全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法有答案.docx
全等三角形问题中常见的协助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段及原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添协助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法或“补短法： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30, 60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特别直角三角形，然后计算边的长度及角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创建边, 角之间的相等条件。8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特别直角三角形，或40-60-80的特别直角三角形,常计算边的长度及角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创建边, 角之间的相等条件。常见协助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折法构造全等三角形2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段及原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转 法构造全等三角形3) 遇到角平分线在三种添协助线的方法，1可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折，所考学问点经常是角平分线的性质定理或逆定理2可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线及角的两边相交，形成一对全等三角形。3可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移或“翻转折叠5) 截长法及补短法，详细做法是在某条线段上截取一条线段及特定线段相等，或是将某条线段延长，是之及特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和, 差, 倍, 分等类的题目6) 某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特别方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的学问解答一, 倍长中线线段造全等例1, “盼望杯试题，如图中，5，3，那么中线的取值范围是.例2, 如图，中，E, F分别在, 上，D是中点，试比拟及的大小.例3, 如图，中，E是的中点，求证：平分.应用：1, 09崇文二模以的两边, 为腰分别向外作等腰和等腰，连接，M, N分别是, 的中点探究：及的位置关系及数量关系1如图 当为直角三角形时，及的位置关系是 ，线段及的数量关系是 ；2将图中的等腰绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图所示，1问中得到的两个结论是否发生变更？并说明理由二, 截长补短1, 如图，中，2，平分，且，求证：2, 如图，分别平分,，过点E，求证。 3, 如图，在内，P，Q分别在，上，并且，分别是，的角平分线。求证：4, 如图，在四边形中，平分，求证： 5, 如图在中，12，P为上随意一点，求证应用：三, 平移变换例1 为的角平分线，直线于为上一点，周长记为，周长记为.求证.例2 如图，在的边上取两点D, E，且，求证：>.四, 借助角平分线造全等1, 如图，在中，60°，的角平分线相交于点O，求证：2, 如图，中，平分，且平分，于E，于F. 1说明的理由；2假如，求, 的长.应用：1, 如图，是的平分线，请你利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答以下问题：1如图，在中，是直角，60°，, 分别是, 的平分线，, 相交于点F。请你推断并写出及之间的数量关系；(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图2如图，在中，假如不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍旧成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由。五, 旋转例1 正方形中，E为上的一点，F为上的一点，求的度数. 例2 D为等腰斜边的中点，分别交于点。（1） 当绕点D转动时，求证。（2） 假设2，求四边形的面积。例3 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，那么的周长为 ；应用：1, 四边形中，绕点旋转，它的两边分别交或它们的延长线于当绕点旋转到时如图1，易证当绕点旋转到时，在图2和图3这两种状况下，上述结论是否成立？假设成立，请赐予证明；假设不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的揣测，不需证明图1图2图32, 西城09年一模4,以为一边作正方形,使P, D两点落在直线的两侧.(1)如图,当45°时,求及的长;(2)当变更,且其它条件不变时,求的最大值,及相应的大小.3, 在等边的两边, 所在直线上分别有两点M, N，D为外一点，且 EMBED Equation.3 . 探究：当M, N分别在直线, 上移动时，, , 之间的数量关系及的周长Q及等边的周长L的关系图1 图2 图3I如图1，当点M, N边, 上，且时，, , 之间的数量关系是 ； 此时 ； 如图2，点M, N边, 上，且当时，揣测I问的两个结论还成立吗？写出你的揣测并加以证明； 如图3，当M, N分别在边, 的延长线上时，假设，那么 用, L表示 参考答案及提示一, 倍长中线线段造全等例1, “盼望杯试题，如图中，5，3，那么中线的取值范围是.解：延长至E使2，连，由三角形性质知 <2< 故的取值范围是1<<4例2, 如图，中，E, F分别在, 上，D是中点，试比拟及的大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一法)延长至G使2，连，,明显，在中，留意到，由等腰三角形的三线合一知在中，由三角形性质知< 故：<例3, 如图，中，E是的中点，求证：平分. 解：延长至G使2，连，,明显， 由于，故 在及中， ，故，故有，即平分应用：1, 09崇文二模以的两边, 为腰分别向外作等腰和等腰，连接，M, N分别是, 的中点探究：及的位置关系及数量关系1如图 当为直角三角形时，及的位置关系是 ，线段及的数量关系是 ；2将图中的等腰绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图所示，1问中得到的两个结论是否发生变更？并说明理由二, 截长补短1, 如图，中，2，平分，且，求证：解：截长法在上取中点F，连是等腰三角形，F是底中点，由三线合一知，故90°90°即：2, 如图，分别平分,，过点E，求证解：截长法在上取点F，使，连，180°180°故故有从而3, 如图，在内，P，Q分别在，上，并且，分别是，的角平分线。求证：解：补短法, 计算数值法延长至D，使，连在等腰中，可得40°从而40°故又40° 故 从而4, 如图，在四边形中，平分，求证： 解：补短法延长至F，使，连故 ，又故在等腰中故有180°5, 如图在中，12，P为上随意一点，求证解：补短法延长至F，使，连故由三角形性质知 < 应用：三, 平移变换例1 为的角平分线，直线于为上一点，周长记为，周长记为.求证.解：镜面反射法延长至F，使，连为的角平分线, 知故有故在中有： >从而>例2 如图，在的边上取两点D, E，且，求证：>.证明：取中点M,连并延长至N,使,连. ,(),同理.延长交于P,那么>>,相加得>,各减去,得>,>。四, 借助角平分线造全等1, 如图，在中，60°，的角平分线相交于点O，求证：， 证明L(角平分线在三种添协助线,计算数值法)60度,那么120度;均为角平分线,那么60度=;120度.在上截取线段,连接.又;.那么(),; 60度.那么60度=;又;.故(),.2, 如图，中，平分，且平分，于E，于F. 1说明的理由；2假如，求, 的长.解：(垂直平分线联结线段两端)连接，垂直平分，故由于平分， 于E，于F，故有故故有。2/2()/2应用：1, 如图，是的平分线，请你利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答以下问题：1如图，在中，是直角，60°，, 分别是, 的平分线，, 相交于点F。请你推断并写出及之间的数量关系；(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图2如图，在中，假如不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍旧成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由。五, 旋转例1 正方形中，E为上的一点，F为上的一点，求的度数. 证明：将三角形绕点A顺时针旋转90度，至三角形那么又，所以三角形全等于所以又90所以45度例2 D为等腰斜边的中点，分别交于点。(1)当绕点D转动时，求证。(2)假设2，求四边形的面积。解：(计算数值法)1连接， D为等腰斜边的中点，故有，平分90°，45°由于，有90°由于 ，有90°从而故有故有2S2, S四 S1例3 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，那么的周长为 ；解：(图形补全法, “截长法或“补短法, 计算数值法) 的延长线及的延长线交于点F，在线段上取点E，使为等边三角形，为等腰三角形，且120°，60°+30°=90°，180°-180°-90°，又，120°-60°=60°，在和中， 60° ，在和中， 60°- 60°- () 30° ()，的周长为6应用：1, 四边形中，绕点旋转，它的两边分别交或它们的延长线于当绕点旋转到时如图1，易证当绕点旋转到时，在图2和图3这两种状况下，上述结论是否成立？假设成立，请赐予证明；假设不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的揣测，不需证明图1图2图32, 西城09年一模4,以为一边作正方形,使P, D两点落在直线的两侧.(1)如图,当45°时,求及的长;(2)当变更,且其它条件不变时,求的最大值,及相应的大小.3, 在等边的两边, 所在直线上分别有两点M, N，D为外一点，且 EMBED Equation.3 . 探究：当M, N分别在直线, 上移动时，, , 之间的数量关系及的周长Q及等边的周长L的关系图1 图2 图3I如图1，当点M, N边, 上，且时，, , 之间的数量关系是 ； 此时 ； 如图2，点M, N边, 上，且当时，揣测I问的两个结论还成立吗？写出你的揣测并加以证明； 如图3，当M, N分别在边, 的延长线上时，假设，那么 用, L表示
