江苏省盐城中学高中数学立体几何知识点总结2015.docx

高一立体几何知识梳理盐城中学高一数学组一 、空间几何体（一） 空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体其中，这条直线称为旋转体的轴（二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义：由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱图1-1 棱柱 1.2 棱柱的分类棱柱底面是四边形四棱柱底面是平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面是矩形长方体底面是正方形正四棱柱棱长都相等正方体性质：、侧面都是平行四边形，且各侧棱相互平行且相等； 、两底面是全等多边形且相互平行；、平行于底面的截面和底面全等； 棱柱的面积和体积公式（是底周长，是高）S直棱柱表面 = c· 2S底V棱柱 = S底 ·h2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 （1） 棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥（2）正棱锥：假如有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥 2.2 正棱锥的结构特征 、 平行于底面的截面是与底面相像的正多边形，相像比等于顶点到截面的距离与顶点究竟面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；、两个特征三角形：（1）（包含棱锥的高、斜高和底面内切圆半径）；（2）（包含棱锥的高、侧棱和底面外接圆半径） ABCDPOH正棱锥侧面积：（为底周长，为斜高）体积：（为底面积，为高）正四面体：各条棱长都相等的三棱锥叫正四面体对于棱长为正四面体的问题可将它补成一个边长为的正方体问题对棱间的距离为（正方体的边长）正四面体的高（）正四面体的体积为（）正四面体的中心究竟面与顶点的距离之比为（）3 、棱台的结构特征3.1 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台3.2 正棱台的结构特征 （1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；（2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形； （3）正棱台的对角面也是等腰梯形； （4）各侧棱的延长线交于一点4 、圆柱的结构特征4.1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱4.2 圆柱的性质（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆； （2）过轴的截面(轴截面)是全等的矩形4.3 圆柱的侧面绽开图：圆柱的侧面绽开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形4.4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面 = 2·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高)V圆柱 = S底h = r2h5、圆锥的结构特征5.1 圆锥的定义：以直角三角形的始终角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥5.2 圆锥的结构特征 （1） 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点究竟面的距离之比；图1-5 圆锥 （2）轴截面是等腰三角形； （3）母线的平方等于底面半径与高的平方和： l2 = r2 + h2 5.3 圆锥的侧面绽开图：圆锥的侧面绽开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形6、圆台的结构特征 6.1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台 6.2 圆台的结构特征 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆； 圆台的截面是等腰梯形； 圆台常常补成圆锥，然后利用相像三角形进行探讨 6.3 圆台的面积和体积公式 S圆台侧 = ·(R + r)·l (r、R为上下底面半径) V圆台 = 1/3 ( r2 + R2 + r R) h (h为圆台的高) 7 球的结构特征 7.1 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体 7-2 球的结构特征 球心与截面圆心的连线垂直于截面； 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r2 = R2 d2 留意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线； 球外切正方体，球直径等于正方体的边长 7-3 球的面积和体积公式 S球面 = 4 R2 (R为球半径)； V球 = 4/3 R3（三）空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积 ： 圆锥的表面积：圆台的表面积： 球的表面积：空间几何体的体积柱体的体积 ：；锥体的体积 ： 台体的体积 ：；球体的体积： 斜二测画法：（1）平行于坐标轴的线依旧平行于坐标轴；（2）平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；二 、点、直线、平面之间的关系（一）、立体几何网络图：公理4线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直*三垂线逆定理*三垂线定理1、线线平行的推断： （1）平行于同始终线的两直线平行（3）假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行（6）假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 （12）垂直于同一平面的两直线平行2、线线垂直的推断： （7）三垂线定理：在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（8）三垂线逆定理：在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直如图，已知，斜线在平面内的射影为，a是平面内一条直线 三垂线定理：若a，则a即垂直射影则垂直斜线 三垂线定理逆定理：若a，则a即垂直斜线则垂直射影（10）若始终线垂直于一个平面，则这条直线垂直于平面内全部直线补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条3、线面平行的推断： （2）假如平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（5）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面判定定理：性质定理：推断或证明线面平行的方法 利用定义(反证法)：，则 (用于推断)； 利用判定定理：线线平行线面平行 (用于证明)； 利用平面的平行：面面平行线面平行 (用于证明)； 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于推断)2 线面斜交和线面角： = A2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角 2.2 线面角的范围：0°，90°留意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，=0°；当直线垂直于平面时，=90°4、线面垂直的推断： （9）假如始终线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面（11）假如两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面（14）始终线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面（16）假如两个平面垂直，那么在个平面内垂直于交线的直线必垂直于另个平面判定定理：性质定理：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内随意一条直线即： （2）垂直于同一平面的两直线平行 即：推断或证明线面垂直的方法 利用定义，用反证法证明 利用判定定理证明 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个 假如两平面垂直，在一平面内有始终线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面5、面面平行的推断： （4）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行（13）垂直于同一条直线的两个平面平行6、面面垂直的推断： （15）一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面相互垂直判定定理： 性质定理：（1）若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；（2）（二）、其他定理结论：（1）确定平面的条件：不共线的三点；直线和直线外一点；两条相交直线； 两条平行直线；（2）直线与直线的位置关系： 相交 ； 平行 ； 异面 ；直线与平面的位置关系： 在平面内 ； 平行 ； 相交（垂直是它的特别状况） ；平面与平面的位置关系： 相交 ； 平行 ；（3）等角定理：假如两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；假如两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短（5）最小角定理：斜线与平面内全部直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角（6）异面直线的判定：反证法；过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线（7）过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内（8）假如直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线（三）、唯一性定理结论：（1）过已知点，有且只能作始终线和已知平面垂直（2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行（3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行四、空间角的求法：（全部角的问题最终都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）（1）异面直线所成的角：平移转化，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角异面直线所成角的范围：；（2）线面所成的角：线面平行或直线在平面内：线面所成的角为； 线面垂直：线面所成的角为；斜线与平面所成的角：射影转化，即转化为斜线与它在平面内的射影所成的角范围；线面所成的角范围（3）二面角：关键是找出二面角的平面角，二面角的平面角的范围：；五、距离的求法：（1）点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算留意：求点到面的距离的方法：直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）；转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）；体积法：利用三棱锥体积公式