新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结练习1.docx

第二章：实数 学问梳理【无理数】1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必需满意“无限”以及“不循环”这两个条件。2. 常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）特殊构造的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01（两个1之间依次多1个0）等。（3）无理数及有理数的和差结果都是无理数。如：2-是无理数（4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2,（5）开方开不尽的数，如:等；应当要留意的是：带根号的数不肯定是无理数，如：等；无理数也不肯定带根号，如：）3.有理数及无理数的区分：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）全部的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。例：（1）下列各数：3.141、0.33333、0.33（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有；是无理数的有。（填序号）（2）有五个数:0.125125,0.1010010001,-,其中无理数有 ( )个【算术平方根】：1. 定义：假如一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。例如32=9，那么9的算术平方根是3，即。特殊规地，0的算术平方根是0，即，负数没有算术平方根2.算术平方根具有双重非负性：（1）若 有意义，则被开方数a是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。3.算术平方根及平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它及它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：。例：（1）下列说法正确的是 （ ）A1的立方根是； B；（C）、的平方根是； （ D）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）A、 B、 C、 D、（3）的算术平方根是 。（4）若有意义，则_。（5）已知ABC的三边分别是且满意，求c的取值范围。（6）（进步题）假如x、y分别是4的整数局部和小数局部。求x y的值.平方根：1.定义：假如一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根；，我们称x是a的平方（也叫二次方根），记做：2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，它是0本身； （3）负数没有平方根例（1）若的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （2）当x 时，有意义。（3）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？3. （1）（2）中，a可以取随意实数。如例：1.求下列各式的值（1） （2） （3）2.已知，那么a的取值范围是 。3.已知2x3,化简 。【立方根】1.定义：一般地，假如以个数x的立方等于a，即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）记为，读作，3次根号a。如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1，-1.例：（1）64的立方根是           （2）若，则b等于           （3）下列说法中：都是27的立方根，的立方根是2，。其中正确的有 （ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个【估算】 用估算法确定无理数的大小：对于带根号的无理数的近似值得确定，可以通过平方运算或立方运算并采纳“夹逼法”，即两边无限靠近，逐级夹逼来完成。首先确定其整数局部的范围，再确定非常位，百分位等小数局部。“准确到”及“误差小于”的区分：准确到1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m，答案在其值左右1m内都符合题意，答案不唯一。方法点拨：解决此类问题的关键是根据平方根（立方根）及开平方（开立方）的定义，进而实行两边夹逼的方法求解。例：估算下列各数的大小（1） （2） （3） 用估算的方法比拟数的大小用估算法比拟两个数的大小，一般至少有一个是无理数，且在比拟大小时，一般先采纳分析法，估算出无理数的大致范围，再作详细比拟当比拟两个带根号的无理数的大小时可用如下结论： （1）若ab0,则 （2）若ab，则 （3）若a、b都为正数，且ab时，则a2b2例：通过估算比拟下列各组数的大小比拟两个数的大小： 方法一：估算法。如34 方法二：作差法。如ab则a-b0.方法三：乘方法.如比拟的大小。例：比拟下列两数的大小（1） （2）【实数】定义：（1）有理数及无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；肯定值最小的实数是0，最大的负整数是-1。（2）实数也可以分为正实数、0负实数。实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a0）；实数a的肯定值|a|=，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的间隔 。实数的大小比拟法则：实数的大小比拟的法则跟有理数的大小比拟法则一样：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，肯定值大的就大，两个负数，肯定值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比拟它们的平方或者立方的大小。实数的运算：在实数范围内，可以进展加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算依次及有理数的一实数及数轴的关系：每个实数及数轴上的点是一一对应的（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。（2）数轴上的每个点都表示已个实数。例：（1）下列说法正确的是（ ）；A、任何有理数均可用分数形式表示 ； B、数轴上的点及有理数一一对应 ；C、1和2之间的无理数只有 ； D、不带根号的数都是有理数。（2）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )b0aA、 B、 C、 D、（3）比拟大小(填“>”或“<”).3 ， ， ， ，（4）数 的大小关系是 ( ) A. B. C. D. （5）将下列各数：，用“”连接起来；_。（6）若，且，则：= 。【二次根式】定义：形如的式子叫做二次根式，a叫做被开方数留意：（1）从形式上看二次根式必需有二次根号“”，如是二次根式，而=3,3明显就不是二次根式。（2）被开方数a可以是数，也可以是代数式。若a是数，则这个数必需是非负数；若a是代数式，则这个代数式的取值必需是非负数，否则没有意义。例：下列根式是否为二次根式 （1） （2） （3） （4）二次根式的性质： 性质1： 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这特性质也可以对二次根式进展化简。性质2： 商的算术平方根等于被除数的算术平方铲除以除数的算术平方根。最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。例：1.化简：（1） （2） （3）2.计算： 3.已知：，求代数式的值。6.（进步题）视察下列等式：答复问题： ，（1）根据上面三个等式的信息，请猜测的结果；（2）请根据上式反响的规律，试写出用n表示的等式，并加以验证。课后练习一、重点考察题型：1.1的相反数的倒数是2.已知a+3|+0，则实数（a+b）的相反数3.数314及的大小关系是4.和数轴上的点成一一对应关系的是5.和数轴上表示数3的点A间隔 等于25的B所表示的数是6.在实数中,0, ,314, 无理数有个7一个数的肯定值等于这个数的相反数，这样的数是（）（A）非负数（B）非正数（C）负数（D）正数8若x3，则x3= 。9下列说法正确是（）（A） 有理数都是实数 （B）实数都是有理数（B） 带根号的数都是无理数（D）无理数都是开方开不尽的数10实数在数轴上的对应点的位置如图，比拟下列每组数的大小：（1） c-b和d-a （2） bc和ad 二、考点训练：*1推断题：（1）假如a为实数，那么a肯定是负数；（）（2）对于任何实数a及b,|ab|=|ba|恒成立；（）（3）两个无理数之和肯定是无理数；（）（4）两个无理数之积不肯定是无理数；（）（5）任何有理数都有倒数；（）（6）最小的负数是1；（）（7）a的相反数的肯定值是它本身；（）（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，则ab=1；（）2把下列各数分别填入相应的集合里|3|，213，1234，,0，, , ()0，32，ctg45°,1.2121121112中 无理数集合 负分数集合 整数集合 非负数集合 *3已知1<x<2，则|x3|+= 。4下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？3, 1， 3， 03， 31， 1 +， 3互为相反数： 互为倒数： 互为负倒数： *5已知、是实数，且（X）2和2互为相反数，求，y的值6.,b互为相反数，c,d互为倒数，m的肯定值是2，求+4m-3cd= 。*7已知0，求= 。三、解题指导：1下列语句正确的是（）A、无尽小数都是无理数 B、无理数都是无尽小数C、带拫号的数都是无理数 D、不带拫号的数肯定不是无理数。2和数轴上的点一一对应的数是（）A、整数 B、有理数 C、无理数D、实数2 零是（）A、最小的有理数 B、肯定值最小的实数C、最小的自然数 D、最小的整数4.假如a是实数，下列四种说法：（1）2和都是正数，（2），那么肯定是负数，（3）的倒数是，（4）和的两个分别在原点的两侧，几个是正确的有 个*5比拟下列各组数的大小： (1) (2)a<b<0时, 6若a,b满意=0,则的值是 *7实数a,b,c在数轴上的对应点如图，其中O是原点，且|a|=|c|（1） 断定a+b,a+c,c-b的符号（2） 化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8数轴上点A表示数1，若AB3，则点B所表示的数为 9已知x<0,y>0，且y<|x|，用"<"连结x，x，|y|，y。10最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、肯定值最小的实数各是什么？11肯定值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？12把下列语句译成式子：（1）a是负数 ；（2）a、b两数异号 ；（3）a、b互为相反数；（4）a、b互为倒数；(5)x及y的平方和是非负数；（6）c、d两数中至少有一个为零 ；（7）a、b两数均不为0。*13.数轴上作出表示，的点。四独立训练：10的相反数是，3的相反数是， 的相反数是；的肯定值是，0的肯定值是，的倒数是2数轴上表示32的点它分开原点的间隔 是。A表示的数是，且AB，则点B表示的数是。3,(1)º,01313,2cos60º, 31 ,1101001000 (两1之间依次多一个0),其中无理数有 ，整数有 ，负数有 。4. 若a的相反数是27，则a| ；5若|a|，则a= 5若实数x，y满意等式（x3）24y0，则xy的值是 6实数可分为（） A、正数和零 B、有理数和无理数 C、负数和零 D、正数和负数*7若2a及1a互为相反数，则a等于a= 8当a为实数时，=a在数轴上对应的点在（）A、原点右侧 B、原点左侧 C、原点或原点的右侧 D、原点或原点左侧*9代数式的全部可能的值有 个。10已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图（1）比拟ab及a+b的大小（2）化简|ba|+|a+b|11实数、在数轴上的对应点如图所示，其中试化简：2*12已知等腰三角形一边长为，一边长，且（2）2920 。求它的周长。13若3，5为三角形三边，化简：