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面的解三角形讲义解三角形【高考会这样考】1考查正, 余弦定理的推导过程2考查利用正, 余弦定理推断三角形的形态3考查利用正, 余弦定理解随意三角形的方法4.考查利用正弦定理, 余弦定理解决实际问题中的角度, 方向, 距离和测量问题基础梳理1正弦定理:2R,其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为:(1)abcsin Asin Bsin C;(2)a2Rsin_A,b2Rsin_B,c2Rsin_C;(3)sin A,sin B,sin C等形式,以解决不同的三角形问题2余弦定理:a2b2c22bccos_A,b2a2c22accos_B,c2a2b22abcos_C余弦定理可以变形为:cos A,cos B,cos C.3面积公式:SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)·r(R是三角形外接圆半径,r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R,r.4已知两边和其中一边的对角,解三角形时,留意解的状况如已知a,b,A,则A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabababab解的个数无解一解两解一解一解无解5用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题, 高度问题, 角度问题, 计算面积问题, 航海问题, 物理问题等6实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图(1)(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为(如图(2)(3)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°,西偏东60°等(4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数考向探究题型一 正弦余弦定理运用【例题1】在ABC中,已知a=,b=,B=45°,求A, C和c.【例题2】 在ABC中,a, b, c分别是角A,B,C的对边,且=-.(1)求角B的大小;(2)若b=,a+c=4,求ABC的面积.【例题3】 (14分)ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-a2+bc=0.(1)求角A的大小;(2)若a=,求bc的最大值;(3)求的值.【变式】1.ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若c=,b=,B=120°,则a= .2.(1)ABC中,a=8,B=60°,C=75°,求b;(2)ABC中,B=30°,b=4,c=8,求C, A, a.3.在ABC中,A=60°,AB=5,BC=7,则ABC的面积为 .4.已知ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,求tanC的值.5. 在ABC中,角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若(b-c)cosA=acosC,则cosA= .6. 在ABC中,角A, B, C的对边分别为a, b, c,若(a2+c2-b2)tanB=ac,则角B的值为 .7. 在ABC中,内角A, B, C对边的边长分别是a, b, c.已知c=2,C=.(1)若ABC的面积等于,求a, b的值;(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ABC的面积.题型二 推断三角形形态 【例题】在ABC中,a, b, c分别表示三个内角A, B, C的对边,假如(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),推断三角形的形态.【变式】 已知ABC的三个内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若a, b, c成等差数列,且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并推断ABC的形态.题型三 测量距离问题【例题】如图所示,为了测量河对岸A,B两点间的距离,在这岸定一基线CD,现已测出CDa和ACD60°,BCD30°,BDC105°,ADC60°,试求AB的长 【变式】 如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B, D为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC0.1 km.摸索究图中B, D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B,D的距离题型四测量高度问题【例题】如图,山脚下有一小塔AB,在塔底B测得山顶C的仰角为60°,在山顶C测得塔顶A的俯角为45°,已知塔高AB20 m,求山高CD. 【变式】如图所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,现测得BCD,BDC,CDs,并在点C测得塔顶A的仰角为,求塔高AB.题型五正, 余弦定理在平面几何中的综合应用【例题】如图所示,在梯形ABCD中,ADBC,AB5,AC9,BCA30°,ADB45°,求BD的长 【变式】 如图,在ABC中,已知B45°,D是BC边上的一点,AD10,AC14,DC6,求AB的长巩固训练1.在ABC中,若2cosBsinA=sinC,则ABC肯定是 三角形.2.在ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,则的值为 .3.已知ABC的三边长分别为a,b,c,且面积SABC=(b2+c2-a2),则A= .4.在ABC中,BC=2,B=,若ABC的面积为,则tanC为 .5.在ABC中,a2-c2+b2=ab,则C= .6.ABC中,若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则C= .7.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=,c=,则B= .8.某人向正东方向走了x千米,他右转150°,然后朝新方向走了3千米,结果他离动身点恰好千米,那么x的值是 .9.下列推断中不正确的结论的序号是 .ABC中,a=7,b=14,A=30°,有两解ABC中,a=30,b=25,A=150°,有一解ABC中,a=6,b=9,A=45°,有两解ABC中,b=9,c=10,B=60°,无解10. 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,并且a2=b(b+c).(1)求证:A=2B;(2)若a=b,推断ABC的形态.11. 在ABC中,cosB=-,cosC=.(1)求sinA的值; (2)ABC的面积SABC=,求BC的长.12.已知a, b, c是ABC的三边长,关于x的方程ax2-2 x-b=0 (acb)的两根之差的平方等于4,ABC的面积S=10,c=7.(1)求角C;(2)求a,b的值.13. 在ABC中,角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知a+b=5,c=,且4sin2-cos2C=.(1)求角C的大小;(2)求ABC的面积.14(人教A版教材习题改编)如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,ACB45°,CAB105°后,就可以计算出A,B两点的距离为() A50 m B50 m C25 m D. m15从A处望B处的仰角为,从B处望A处的俯角为,则,的关系为() A B C90° D180°16若点A在点C的北偏东30°,点B在点C的南偏东60°,且ACBC,则点A在点B的() A北偏东15° B北偏西15° C北偏东10° D北偏西10°17一船向正北航行,望见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,接着航行半小时后,望见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是每小时() A5海里 B5海里C10海里 D10海里18海上有A,B,C三个小岛,测得A,B两岛相距10海里,BAC60°,ABC75°,则B,C间的距离是_海里19.如图,甲船以每小时30海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处,此时两船相距10海里问:乙船每小时航行多少海里? 参考答案例题答案题型一 正弦, 余弦定理【例题1】 解 B=45°90°且asinBba,ABC有两解.由正弦定理得sinA= =,则A为60°或120°.当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°,c=.当A=120°时,C=180°-(A+B)=15°,c=.故在ABC中,A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=.【例题2】 解(1)由余弦定理知:cosB=,cosC=.将上式代入=-得:·=-整理得:a2+c2-b2=-accosB= =-B为三角形的内角,B= EMBED Equation.3 .(2)将b=,a+c=4,B= EMBED Equation.3 代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosBb2=16-2ac,ac=3.SABC=acsinB=.【例题3】解(1)cosA=-, 又A(0°,180°),A=120°. (2)由a=,得b2+c2=3-bc,又b2+c22bc(当且仅当c=b时取等号),3-bc2bc(当且仅当c=b时取等号). 即当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为1. (3)由正弦定理得:2R, = = = 【变式】1. 2. 解(1)由正弦定理得.B=60°,C=75°,A=45°,b=4.(2)由正弦定理得sinC=1.又30°C150°,C=90°.A=180°-(B+C)=60°,a=4.3. 104. 解 依题意得absinC=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosC.所以,absinC=2ab(1+cosC),即sinC=2+2cosC,所以2sincos =4cos2化简得:tan=2.从而tanC=-.5. 6. 或 7. 解 (1)由余弦定理和已知条件,得a2+b2-ab=4.又因为ABC的面积等于,所以absinC=,所以ab=4.联立方程组 解得.(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA,当cosA=0时,A=,B=,a=,b=.当cosA0时,得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,联立方程组 解得所以ABC的面积S=absinC=.题型二 推断三角形形态 【例题】 解方法一 已知等式可化为a2sin(A-B)-sin(A+B)=b2-sin(A+B)-sin(A-B)2a2cosAsinB=2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化为:sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinAsinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0sin2A=sin2B,由02A,2B2得2A=2B或2A=-2B,即A=B或A=-B,ABC为等腰或直角三角形.方法二 同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB由正, 余弦定理,可得a2b= b2a a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0a=b或a2+b2=c2ABC为等腰或直角三角形.【变式】 解 方法一 2cos2B-8cosB+5=0,2(2cos2B-1)-8cosB+5=0.4cos2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=或cosB=(舍去).cosB=.0B,B=.a,b,c成等差数列,a+c=2b.cosB=,化简得a2+c2-2ac=0,解得a=c.又B=,ABC是等边三角形.方法二 2cos2B-8cosB+5=0,2(2cos2B-1)-8cosB+5=0.4cos2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=或cosB=(舍去).cosB=,0B,B=,a,b,c成等差数列,a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin=.sinA+sin=,sinA+sin-cos=.化简得sinA+cosA=,sin =1.A+=,A=,C=,ABC为等边三角形.题型三 测量距离问题【例题】解在ACD中,已知CDa,ACD60°,ADC60°,所以ACa.BCD30°,BDC105°CBD45°在BCD中,由正弦定理可得BCa.在ABC中,已经求得AC和BC,又因为ACB30°,所以利用余弦定理可以求得A,B两点之间的距离为ABa.【变式】解在ACD中,DAC30°,ADC60°DAC30°,所以CDAC0.1 km.又BCD180°60°60°60°,故CB是CAD底边AD的中垂线,所以BDBA.又ABC15°在ABC中,所以AB(km),同理,BD(km)故B, D的距离为 km.题型四测量高度问题【例题】解如图,设CDx m,则AEx20 m,tan 60°,BDx (m)在AEC中,x20x,解得x10(3) m故山高CD为10(3) m. 【变式】解在BCD中,CBD,由正弦定理得,所以BC在RtABC中,ABBCtanACB.题型五正, 余弦定理在平面几何中的综合应用【例题】解在ABC中,AB5,AC9,BCA30°.由正弦定理,得,sinABC.ADBC,BAD180°ABC,于是sinBADsinABC.同理,在ABD中,AB5,sinBAD,ADB45°,由正弦定理:,解得BD.故BD的长为.【变式】解在ADC中,AD10,AC14,DC6,由余弦定理得cosADC,ADC120°,ADB60°.在ABD中,AD10,B45°,ADB60°,由正弦定理得,AB5巩固训练1. 等腰;2. ;3. 45°;4. ;5. 60°;6. 45°或135°;7. ;8. 或2;9. 10.(1)证明 因为a2=b(b+c),即a2=b2+bc,所以在ABC中,由余弦定理可得,cosB=,所以sinA=sin2B,故A=2B.(2)解 因为a=b,所以=,由a2=b(b+c)可得c=2b,cosB=,所以B=30°,A=2B=60°,C=90°.所以ABC为直角三角形.11. 解 (1)由cosB=-,得sinB=,由cosC=,得sinC=.所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=.(2)由SABC=,得×AB×AC×sinA=. 由(1)知sinA=,故AB×AC=65.又AC=AB,故AB2=65,AB=.所以BC=.12. 解 (1)设x1, x2为方程ax2-2x-b=0的两根,则x1+x2=,x1·x2=-.(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=+=4.a2+b2-c2=ab.又cosC=,又C(0°,180°),C=60°.(2)S=absinC=10,ab=40 由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,即c2=(a+b)2-2ab(1+cos60°).72=(a+b)2-2×40×.a+b=13.又ab 由,得a=8,b=5.13. 解 (1)A+B+C=180°,由4sin2-cos2C=,得4cos2-cos2C=,4·-(2cos2C-1)=,整理,得4cos2C-4cosC+1=0,解得cosC=,0°C180°,C=60°.(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,即7=a2+b2-ab,7=(a+b)2-3ab,由条件a+b=5,得7=25-3ab,ab=6,SABC=absinC=×6×=.14.解析由正弦定理得,又B30°AB50(m)答案A15.解析依据仰角与俯角的定义易知.答案B16.解析如图答案B17.解析如图所示,依题意有BAC60°,BAD75°,所以CADCDA15°,从而CDCA10(海里),在RtABC中,得AB5(海里),于是这艘船的速度是10(海里/时)答案C18.解析由正弦定理,知.解得BC5(海里)答案519.如图,连接A1B2由已知A2B210,A1A230×10,A1A2A2B2.又A1A2B2180°120°60°,A1A2B2是等边三角形,A1B2A1A210.由已知,A1B120,B1A1B2105°60°45°,(8分)在A1B2B1中,由余弦定理得B1BA1BA1B2A1B1·A1B2·cos 45°202(10)22×20×10×200,B1B210.因此,乙船的速度为×6030(海里/时)(12分)