新北师大版七年级数学下导学案第三章变量之间的关系知识点.docx

第三章 变量之间的关系【学问点一】用表格表示变量之间的关系（一）理解变量和常量1、 我们生活的世界里有很多量，有些是改变的，有些是不变的，数值不变的量，我们称之为 ，数值发生改变的量，我们称之为 。请找出下列哪些量是变量，哪些是变量？ 1） 圆柱的高h为10厘米，当圆柱的底面半径r由小到大改变时，圆柱的体积V也发生了改变，在这个改变过程中 是变量， 是常量。2） 圆的周长C随着半径R的改变而改变，圆的周长公式是 ，其中 是变量， 是常量。（二）理解自变量和因变量1、 在某一改变过程中，一般有两个变量，一个是在肯定范围内主动发生改变的，称之为 ，另一个是随着 量的改变而改变的，称之为 。请你找出下列哪些量是自变量，那些量是因变量？1） 圆柱的高h为10厘米，当圆柱的底面半径r由小到大改变时，圆柱的体积V也发生了改变，在这个改变过程中 是自变量， 是因变量。2） 骆驼被称为“沙漠之舟”，时间的改变会引起它体温的改变，在这一改变过程中， 是自变量， 是因变量。3） 你给远在外地的叔叔打 ， 费随时间的改变而改变，在这一改变过程中， 是自变量， 是因变量。4）某水果店橘子的售价为2.5元/千克，买a千克橘子共用去S元钱； 答： 是常量，a与S是 ，其中a是 ，S是 。5）小军以240米/分的速度在操场上练习长跑，t分钟内奔跑的路程为s米。6）科学探讨说明，一个年龄在1050岁的人，每天所须要的睡眠时间H（h）可用公式表示为H=（110-N）/10，其中N代表这个人的年龄；（三）用表格表示变量之间的关系，并对改变趋势进展初步预料1、 用表格可以表示因变量与自变量的一组对应值，这种表示变量之间关系的方法叫做表格法。下表是某河受暴雨的攻击，某天此河水的水位记录如下表：时间/h04812162024水位/m2345678（1） 上表反映的是哪两个变量之间的关系？自变量是什么？因变量是什么？（2） 假如用t表示时间，h表示水位，随着t的渐渐增大，h的改变趋势是什么？（3） t每增加4h，h的改变状况一样吗？（4） 请你估计一下28h时，河水水位是多少？规律总结：表示两个变量之间关系的表格，一般第一行表示 ，第二行表示 ，从表格中可以发觉 随 改变存在肯定规律或者增加或者削减或者呈现规律性的起伏改变，从而利用改变趋势对结果作出预料。（四）综合练习1、一名同学用弹簧做试验，在弹簧上挂不同质量的物体时弹簧的长度就会发生改变，但所挂物体质量不能超过1000g，试验数据如下：物体质量/g100200300400弹簧长度/cm111213141) 你能指出在这个试验中什么是自变量，什么是因变量吗？2) 你能否预料所挂物体的质量为800g时，弹簧的长度是多少？弹簧的长度为15cm时，所挂物体的质量是多少？3) 不挂物体时，弹簧的长度是多少？在弹性限度内弹簧的最大长度是多少？2、王波学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间他们得到如下数据：支撑物高度 / 厘米102030405060708090100小车下滑时间 / 秒4.233.002.452.131.891.711.591.501.411.35（1）支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是多少？（2）假如用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h渐渐变大，t的改变趋势是什么？（3）h每增加10厘米，t的改变状况一样吗？（4）估计当h=110时，t的值是多少，你是怎样估计的？变式：一辆小汽车在高速马路上从静止到启动10秒后的速度经测量如下表：时间（秒）012345678910速度（米/秒）00.31.32.84.97.611.014.118.424.228.9（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）假如用t表示时间，v表示速度，那么随着t的改变，v的改变趋势是什么？（3）当t每增加1秒时，v的改变状况一样吗？在哪1秒钟内，v的增加最大？（4）若高速马路上小汽车行驶速度的上限为120千米/时，试估计大约还需几秒这辆小汽车速度就将到达这个上限？（五）拓展：1、如图，是一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层；第二层每边两个点；第三层每边有三个点，依此类推：（1）填写下表：层数 1 2 3 4 5 6 该层的点数全部层的点数（2）每层点数是如何随层数的改变而改变的？全部层的总点数是如何随层数的改变而改变的？（3）此题中的自变量和因变量分别是什么？（4） 写出第n层所对应的点数，以及n层的六边形点阵的总点数；（5） 假如某一层的点数是96，它是第几层？（6）有没有一层，它的点数是100？为什么？2、下表是明明商行某商品的销售状况，该商品原价为560元，随着不同幅度的降价（单位：元），日销量（单位：件）发生相应改变如下表：降价（元）5101520253035日销量（件）780810840870900930960（1） 上表反映了哪两个变量之间的关系？其中那个是自变量，哪个是因变量？（2） 每降价5元，日销量增加多少件？请你估计降价之前的日销量是多少？（3）假如售价为500元时，日销量为多少？【学问点二】用关系式表示的变量间关系（一）用关系式表示两个变量之间的关系1、如图，ABC底边BC上的高是6厘米。当三角形的顶点C沿底边BC所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了改变。(1) 这个改变过程中，自变量、因变量各是什么？(2)假如三角形的底边长为 x（厘米），那么三角形的面积 y（厘米2）可以表示为 _。(3) 当底边长从12厘米改变到3厘米时，三角形的面积从_平方厘米改变到_平方厘米.3、如图4所示，圆锥的高是4厘米，当圆锥的底面半径由小到大改变时，圆锥体积也随之而发生了改变。(1)在这个改变过程中，自变量是_，因变量是_。(2)假如圆锥底面半径为r（厘米），那么圆锥的体积V（厘米3）与 r 的关系式是_。(3)当底面半径由1 厘米改变到10厘米时，圆锥的体积由_厘米3改变到_厘米3。4、某校办工厂2012年的年产值是15万元，安排今后每年年产值增加2万元。1）在这个改变过程中，自变量、因变量各是什么？2） 假如经过的年数用x（年）表示，年产值用y（万元），那么y与x之间有什么样的关系。3）5年后，该校办工厂的年产值将到达多少？学问归纳：1）关系式一般是用含_的代数式表示_的等式。将表示_的字母单独写在等号的左边，右边为用_表示_的代数式。2） 实际问题中，有的变量之间的关系不肯定能用关系式表示出来。3） 一些问题中，自变量是有范围的，列关系式时要注明自变量的取值范围。（二）根据关系式求值1、根据关系式求值事实上就是求代数式的值，比方，y的值就是3x的值。因此我们可以利用求代数式的值的方法来求值。求值时留意书写格式。2、打 时 费随时间的改变而改变，有一种手机的 费用y（元）与通话时间x(分）之间的关系可近似地表示为y=5+0.25x.（1）小张打了100分钟 ，费用为多少元？（2）小张这个月的 费是55元，他打了多少分钟 ？（三）综合练习1、通过表格可表示两个变量之间的关系，本节中利用_也可表示两个变量之间的关系2、半径为R的圆面积S=_，当R=3时，S=_ 3、长方形的长为10，宽为x。1） 长方形的面积y与x之间的关系式是 ;2） 填下表：x123y803） 当x每增加1时，y增加 。4、会议厅共有30排座位，第一排有20个座位，后排每排比前一排多一个座位（1）你知道第九排有多少个座位吗？第26排呢？（2） 每排的座位数y可用排数x来表示吗？（3）可不行能某一排的座位数是52？为什么？84x变式1、如图，已知梯形的上底为x，下底为8，高为4（1） 求梯形面积y与x的关系；（2） 用表格表示，当x从3到7（每次增加1）时，y的相应值；（3） 当x每增加1时，y如何改变？（4） 当y=50时，x为多少？（5）当x=0时，y等于多少？此时它表示的是什么？102205、将若干张长为20cm、宽为10cm的长方形白纸，按下图所示的方法粘合起来，粘合局部的宽为2cm（1）求4张白纸粘合后的总长度；（2）设x张白纸粘合后的总长度为ycm，写出y与x之间的关系式；（3）并求当x=20时，y的值变式2、声音在空气中传播的速度y（米/秒）与气温之间有如下关系：（1）在这一改变过程中，自变量是_、因变量是_；（2）当气温时，声音速度y=_米/秒；（3）当气温时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放烟花所在地约相距_米；（四）拓展ABCP1、如图，在中，已知，边AC=4cm，BC=5cm，点P为CB边上一动点，当点P沿CB从点C向点B运动时，的面积发生了改变（1）在这个改变过程中，自变量和因变量各是什么？（2）假如设CP长为，的面积为，则y与x的关系可表示为_；（3）当点P从点D（点D为BC的中点）运动到点B时，则的面积从_变到_ 【学问点三】用图象表示的变量间关系（一）一般图像某地某天的温度改变状况如下图示，视察下表答复下列问题：（1）、上午9时的温度是 ；12时的温度是 .（2） 、这一天 时的温度最高，最高温度是 ； 这一天 时的温度最低，最低温度是 .（3） 、这一天的温差是 ， 从最低温度到最高温度经过了多长时间？（4）、在什么时间范围内温度在上升？ 在什么时间范围内温度在下降？ （5）、图中的A点表示的是什么？B点呢？ （6）、你能预料次日凌晨1时的温度吗？说说你的理由. 学问归纳1：1）上图表示了 随 的改变而改变的状况，它是温度与时间之间关系的图象。 是我们表示变量之间关系的又一种方法。2） 用图象表示变量之间的关系时，通常用程度方向的数轴（称为横轴）上的点表示 ，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示 。速度/v时间/tadcb03） 它的特点是 ，可以形象地反映出变量之间关系的 ，是探讨变量性质的好工具，其缺乏是由图象法往往难以得到精确的对应值。（二）用图象表示速度与时间之间的关系（v-t图）1、视察右图答复下列问题：（1）a代表物体从_开场_运动；（2）b代表物体_运动；（3）c代表物体_运动；（4）a表示的速度_d表的速度（填“>”、“=”或“<”）1、每辆汽车上都有一个时速表用来指示汽车当时的速度,你会看这个表吗 汽车在行驶的过程中，速度往往是改变的，下面的图象表示一辆汽车的速度随时间改变而改变的状况。04812162024906030时间/分速度/（千米/时）（1） 汽车从动身到最终停顿共经过多少时间？它最高时速是多少？（2） 汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？（3） 动身后8分到10分之间可能发生了什么状况？（4） 用自己的语言大致描绘这辆汽车的行驶状况。学问归纳1：在速度与时间的图象中，上升线表示 ，下降线表示 ，程度线分两种：a.在横轴上时表示静止，速度为 ；b.其他的表示 。路程/S时间/tacb0（三）用图象表示路程与时间之间的关系（s-t图）1、视察右图答复下列问题：（1）a代表物体_运动；（2）b代表物体_；（3）c代表物体_运动直至回到_；2、如图，这是反映爷爷每天晚饭后从家中动身去漫步的时间与间隔 之间关系的一幅图.(1)右图反映了哪两个变量之间的关系？(2)爷爷每天漫步多长时间？(3)爷爷漫步时最远离家多少米？(4)爷爷从家里动身后20分钟到30分钟内可能在做什么？(5)计算爷爷离家后的20分钟内的平均速度.学问归纳2:1）在路程与时间的图象中，线段的倾斜程度表示 ，越陡速度越 ，越平速度越 。2） 在路程与时间的图象中，上升线代表 ，下降线表示 ，程度线表示 。（三） 综合练习1、某山区今年月中旬的天气状况是：前天小雨，后天暴雨，那么反映该地区某河流水位改变的图像大致是（ ）ABCD变式1、为节约用水，利民学校冲厕水箱经改造后，当水箱水满后就按肯定的速度放掉水箱的一半水，随后马上按肯定的速度注水，等水箱的水满后，又马上按肯定的速度放掉水箱一般的水，下面的图像可以刻画水箱的存水量v（立方米）与放水或注水时间t（分钟）之间的关系的是（ ）A B CD2、 新成药业集团探讨开发了一种新药，在试验药效时发觉，假如儿童按规定剂量服用，那么2小时的时候血液中含药量最高，接着逐步衰减，每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的改变如图所示当儿童按规定剂量服药后：（1） 何时血液中含药量最高？是多少微克？（2） A点表示什么意义？（3） 每毫升血液中含药量为2微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效期是多长？（4）你建议该儿童首次服药后几小时再服药？为什么？3、如图，是表示某天小明上学从家到学校时，离家的间隔 与时间的关系的图像。（1）小明从家到学校有多远？他一共用了多长时间到校？（2）中途小明停下来子啊路边的商店买了一些练习本，图中那一段曲线表示这一过程？（3）你能想象小明从离家到第4min时的状况吗？4、 一列火车从青岛站动身，加速行驶一段时间开场匀速行驶。过了一段时间，火车到达下一个车站。乘客上下车后，火车又加速，一段时间后再次开场匀速行驶，下面可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度改变状况的图是下图中的（ ）AB C D5、小李骑车沿直线旅行，从前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米（b<a），再前进c千米，则他离起点的间隔 s与时间t的关系示意图是（ ）6、小明某天上午9时骑自行车分开家，15时回家，他有意描绘了离家的间隔 与时间的改变状况（如图所示）（1）图像表示了哪两个变量的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）10时和13时，他分别离家多远？（3）他到达离家最远的地方时什么时间？离家多远？（4）11时到12时他行驶了多少千米？（5）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？（6）由他离家最远的地方返回时的平均速度是多少？变式、（1）如图，是自行车行驶路程与时间的关系图，则整个行驶过程的平均速度是（ ）A20B40C15D25（2）如图所示，OA、BA分别表示甲、乙两名学社运动的路程与时间的关系图像，图中S和t分别表示运动路程和时间，根据图像推断快者的速度比慢者的速度每秒快（ ）A2.5mB2mC1.5mD1m（三）拓展1、王大爷带了若干千克自产的土豆进城出售，为了便利，他带了一些零钱备用，按市场价出售一些后，又降价出售，售出土豆的千克数x与他手中持有的钱数y（含备用零钱）的关系如图所示。根据图像答复下列问题：（1） 王大爷自带的零钱是多少？（2） 降价前他每千克土豆出售的价格是多少？（3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少千克土豆？2、如图中的折线ABC是甲地向乙地打长途 所须要付的 费y（元）与通话时间t（分钟）之间的关系的图像。（1）通话1分钟，要付 费多少元？通话5分钟要付多少 费？（2） 通话多少分钟以内，所支付的 费不变？（3）假如通话3分钟以上， 费y（元）与时间t（分钟）的关系式是，那么通话4分钟的 费是多少元？3、某单位急需用车，但又不打算买车，他们打算和一家个体车主或一家国有出租车公司签订租车合同，合同中规定所付月租金的多少与出租车每月行驶的间隔 有关。下图表示出租车每月行驶的间隔 与所付月租金的关系，（表示个体车主，表示国有出租车）视察图像答复下列问题（1）每月行驶路程在什么范围内时租国有公司的车合算？（2）租个体车主的车，租来的车假如没有行驶，是否也要缴租金？缴多少租金？租国有公司的车呢？（3）每月行驶路程等于多少时，租两家车的费用一样？（4） 假如这个单位估计每月行驶的路程2300米， 那么这个单位租哪家的车合算？4、甲、乙两地相距80千米，A骑自行车，B骑摩托车沿一样路途由甲地到乙地行驶，两人行驶的路程y（千米）与时间x（时）的关系如图所示，请你根据图像答复或解决下面的问题：（1）谁动身较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早多长时间？（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？（3）请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的路程y（千米）与时间x（小时）的关系。第三单元 变量之间的关系 单元测试1、（贵阳）小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细打量，父子兴奋把家还”假如用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的间隔 ，用横轴表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（）A BCD2、（陕西） 星期天晚饭后，小红从家里出去漫步，下图描绘了她漫步过程中离家的间隔 s（米）与漫步所用时间t（分）之间的函数关系根据图象，下面描绘符合小红漫步情景的是（ ）.A.从家动身，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了B.从家动身，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，接着向前走了一段，然后回家了C.从家动身，始终漫步（没有停留），然后回家了 D.从家动身，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟后才开场返0 1 2 3 4 5y（千米）3015x（小时）甲乙453、右图表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车沿一样路途行驶45千米，由A地到B地时，行驶的路程y（千米）与经过的时间x（小时）之间的关系请根据这个行驶过程中的图象填空：汽车动身 小时与电动自行车相遇；电动自行车的速度为 千米/时；汽车的速度为 千米/时；汽车比电动自行车早 小时到达B地4、在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余局部的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图所示请根据图象所供应的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是，从点燃到燃尽所用的时间分别是；（2）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的状况）？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？5、（2006宿迁课改）小明从家骑车上学，先上坡到达A地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示假如返回时，上、下坡速度仍旧保持不变，那么他从学校回到家须要的时间是（）8.6分钟9分钟12分钟16分钟6、某机动车动身前油箱内有油42l，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升油箱中余油量Q（L）与行驶时间t（L）之间的关系如图8 所示答复问题：（1）机动车行驶几小时后加油？ （2）中途中加油_L；（3）已知加油站距目的地还有，车速为，若要到达目的地，油箱中的油是否够用？并说明缘由7、在一次试验中，小明把一根弹簧的上端固定在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的一组对应值所挂质量012345弹簧长度182022242628（1） 上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2） 当所挂物体重量为时，弹簧多长？不挂重物时呢？（3）若所挂重物为时（在允许范围内），你能说出此时的弹簧长度吗？8、小明在暑期社会实距活动中，以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克瓜到市场上去销售，在销售了40千克西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图9所示请你根据图象供应的信息完成以下问题：（1）求降价前销售金额y（元）与售出西瓜（千克）之间的关系式；（2）小明从批发市场共购进多少千克西瓜？（3）小明这次卖瓜赚子多少钱？9、如图中的折线ABC是甲地向乙地打长途 所须要付的 费y（元）与通话时间t（分钟）之间的关系的图象. （1） 通话1分钟，要付 费多少元？通话5分钟要付多少 费？（2） 通话多少分钟内，所支付的 费不变？（3）假如通话3分钟以上， 费y（元）与时间t（分钟）的关系式是，那么通话4分钟的 费是多少元？8、如图是某水库的蓄水量v(万米3)与干旱持续时间t（天）之间的关系图，答复下列问题：（1）该水库原蓄水量为多少万米3？持干旱持续时间10天后，水库蓄水量为多少万米3？（2） 若水库的蓄水量小于400万米3时，将发生严峻干旱警报，请问：持续干旱多少天后，将发生严峻干旱警报？（3）按此规律，持续干旱多少天时，水库将干枯？9、（成都市）某挪动通信公司开设了两种通信业务，“全球通”：运用时首先缴50元月租费，然后每通话1分钟，自付话费0.4元；“动感地带”：不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元（本题的通话均指市内通话），若一个月通话x分钟，两种方式的费用分别为元和元（1）写出、与x之间的关系式；（2） 一个月内通话多少分钟，两种挪动通讯费用一样？（3）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种挪动通信合算些？