四年级奥数详解答案 第4讲 幻方.docx

四年级奥数详解答案 第4讲第四讲 幻方一、学问概要 1. 幻方是一种特别的数阵图，就是把一个正(长)方形平均分成若干格，要求把若干个连续的自然数填入方格中，且使每行、每列、每条对角线上的数的和都相等。这个“相等的和”就叫幻和。9个方格(3×3个)的叫三阶幻方，16个方格(4×4)的叫四阶幻方，25个方格(5×5)的就叫五阶幻方，依此类推。 2. 三阶幻方的特点：幻和二九个数之和÷3幻和二中心数×3九个连续的自然数中，第五个数是中心数，第一、三、七、九是中心数四角上的数(留意：最大数和最小数填在相对的位置上)二、经典例题精讲 1. 将19九个数字填在图中的方格中，使每行、每列、每条对角线上的数的和都相等。 分析指导：这是一个三阶幻方，中心数(5)填中间，第一、三、七、九四个数就中心数四角上的数。如图所示：(这里我们不难看出一个特点：最大数都填在最小数的相对位置上。如：82 19) 2. 将116这十六个数分别填在四阶方阵的各个小格中，使其构成一个四阶幻方。 分析指导：这是一个四阶幻方。四阶幻方有个特别的方法保持两条对角线上的数不变(先按从左到右、从上到下的依次把116填好)，然后，1列和4列、2列和3例相互对换，最终，再将1行和4行、2行和3行对调。这样两次对换后，四阶幻方就成了。如下图所示。 这种方法，也可以这样理解：除了两条对角线上的数，剩下的四列、四行的数就构成两个重叠的矩形，8个数字就在8个顶点位置，然后按矩形对角线方向交换位置即成。如下图所示： 3.将19这九个自然数填入图中的方格内，使每行、每列及对角线上的三个数中，两端之和减去中间数所得差都相等(差阵图)。 分析指导：这是个特别的数阵图，叫差阵图。这里有个数的方法从19这九个自然数中选数，依据口诀“二四为足，六八为肩，左三右七，上九下一，五居中间”，把数填入每个方格中即成。结果如下图所示： 4.将113中的12个数字，填入图中的空格中，使每一横行四个数之和相等，每竖列三数之和也相等。 分析指导：设每行的和为S，每列的和为A，113中没选入的那个数为a，则依题意有：3S=4A=(1+2+3+13)-a=91-a 3和4互为质数 (91-a)肯定是12的整数倍 12的整数倍有：12、24、36、48、60、72、84 a=7 从而可知：S=(91-7)÷3=28，A=80÷4=21；四数之和为28的有：13+10+4+1 12+11+3+2 9+8+6+5 ；三数之和为21的有：13+6+2 12+5+4 11+9+1 10+8+3。 结果填法，如图所示 三、练习稳固与拓展1.把311这九个数填入图中的方格中，使它构成一个九宫差阵(即每行、每条、每条对角线上的数，两端之和减去中间数差都相等。) 2.在图中的空格内各填入一个数字，使得每行、每列、每条对角线上方格中的四个数都是1、2、3、4 3.在下列各图的空格里，填上适当的数，使横行、竖行及两条对角线上三个数的和都相等。(数字不能重复) 4.将4、5、6、10、11、16、17、18这九个数填入九宫格中，使每行、每列及每条对角线上三个数的差都相等。见下图： 5.将2129这九个数填入下图中，使每行、每列、每对角线上三个数的差都相等。 6.将3、6、9、12、15、18、21、24、27这九个数填入九宫格里，使每行、每列及每条对角线上三个数的和都相等。 7.将217这十六个数填入下面各方格里，使每行、每列及每对角线上四个数的和都相等。 8.将1、3、5、7、929、31这十六个奇数填入图中的方格里，使每行、每列及每对角线上四个数的和都相等。 9.将116这些自然数填入图中的内，使五个正方形的四个顶点上的内的数之和都等于34. 10.将19这九个数填入图中的空格中，使每二行组成的三位数是第一行的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍。 第四讲 <练习稳固与拓展>答案1.依据3、4、5、611的依次，依据“二四为足，六八为肩，左3右7，上九下一，五层中部”的口诀填即成。 2.这道题有两个打破口：其一是第一行，因为两端为1、2，加上第三列有个“3”，所以可以确定第二格为4，第三格为3，其二是第四列，由于第三行有个“3”，因此，第四列中间上格填“3”无疑，下格是4。 3.(提示：幻和要为3的倍数) 4.提示：4+5+6+10+11+12+16+17+18=99 幻和=33 5.提示：21+22+29=(21+29)×9÷2=225 幻和=225÷3=75 6.提示：3+6+9+12+15+18+21+24+27=135 幻和=135÷3=45 7.提示：(2+3+17)=152 幻和=152÷4=38 见图： 8. 1+3+5+31=256 幻和=256÷4=64 9. (1+2+3+16)=136 四个顶点上的数的和为136÷4=34(初步确定后再作调整，使中间那个重复的正方形的四数之和也等于34。 10.提示：(1+9)×9÷2=45 幻和=45÷3=15 根本确定位置再适当调整，考虑倍数关系，第一行的“个位”有两种可能：2或3，相应第二行的“个位”是6或4，第三行的“个位”是9或6，经尝试，2、4、6合符要求。