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面的解三角形讲义解三角形【高考会这样考】1考查正, 余弦定理的推导过程2考查利用正, 余弦定理推断三角形的形态3考查利用正, 余弦定理解随意三角形的方法4.考查利用正弦定理, 余弦定理解决实际问题中的角度, 方向, 距离和测量问题基础梳理1正弦定理：2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，以解决不同的三角形问题2余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以变形为：cos A，cos B，cos C.3面积公式：SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.4已知两边和其中一边的对角，解三角形时，留意解的状况如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabababab解的个数无解一解两解一解一解无解5用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题, 高度问题, 角度问题, 计算面积问题, 航海问题, 物理问题等6实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1)(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图(2)(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数考向探究题型一 正弦余弦定理运用【例题1】在ABC中，已知a=,b=,B=45°,求A, C和c.【例题2】 在ABC中，a, b, c分别是角A，B，C的对边，且=-.（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求ABC的面积.【例题3】 （14分）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2+bc=0.（1）求角A的大小；（2）若a=，求bc的最大值；（3）求的值.【变式】1.ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c，若c=，b=，B=120°,则a= .2.（1）ABC中，a=8,B=60°,C=75°,求b;(2)ABC中，B=30°,b=4,c=8,求C, A, a.3.在ABC中，A=60°，AB=5，BC=7，则ABC的面积为 .4.已知ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为S，且2S=（a+b）2-c2，求tanC的值.5. 在ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若（b-c）cosA=acosC，则cosA= .6. 在ABC中,角A, B, C的对边分别为a, b, c，若（a2+c2-b2）tanB=ac，则角B的值为 .7. 在ABC中，内角A, B, C对边的边长分别是a, b, c.已知c=2,C=.（1）若ABC的面积等于，求a, b的值；（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ABC的面积.题型二 推断三角形形态 【例题】在ABC中，a, b, c分别表示三个内角A, B, C的对边，假如（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），推断三角形的形态.【变式】 已知ABC的三个内角A, B, C的对边分别为a, b, c，若a, b, c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并推断ABC的形态.题型三 测量距离问题【例题】如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CDa和ACD60°，BCD30°，BDC105°，ADC60°，试求AB的长 【变式】 如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B, D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC0.1 km.摸索究图中B, D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离题型四测量高度问题【例题】如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB20 m，求山高CD. 【变式】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得BCD，BDC，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.题型五正, 余弦定理在平面几何中的综合应用【例题】如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB5，AC9，BCA30°，ADB45°，求BD的长 【变式】 如图，在ABC中，已知B45°，D是BC边上的一点，AD10，AC14，DC6，求AB的长巩固训练1.在ABC中，若2cosBsinA=sinC,则ABC肯定是 三角形.2.在ABC中，A=120°,AB=5,BC=7，则的值为 .3.已知ABC的三边长分别为a,b,c,且面积SABC=（b2+c2-a2），则A= .4.在ABC中，BC=2，B=，若ABC的面积为，则tanC为 .5.在ABC中，a2-c2+b2=ab,则C= .6.ABC中，若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则C= .7.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=,c=,则B= .8.某人向正东方向走了x千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离动身点恰好千米，那么x的值是 .9.下列推断中不正确的结论的序号是 .ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解10. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，并且a2=b(b+c).（1）求证：A=2B；（2）若a=b,推断ABC的形态.11. 在ABC中，cosB=-，cosC=.（1）求sinA的值； （2）ABC的面积SABC=，求BC的长.12.已知a, b, c是ABC的三边长，关于x的方程ax2-2 x-b=0 (acb)的两根之差的平方等于4，ABC的面积S=10，c=7.（1）求角C；（2）求a，b的值.13. 在ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，已知a+b=5，c=，且4sin2-cos2C=.(1)求角C的大小；（2）求ABC的面积.14(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45°，CAB105°后，就可以计算出A，B两点的距离为() A50 m B50 m C25 m D. m15从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为() A B C90° D180°16若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且ACBC，则点A在点B的() A北偏东15° B北偏西15° C北偏东10° D北偏西10°17一船向正北航行，望见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，接着航行半小时后，望见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时() A5海里 B5海里C10海里 D10海里18海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，BAC60°，ABC75°，则B，C间的距离是_海里19.如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里问：乙船每小时航行多少海里？ 参考答案例题答案题型一 正弦, 余弦定理【例题1】 解 B=45°90°且asinBba,ABC有两解.由正弦定理得sinA= =,则A为60°或120°.当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°,c=.当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°,c=.故在ABC中，A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=.【例题2】 解（1）由余弦定理知：cosB=，cosC=.将上式代入=-得:·=-整理得:a2+c2-b2=-accosB= =-B为三角形的内角，B= EMBED Equation.3 .（2）将b=,a+c=4,B= EMBED Equation.3 代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosBb2=16-2ac,ac=3.SABC=acsinB=.【例题3】解（1）cosA=-, 又A（0°，180°），A=120°. （2）由a=,得b2+c2=3-bc,又b2+c22bc（当且仅当c=b时取等号），3-bc2bc(当且仅当c=b时取等号）. 即当且仅当c=b=1时，bc取得最大值为1. （3）由正弦定理得：2R, = = = 【变式】1. 2. 解（1）由正弦定理得.B=60°,C=75°,A=45°,b=4.(2)由正弦定理得sinC=1.又30°C150°,C=90°.A=180°-(B+C)=60°,a=4.3. 104. 解 依题意得absinC=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosC.所以,absinC=2ab(1+cosC),即sinC=2+2cosC,所以2sincos =4cos2化简得：tan=2.从而tanC=-.5. 6. 或 7. 解 （1）由余弦定理和已知条件，得a2+b2-ab=4.又因为ABC的面积等于，所以absinC=，所以ab=4.联立方程组 解得.（2）由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA,当cosA=0时，A=，B=，a=，b=.当cosA0时，得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,联立方程组 解得所以ABC的面积S=absinC=.题型二 推断三角形形态 【例题】 解方法一 已知等式可化为a2sin（A-B）-sin（A+B）=b2-sin（A+B）-sin(A-B)2a2cosAsinB=2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化为：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinAsinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0sin2A=sin2B,由02A,2B2得2A=2B或2A=-2B,即A=B或A=-B,ABC为等腰或直角三角形.方法二 同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB由正, 余弦定理,可得a2b= b2a a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0a=b或a2+b2=c2ABC为等腰或直角三角形.【变式】 解 方法一 2cos2B-8cosB+5=0,2(2cos2B-1)-8cosB+5=0.4cos2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=或cosB=（舍去）.cosB=.0B,B=.a，b，c成等差数列，a+c=2b.cosB=，化简得a2+c2-2ac=0,解得a=c.又B=，ABC是等边三角形.方法二 2cos2B-8cosB+5=0，2（2cos2B-1）-8cosB+5=0.4cos2B-8cosB+3=0，即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=或cosB=（舍去）.cosB=,0B,B=,a,b,c成等差数列，a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin=.sinA+sin=，sinA+sin-cos=.化简得sinA+cosA=,sin =1.A+=,A=,C=,ABC为等边三角形.题型三 测量距离问题【例题】解在ACD中，已知CDa，ACD60°，ADC60°，所以ACa.BCD30°，BDC105°CBD45°在BCD中，由正弦定理可得BCa.在ABC中，已经求得AC和BC，又因为ACB30°，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为ABa.【变式】解在ACD中，DAC30°，ADC60°DAC30°，所以CDAC0.1 km.又BCD180°60°60°60°，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BDBA.又ABC15°在ABC中，所以AB(km)，同理，BD(km)故B, D的距离为 km.题型四测量高度问题【例题】解如图，设CDx m，则AEx20 m，tan 60°，BDx (m)在AEC中，x20x，解得x10(3) m故山高CD为10(3) m. 【变式】解在BCD中，CBD，由正弦定理得，所以BC在RtABC中，ABBCtanACB.题型五正, 余弦定理在平面几何中的综合应用【例题】解在ABC中，AB5，AC9，BCA30°.由正弦定理，得，sinABC.ADBC，BAD180°ABC，于是sinBADsinABC.同理，在ABD中，AB5，sinBAD，ADB45°，由正弦定理：，解得BD.故BD的长为.【变式】解在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得cosADC，ADC120°，ADB60°.在ABD中，AD10，B45°，ADB60°，由正弦定理得，AB5巩固训练1. 等腰；2. ；3. 45°；4. ；5. 60°；6. 45°或135°；7. ；8. 或2；9. 10.（1）证明 因为a2=b(b+c)，即a2=b2+bc,所以在ABC中，由余弦定理可得,cosB=,所以sinA=sin2B,故A=2B.（2）解 因为a=b,所以=,由a2=b(b+c)可得c=2b,cosB=,所以B=30°,A=2B=60°,C=90°.所以ABC为直角三角形.11. 解 (1)由cosB=-,得sinB=,由cosC=,得sinC=.所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=.(2)由SABC=,得×AB×AC×sinA=. 由(1)知sinA=,故AB×AC=65.又AC=AB,故AB2=65,AB=.所以BC=.12. 解 （1）设x1, x2为方程ax2-2x-b=0的两根，则x1+x2=，x1·x2=-.(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=+=4.a2+b2-c2=ab.又cosC=,又C(0°,180°),C=60°.(2)S=absinC=10，ab=40 由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,即c2=(a+b)2-2ab(1+cos60°).72=(a+b)2-2×40×.a+b=13.又ab 由，得a=8,b=5.13. 解 （1）A+B+C=180°,由4sin2-cos2C=,得4cos2-cos2C=,4·-(2cos2C-1)=,整理,得4cos2C-4cosC+1=0,解得cosC=,0°C180°,C=60°.(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,即7=a2+b2-ab,7=(a+b)2-3ab，由条件a+b=5,得7=25-3ab,ab=6,SABC=absinC=×6×=.14.解析由正弦定理得，又B30°AB50(m)答案A15.解析依据仰角与俯角的定义易知.答案B16.解析如图答案B17.解析如图所示，依题意有BAC60°，BAD75°，所以CADCDA15°，从而CDCA10(海里)，在RtABC中，得AB5(海里)，于是这艘船的速度是10(海里/时)答案C18.解析由正弦定理，知.解得BC5(海里)答案519.如图，连接A1B2由已知A2B210，A1A230×10，A1A2A2B2.又A1A2B2180°120°60°，A1A2B2是等边三角形，A1B2A1A210.由已知，A1B120，B1A1B2105°60°45°，(8分)在A1B2B1中，由余弦定理得B1BA1BA1B2A1B1·A1B2·cos 45°202(10)22×20×10×200，B1B210.因此，乙船的速度为×6030(海里/时)(12分)
