有理数知识点梳理归纳和习题练习[3].docx

有理数学问点梳理一、正数和负数 数和负数的概念负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数留意：字母a可以表示随意数，当a表示正数时，是负数；当a表示负数时，是正数；当a表示0时，仍是0。假设出推断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如就不能做出简洁推断正数有时也可以在前面加“+，有时“+省略不写。所以省略“+的正数的符号是正号。2. 具有相反意义的量假设正数表示某种意义的量，那么负数可以表示具有及该正数相反意义的量，比方：零上8表示为：+8；零下8表示为：-80表示“ 没有，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；0是正数和负数的分界限，0既不是正数，也不是负数。如：整数。二、有理数1. 有理数的概念正整数、0、负整数统称为整数0和正整数统称为自然数正分数和负分数统称为分数正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。理解：只有能化成分数的数才是有理数。是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。留意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2468也是偶数，-135也是奇数。2. 有理数的分类按有理数的意义分类 按正、负来分 正整数 正整数 整数 0 正有理数 负整数 正分数有理数 有理数 0 0不能无视 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数总结：正整数、0统称为非负整数也叫自然数 负整数、0统称为非正整数 正有理数、0统称为非负有理数 负有理数、0统称为非正有理数三、数轴 轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。留意：数轴是一条向两端无限延长的直线；原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不行；同一数轴上的单位长度要统一；数轴的三要素都是依据实际须要规定的。全部的有理数都可以用数轴上的点来表示：正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。全部的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数及数轴上的点不是一一对应关系。如，数轴上的点不是有理数在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；两个负数比较，间隔 原点远的数比间隔 原点近的数小。4.数轴上特别的最大小数最小的自然数是0，无最大的自然数；最小的正整数是1，无最大的正整数；最大的负整数是-1，无最小的负整数5可以表示什么数a>0表示a是正数；反之，a是正数，那么a>0；a<0表示a是负数；反之，a是负数，那么a<00表示a是0；反之，a是0,，那么0依据点的挪动，向左挪动几个单位长度那么减去几，向右挪动几个单位长度那么加上几，从而得到所需的点的位置。四、相反数相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。留意：相反数是成对出现的；相反数只有符号不同，假设一个为正，那么另一个为负；0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。任何数都有相反数，且只有一个；0的相反数是0；互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，那么0互为相反数的非零两数商为负1，即a，b互为相反数，那么 -1(a00)在数轴上及原点间隔 相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点0除外在原点两旁，并且及原点的间隔 相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-即可求得如：5的相反数是-5；求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-，然后化简如；5的相反数是-5。化简得-5；求前面带“-的单个数，也应先用括号括起来再添“-，然后化简(如：-5的相反数是-5，化简得5)一般地，数a 的相反数是 ，其中a是随意有理数，可以是正数、负数或0。当a>0时，<0正数的相反数是负数当a<0时，>0负数的相反数是正数当0时，0，0的相反数是0多重符号的化简规律:“+号的个数不影响化简的结果，可以干脆省略；“-号的个数确定最终化简结果；即：“-的个数是奇数时，结果为负，“-的个数是偶数时，结果为正。五、确定值 确定值的几何定义一般地，数轴上表示数a的点及原点的间隔 叫做a确实定值，记作。2.确定值的代数定义确定值的代数定义可用字母表示为(1)正数确实定值是它本身；(1)假设a>0，那么；(2)一个负数确实定值是它的相反数；(2)假设a<0，那么；(3)0确实定值是0.(3)假设0，那么0。可归纳为：a0，<> 非负数确实定值等于本身；确定值等于本身的数是非负数。a0，<> 非正数确实定值等于其相反数；确定值等于其相反数的数是非正数。任何一个有理数确实定值都是非负数，也就是说确定值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有0。即 0确实定值是0；确定值是0的数是0.即：0 <> 0；一个数确实定值是非负数，确定值最小的数是0.即：0；任何数确实定值都不小于原数。即：a；确定值是一样正数的数有两个，它们互为相反数。即：假设a>0，那么±a；互为相反数的两数确实定值相等。即：或假设0，那么；确定值相等的两数相等或互为相反数。即：，那么或；假设几个数确实定值的和等于0，那么这几个数就同时为0。即0，那么0且0。非负数的常用性质：假设几个非负数的和为0，那么有且只有这几个非负数同时为0利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；利用确定值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，确定值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。当a0时， ； 当a0时， 6.一个数确实定值，求这个数一个数a确实定值就是数轴上表示数a的点到原点的间隔 ，一般地，确定值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，确定值为0的数是0，没有确定值为负数的数。六、有理数的加减法加法法那么同号两数相加，取一样的符号，并把确定值相加；确定值不相等的异号两数相加，取确定值较大的加数的符号，并用较大确实定值减去较小确实定值；互为相反数的两数相加，和为零；一个数及零相加，仍得这个数。加法交换律：加法结合律：()()在运用运算律时，确定要依据须要灵敏运用，以到达化简的目的，通常有以下规律：互为相反数的两个数先相加“相反数结合法；符号一样的两个数先相加“同号结合法；分母一样的数先相加“同分母结合法；几个数相加得到整数，先相加“凑整法；整数及整数、小数及小数相加“同形结合法。3. 加法性质加法性质可用字母表示为(1)一个数加正数后的和比原数大当b>0时，>a(2)加负数后的和比原数小当b<0时，<a(3)加0后的和等于原数当0时，减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：()。在有理数加减法混合运算中，依据有理数减法法那么，可以将减法转化成加法后，再依据加法法那么进展计算。在算式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)8-7-65.算式的读法：按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和按运算意义读作“负8减7减6加56.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：.把符号一样的加数相结合同号结合法 (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)解：原式33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) 将减法转换成加法33+18-15-1+23 省略加号和括号=(-33-15-1)+(18+23) 把符号一样的加数相结合49+41 运用加法法那么一进展运算8 运用加法法那么二进展运算.把和为整数的加数相结合 凑整法 (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)解：原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) 将减法转换成加法=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 省略加号和括号=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 把和为整数的加数相结合=4-10+3.8 运用加法法那么进展运算=7.8-10 把符号一样的加数相结合，并进展运算2.2 得出结论.把分母一样或便于通分的加数相结合同分母结合法解：原式=()+()+()1+0-1.既有小数又有分数的运算要统一后再结合先统一后结合 (+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25)解：原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)3-3+10-1=(3-1)+(-3)+10=2-3+103+13=10.把带分数拆分后再结合先拆分后结合-3+10-12+4解：原式=(-3+10-12+4)+()+(-)11-.分组结合2-3-4+5+6-7-8+9+66-67-68+69解：原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(66-67-68+69)=0.先拆项后结合1+3+5+7+99-2+4+6+8+100七、有理数的乘除法法那么一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把确定值相乘；“同号得正，异号得负专指“两数相乘的状况，假设因数超过两个，就必需运用法那么三法那么二：任何数同0相乘，都得0；法那么三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；法那么四：几个数相乘，假设其中有因数为0,那么积等于0.乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1a0，就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。留意：0没有倒数；求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。求一个数的倒数，不变更这个数的性质；倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即a××a乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(a×b) ××(b×c).乘法支配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a×()××c1除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。2两数相除，同号得正，异号得负，并把确定值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得01乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最终求出结果。2有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，那么依据先乘除，后加减的依次进展。八、有理数的乘方求n个一样因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在中，a叫做底数，n叫做指数。1负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。2正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。九、有理数的混合运算做有理数的混合运算时，应留意以下运算依次：1.先乘方，再乘除，最终加减；2.同级运算，从左到右进展；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进展。十、科学记数法把一个大于10的数表示成 的形式其中， n是正整数，这种记数法是科学记数法。根底训练一填空题计算：、平方得的数是；立方得64的数是.、视察下面一列数的规律并填空：0，3，8，15，24，.用“、“、“号填空:1； 2；3；4。的值是。数轴上表示数和表示的两点之间的间隔 是。假设，那么。平方等于它本身的有理数是，立方等于它本身的有理数是。.我国的国土面积约为九佰六十万平方千米,用科学记数法写成约为.、某数确实定值是5，那么这个数是 。134756 保存四个有效数字、( )216，()3 。、一家电脑公司仓库原有电脑100台，一个星期调入、调出的电脑记录是：调入38台，调出42台，调入27台，调出33台，调出40台，那么这个仓库现有电脑 台假设2+3=0，那么确定值大于2，且小于4的整数有x平方的3倍及-5的差，用代数式表示为，当1时，代数式的值为假设m，n互为相反数，那么1视察以下依次排列的等式： 9×0+1=1； 9×1+2=11； 9×2+3=21； 9×3+4=31； 9×4+5=41； 揣测第n个等式n为正整数应为如下图，一个点从数轴上的原点开始，先向右挪动3单位长度，再向左挪动5个单位长度，可以看到终点表示的数是-2，点A，B是数轴上的点，请参照图1-8并思索，完成以下各题: 1假设点A表示数-3，将点A向右挪动7个单位长度，那么终点B表示的数是，A，B两点间的间隔 是； 2假设点A表示数3，将A点向左挪动7个单位长度，再向右挪动5个单位长度， 那么终点B表示的数是，A，B两点间的间隔 为；3假设点A表示数-4，将A点向右挪动168个单位长度，再向左挪动256个单位长度，那么终点B表示的数是，A，B两点间的间隔 是用科学计数法表示1200000.-3的相反数是,倒数是,确定值是。14依据要求，用四舍五入法取以下各数的近似值：14249精确到百分位；0.02951精确到0.001。甲潜水员所在高度为45米,乙潜水员在甲的上方15米处,那么乙潜水员的所在的高度是 平方得9的数是，一个数的立方是它本身,那么这个数是、将0 , 1 , 0.2 , , 3各数平方，那么平方后最小的数是、数轴上点A所表示数的数是18 , 点B到点A的间隔 是17, 那么点B所表示的数是、一幢大楼地面上有12层，还有地下室2层，假设把地面上的第一层作为基准，记为0，规定向上为正，那么习惯上将2楼记为 ；地下第一层记作 ；数2的实际意义为 ，数9的实际意义为 。二选择题 、在2，+3.5，0，0.7，11中负分数有 A、l个 B、2个 C、3个 D、4个、以下算式中，积为负数的是 A、 B、 C、 D、以下各式中正确的选项是 A B; C D、以下各组数中，相等的是 A、1及4+3 B、及3 C、及 D、及16、小明近期几次数学测试成果如下：第一次85分，第二次比第一次高8分，第三次比第二 次低12分，第四次又比第三次高10分那么小明第四次测验的成果是 A、90分 B、75分 C、91分 D、81分 、不超过的最大整数是 A、4 B3 C、3 D、4、一家商店一月份把某种商品按进货价进步60出售，到三月份再声称以8折80大拍卖，那么该商品三月份的价格比进货价 A、高12.8 B、低12.8 C、高40 D、高28假设，以下成立的是 A B C D计算的值是 A B C0 D有理数a、b在数轴上的对应的位置如下图： 那么 Aa + b0 Ba + b0; Cab = 0 Dab0. 下面说法正确的有( ) 的相反数是3.14；符号相反的数互为相反数； 3.8的相反数是3.8； 一个数和它的相反数不行能相等；正数及负数互为相反数个个个个以下各组算式中，其值最小的是; ; ; 、以下说法正确的选项是 C.有理数中不是负数就是正数 D.零是自然数，但不是正整数、以下各对数中，数值相等的是 A.27及(2)7 B.32及(3)2 C.3×23及32×2 D.(3)2及(2)3 、假设一个数的平方及这个数的差等于0，那么这个数只能是 A.0 B.1 C、确定值大于或等于1，而小于4的全部的正整数的和是 A. 8 B.7 C、以下代数式中，值确定是正数的是( )Ax2 1| C.(x)2+2 D.x2+1、两个有理数的和为负数，那么这两个有理数 A、均为负数 B、均不为零 C、至少有一正数 D、至少有一负数、计算的结果是 A、21B、35C、35D、29、现规定一种新运算“*：a*，如3*29，那么*3= A、 B、8 C、 D、现有以下四个结论：确定值等于其本身的有理数只有零；相反数等于其本身的有理数只有零；倒数等于其本身的有理数只有1；平方等于其本身的有理数只有1其中正确的有 A0个 B1个 C2个 D大于2个a，b两数在数轴上的位置如下图，以下结论中正确的选项是 Aa>0，b<0 Ba<0，b>0 C>0 D以上均不对以下交换加数位置的变形中，正确的选项是 A1-4+5-4=1-4+4-5 B1-2+3-4=2-1+4-3C4.5- 1.7- 2- - D 近似数2.30×104的有效数字有 A5个 B3个 C2个 D以上都不对假设不是负数，那么a确定是 。A负数 B正数 C正数和零 D负数和零如图，在数轴上有a、b两个有理数，那么以下结论中，不正确的选项是 A<0 B<0 Ca·b<0 D-3>02个有理数相加，假设和为负数，那么加数中负数的个数(A) 有2个 (B)只有1个 (C) 至少1个 (D)也可能是0个假设三个有理数的和为0，那么以下结论正确的选项是 (A)这三个数都是0 (B)最少有两个数是负数 (C)最多有两个正数 (D)这三个数是互为相反数两个数的差是负数,那么这两个数确定是( ) (A) 被减数是正数,减数是负数 (B) 被减数是负数,减数是正数(C) 被减数是负数,减数也是负数以下四个式子：(1) , , (1)3 , (1)8.其中计算结果为1的有( )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个2007年中国月球探测工程的“嫦娥一号卫星将放射升空飞向月球。地球间隔 月球外表约为384000千米，那么这个间隔 用科学记数法保存三个有效数字表示应为 ××××千米 计算，运用哪种运算律可防止通分 (A)加法交换律 (B) 加法结合律(C)乘法交换律 (D) 支配律数a四舍五入后的近似值为3.1, 那么a的取值范围是( )a3.15 a3.15 a3.149 a3.2 一个数的立方就是它本身,那么这个数是( )(A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 1或0或1三计算题能用简便算法的用简便算法18()5(0.25) 282+72÷3637×1÷(919) 425×+(25)×25×()5(79)÷2×(29) 6(1)3(1)÷3×3(3)272(3)-3(1) (8) 2(1)-(3a+5) 4-3×-2-2÷-15()15(0.25)-2÷-4×-14 -1+1-2×24) () () () () () ;29×(-12) 25×(25)×25×()3-(+63)-(-259)-(-41)； 2)-(+10)+(-8)-(+3)；59884； -8721+53-1279+43 ÷ ÷四、比较以下各对数的大小1及 2及 3及 4及、五在数轴上表示数：，按从小到大的依次用连接起来六、4分1将以下各数填入相应的圈内： 2 ，5 ， 0 ，1.5 ，2 ，3 。 正数集合 整数集合2 说出这两个圈的重叠部分表示的是什么数的集合： 。七、：，求的值.5分八(8分)数轴上A, B, C, D四点表示的有理数分别为1, 3, 5, 8(1). 计算以下各点之间的间隔 ： A、B两点, B、C两点,C、D两点,九、画一条数轴，并在数轴上表示：3.5和它的相反数，和它的倒数，确定值等于3的数，最大的负整数和它的平方，并把这些数由小到大用“<号连接起来。十7，3，求的值。十一假设x>0x，y<0，求的值。强化训练. (10分)某中学位于东西方向的人民路上，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东走100米到聪聪家,再向西走150米到青青家,再向西走200米到刚刚家,请问:(1)聪聪家及刚刚家相距多远(2)假设把这条人民路看作一条数轴,以向东为正方向,以校门口为原点,请你在这条数轴上标出他们三家及学校的或许位置(数轴上一格表示50米).(3)聪聪家向西210米是体育场，体育场所在点所表示的数是多少(4)你认为可用什么方法求数轴上两点之间的间隔 学校组织同学到博物馆参观，小明因事没有和同学同时动身，于是打算在学校门口搭乘出租车赶去及同学们会合，出租车的收费标准是：起步价为6元，3千米后每千米收1.2元，缺乏1千米的按1千米计算。请你答复以下问题：1小明乘车3.8千米，应付费元。3小明乘车XX是大于3的整数千米，应付费多少钱？4小明身上仅有10元钱，乘出租车到距学校7千米远的博物馆的车费够不够？请说明理由。、一天小明和冬冬利用温差来测量山峰的高度。冬冬在山脚测得的温度是4，小明此时在山顶测得的温度是2，该地区高度每上升100米，气温下降，问这个山峰有多高？(5分)、下表列出了国外几个城市及北京的时差带正号的数表示同一时刻比北京的时间早的时数。如今的北京时间是上午8001求如今纽约时间是多少？2斌斌如今想给远在巴黎的姑妈打 ，你认为相宜吗？3分城 市时差/ 时纽 约13巴 黎74分某商店营业员每月的根本工资为300元，奖金制度是：每月完成规定指标10000元营业额的，发奖金300元；假设营业额超过规定指标，另奖超额部分营业额的5%，该商店的一名营业员九月份完成营业额13200元，问他九月份的收入为多少元？、淮海商场经理对今年上半年每月的利润作了如下记录：1、2、5、6月盈利分别是33万元、32万元、5万元、28万元，3、4月亏损分别是17.7万元和17.8万元。试用正、负数表示各月的利润，并算出该商场上半年的总利润额。 (6分)、请你扶植算一算在“十·一黄金周期间，淮北市风景区在7天假期中每天旅游的人数变更如下表正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数：日期1日2日3日4日5日6日7日人数变更单位：万人 请推断七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？(2) 假设9月30日的游客人数为2万人，求这7天的游客总人数是多少万人？ 8分 十三拓展题1假设规定符号“的意义是=，求24的值。2= 4，求的值。、小虫从某点O动身在始终线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为单位：厘米：+5 ， 3， +10 ，8， 6， +12， 10问：1小虫是否回到原点O ？2小虫分开动身点O最远是多少厘米？3、在爬行过程中，假设每爬行1厘米嘉奖一粒芝麻，那么小虫共可得到多少粒芝麻？、计算：12345+678+9101112+2005200620072021