七年级数学：相交线与平行线-培优复习(附详细答案).docx

七年级数学：相交线及平行线 培优复习例题精讲例1如图(1)，直线a及b平行，1(3x+70)°,2=(5x+22)°,求3的度数。解：ab，34（两直线平行，内错角相等）1+32+4180°(平角的定义)12 (等式性质)则3x+705x+22解得x=24 即1142°3180°-138° 图(1)评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。例2已知：如图(2)， ABEFCD，EG平分BEF，B+BED+D =192°，B-D=24°，求GEF的度数。解：ABEFCD B=BEF，DEF=D（两直线平行，内错角相等） B+BED+D =192°（已知） 即B+BEF+DEF+D=192°2（B+D）=192°（等量代换）则B+D=96°（等式性质）B-D=24°（已知） 图(2)B=60°（等式性质） 即BEF=60°（等量代换） EG平分BEF（已知）GEF=BEF=30°（角平分线定义）例3如图（3），已知ABCD，且B=40°，D=70°，求DEB的度数。解：过E作EFABABCD（已知）EFCD（平行公理）BEF=B=40° DEF=D=70°（两直线平行，内错角相等）DEB=DEF-BEF DEB =D-B=30° 评注：证明或解有关直线平行的问题时，假如不构成“三线八角”，则应添出协助线。图（3） 例4平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？解：2条直线产生1个交点，第3条直线及前面2条均相交，增加2个交点，这时平面上3条直线共有1+2=3个交点；第4条直线及前面3条均相交，增加3个交点，这时平面上4条直线共有1+2+3=6个交点；则n条直线共有交点个数：1+2+3+ (n-1)=n(n-1)评注：此题是平面上n条直线交点个数最多的情形，须要细致视察，由简及繁，深化思索，从中发觉规律。例56个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？解：6条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15条直线，除去共线的3点中重合多算的2条直线，即能确定的直线为15-2=13条。另法：3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线，这3点及直线上的3点最多有3×3=9条直线，加上3点所在的直线共有：3+9+1=13条评注：一般地，平面上n个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+(n-1)=n(n-1)例610条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？解：2条直线最多将平面分成2+2=4个不同区域；3条直线中的第3条直线及另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7个不同区域；同理：4条直线最多分成2+2+3+4=11个不同区域； 10条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域推广：n条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+n=1+n(n+1)=(n2+n+2)块不同的区域思索：平面内n个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？ 稳固练习1平面上有5个点，其中仅有3点在同始终线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（）条 A6B 7C8D92平面上三条直线互相间的交点个数是（）A3B1或3C1或2或3D不肯定是1，2，33平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（）A36条B33条C24条D21条4已知平面中有个点三个点在一条直线上，四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时等于（ ） （A）9 （B）10 （C）11 （D）125若平行直线AB、CD及相交直线EF、GH相交成如图示的图形，则共得同旁内角（）A4对B8对C12对D16对6如图，已知FDBE，则1+2-3=( )A90°B135°C150°D180° 第7题 7如图，已知ABCD，1=2，则E及F的大小关系 ；8平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还有 交点9平面上3条直线最多可分平面为 个局部。10如图，已知ABCDEF，PSGH于P，FRG=110°，则PSQ 。11已知A、B是直线L外的两点，则线段AB的垂直平分线及直线的交点个数是 。12平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过 个。13已知：如图，DECB ，求证：AED=A+B 第13题 14已知：如图，ABCD，求证：B+D+F=E+G 第14题 15如图，已知CBAB，CE平分BCD，DE平分CDA，EDC+ECD =90°，求证：DAAB16平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？17平面上5个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？18始终线上5点及直线外3点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？19平面上有8条直线两两相交，试证明在全部的交角中至少有一个角小于23°。答案1 5个点中任取2点，可以作4+3+2+110条直线，在始终线上的3个点中任取2点，可作2+13条，共可作10-3+18（条）故选C2平面上3条直线可能平行或重合。故选D3对于3条共点的直线，每条直线上有4个交点，截得3条不重叠的线段，3条直线共有9条不重叠的线段对于3条不共点的直线，每条直线上有5个交点，截得4条不重叠的线段，3条直线共有12条不重叠的线段。故共有21条不重叠的线段。故选D4由个点中每次选取两个点连直线，可以画出条直线，若三点不在一条直线上，可以画出3条直线，若四点不在一条直线上，可以画出6条直线， 整理得 n+90 选B。5直线EF、GH分别“截”平行直线AB、CD，各得2对同旁内角，共4对；直线AB、CD分别“截”相交直线EF、GH，各得6对同旁内角，共12对。因此图中共有同旁内角4+616对6FDBE2=AGFAGC=1-31+2-3=AGC+AGF=180° 选B7解：ABCD （已知） BAD=CDA（两直线平行，内错角相等） 1=2（已知）BAD+1=CDA+2（等式性质） 即EAD=FDA AEFD EF8解：每两点可确定一条直线，这5点最多可组成10条直线，又每两条直线只有一个交点，所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+145（个）又因平面上这5个点及其余4个点均有4条连线，这四条直线共有3+2+16个交点及平面上这一点重合应去掉，共应去掉5×6=30个交点，所以有交点的个数应为45-3015个9可分7个局部10解 ABCDEFAPQDQG=FRG=110°同理PSQ=APSPSQ=APQ-SPQ=DQG-SPQ=110°-90°=20°11 0个、1个或多数个1）若线段AB的垂直平分线就是L，则公共点的个数应是多数个；2）若ABL，但L不是AB的垂直平分线，则此时AB的垂直平分线及L是平行的关系，所以它们没有公共点，即公共点个数为0个；3）若AB及L不垂直，那么AB的垂直平分线及直线L肯定相交，所以此时公共点的个数为1个124条直线两两相交最多有1+2+36个交点13证明：过E作EFBA2=A（两直线平行，内错角相等）DECB，EFBA 1=B（两个角的两边分别平行，这两个角相等） 1+2=B+A（等式性质）即AED=A+B 14证明：分别过点E、F、G作AB的平行线EH、PF、GQ，则ABEHPFGQ（平行公理）ABEH ABEBEH（两直线平行，内错角相等）同理：HEFEFPPFGFGQQGDGDCABE+EFP+PFG+GDCBEH+HEF+FGQ+QGD（等式性质）即B+D+EFG=BEF+GFD15证明：DE平分CDA CE平分BCDEDC=ADE ECD =BCE(角平分线定义)CDA +BCD=EDC+ADE+ECD+BCE=2（EDC+ECD）180°DACB又CBABDAAB16两个圆最多有两个交点，每条直线及两个圆最多有4个交点，三条直线最多有3个不同的交点，即最多交点个数为：2+4×3+3=1717（1）2个圆相交有交点2×11个，第3个圆及前两个圆相交最多增加2×24个交点，这时共有交点2+2×26个第4个圆及前3个圆相交最多增加2×36个交点，这时共有交点2+2×2+2×312个第5个圆及前4个圆相交最多增加2×48个交点5个圆两两相交最多交点个数为：2+2×2+2×3+2×420（2）2个圆相交将平面分成2个区域3个圆相看作第3个圆及前2个圆相交，最多有2×24个不同的交点，这4个点将第3个圆分成4段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加2×24块区域，这时平面共有区域：2+2×26块4个圆相看作第4个圆及前3个圆相交，最多有2×36个不同的交点，这6个点将第4个圆分成6段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加2×36块区域，这时平面共有区域：2+2×2+2×312块5个圆相看作第5个圆及前4个圆相交，最多有2×48个不同的交点，这8个点将第5个圆分成8段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加2×48块区域，这时平面最多共有区域：2+2×2+2×3+2×420块18 直线上每一点及直线外3点最多确定3×5=15条直线；直线外3点间最多能确定3 条直线， 最多能确定15+3+1=19条直线 19将这8条直线平移到共点后，构成8对互不重叠的对顶角，这8个角的和为180°假设这8个角没有一个小于23°,则这8个角的和至少为: 23°×8=184°,这是不行能的.因此这8个角中至少有一个小于23°, 在全部的交角中至少有一个角小于23°20平面上有10条直线，若两两相交，最多可出现45个交点，题目要求只出现31个交点，就要削减14个交点，则必需出现平行线，若某一方向上有5条直线互相平行，则可削减10个交点；若有6条直线互相平行，则可削减15个交点；故在这个方向上最多可取5条平行线，这时还有4个交点须要减去，转一个方向取3条平行线，即可削减3个交点，这时还剩下2条直线和一个须要减去的点，只须让这2条直线在第三个方向上互相平行即可。如图这三组平行线即为所求。