x) 的两个极值点分别为 x = 1 ， x = 1 - a .a1当 a Î (0, ) 时，21 - aa> 1 ，所以 x = 1 ， x = 1 - a ，12 ah( x1 ) = h(1) = 2 - 2a ，而 2 - 2a Î (1, 2) ，又 h( x1 ) < m 恒成立，则 m ³ 2 .1当 a Î ( ,1) 时，21 - aa< 1 ，所以 x = 1 - a ， x = 1 ，1 a2h( x ) = h 1 - a ) = ln 1 - a + 2a .1 ( aa1 - a-2a2 + 2a -12(a - 1 )2 + 122设 j (a) = lna+ 2a ，则 j '(a) =a(1 - a)= -< 0 ，a(1 - a)所以 j (a) 在 ( 1 ,1) 上为减函数， j (a) < j ( 1 ) = 1 ，22所以 h( x1 ) < 1，又 h( x1 ) < m 恒成立，则 m ³ 1.综上所述，实数 m 的取值范围为 2, +¥) .