正余弦定理知识点经典题有复习资料.docx
正余弦定理1.定理内容：1正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即2余弦定理：三角形中随意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。即：3面积定理：2.利用正余弦定理解三角形：1一边和两角：2两边和其中一边的对角：3两边和它们所夹的角：4三边：正弦定理1在中，A45°，B60°，a2，那么b等于() D22在中，a8，B60°，C75°，那么b等于()A4 B4 C4 3在中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，A60°，a4，b4，那么角B为()A45°或135° B135° C45° D以上答案都不对4在中，abc156，那么等于()A156B651 C615 D不确定解析：选A.由正弦定理知abc156.5在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，假设A105°，B45°，b，那么c()A1 C2 6在中，假设，那么是()A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰三角形或直角三角形7中，1，B30°，那么的面积为() 或 或8的内角A, B, C的对边分别为a, b, c.假设c，b，B120°，那么a等于() B2 9在中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，假设a1，c，C，那么A.10在中，a，b4，A30°，那么.11在中，A30°，B120°，b12，那么ac.12在中，a2，那么的形态为13在中，A60°，a6，b12，S18，那么，c.14中，ABC123，a1，那么.15在中，a3，S4，那么b.16在中，b4，C30°，c2，那么此三角形有组解17如下图，货轮在海上以40 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，那么货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？18 在中，a, b, c分别为角A, B, C的对边，假设a2， C2，求A, B及b, c.19 (2021年高考四川卷)在中，A, B为锐角，角A, B, C所对应的边分别为a, b, c，且 2A， B.(1)求AB的值；(2)假设ab1，求a，b，c的值20 中，60， B C，的面积为15，求边b的长余弦定理源网1在中，假如6，4，那么等于()A6 B2 C3 D42在中，a2，b1，C30°，那么c等于() D23在中，a2b2c2，那么A等于()A60° B45° C120° D150°4在中，A, B, C的对边分别为a, b, c，假设(a2c2b2)，那么B的值为() 或 或5在中，a, b, c分别是A, B, C的对边，那么等于()Aa Bb Cc D以上均不对6假如把直角三角形的三边都增加同样的长度，那么这个新的三角形的形态为()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D由增加的长度确定7锐角三角形中，|4，|1，的面积为，那么·的值为()A2 B2 C4 D48在中，b，c3，B30°，那么a为() B2 或2 D29的三个内角满足2BAC，且1，4，那么边上的中线的长为10中，(1)(1)，求最大角的度数11a, b, c是的三边，S是的面积，假设a4，b5，S5，那么边c的值为12在中， A B C234，那么 A B C.13在中，a3， C，S4，那么b.14的三边长分别为7，5，6，那么·的值为15的三边长分别是a, b, c，且面积S，那么角C.16(2021年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，那么最小角的余弦值为17在中，a，b，a，b是方程x22x20的两根，且2(AB)1，求的长18的周长为1，且 A B C.(1)求边的长；(2)假设的面积为 C，求角C的度数19在中，3， C2 A.(1)求的值；(2)求(2A)的值20在中，(abc)(abc)3，且2 B，确定的形态正弦定理1在中，A45°，B60°，a2，那么b等于() D2解析：选A.应用正弦定理得：，求得b.2在中，a8，B60°，C75°，那么b等于()A4 B4 C4 解析：选45°，由正弦定理得b4.3在中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，A60°，a4，b4，那么角B为()A45°或135° B135° C45° D以上答案都不对得：，又a>b，B<60°，B45°.4在中，abc156，那么等于()A156B651C615 D不确定解析：选A.由正弦定理知abc156.5在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，假设A105°，B45°，b，那么c()A1 C2 解析：选180°105°45°30°，由得c1.6在中，假设，那么是()A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰三角形或直角三角形解析：选D.，2A2B即2A2B或2A2B，即AB，或AB.7中，1，B30°，那么的面积为() 或 或解析：选，求出，C有两解，即C60°或120°，A90°或30°.再由S·可求面积8的内角A, B, C的对边分别为a, b, c.假设c，b，B120°，那么a等于() B2 ，.又C为锐角，那么C30°，A30°，为等腰三角形，ac.9在中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，假设a1，c，C，那么A.解析：由正弦定理得：，所以.又ac，AC，A.答案：10在中，a，b4，A30°，那么.解析：由正弦定理得.答案：11在中，A30°，B120°，b12，那么ac.解析：C180°120°30°30°，ac，由得，a4，ac8.答案：812在中，a2，那么的形态为解析：由正弦定理，得a2R·，b2R·，代入式子a2，得22·2R··，所以2·，即··2·，化简，整理，得(BC)0.0°B180°，0°C180°，180°BC180°，BC0°，BC.答案：等腰三角形13在中，A60°，a6，b12，30°那么，c.解析：由正弦定理得12，又S，×12×60°×c18，c6.答案：12614中，ABC123，a1，那么.解析：由ABC123得，A30°，B60°，C90°，2R2，又a2 A，b2 B，c2 C，2R2.答案：215在中，a3，S4，那么b.解析：依题意，S4，解得b2.答案：216在中，b4，C30°，c2，那么此三角形有组解解析：4×2且c2，c<，此三角形无解答案：017如下图，货轮在海上以40 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，那么货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？解：在中，40×20，140°110°30°，(180°140°)65°105°，所以A180°(30°105°)45°，由正弦定理得10()即货轮到达C点时，与灯塔A的距离是10 .18在中，a, b, c分别为角A, B, C的对边，假设a2， C2，求A, B及b, c.解：由，得，又C(0，)，所以C或C.由 C2，得 C1(BC)，即2 C1(BC)，即2 C(BC)1，变形得 C C1，即(BC)1，所以BC，BC(舍去)，A(BC).由正弦定理，得bc2×2.故A，B，bc2.19(2021年高考四川卷)在中，A, B为锐角，角A, B, C所对应的边分别为a, b, c，且 2A， B.(1)求AB的值；(2)假设ab1，求a，b，c的值解：(1)A, B为锐角， B， B.又 2A122A， A，(AB) B B××.又0AB，AB.(2)由(1)知，C， C.由正弦定理：得abc，即ab，cb.ab1，bb1，b1.a，c.20中，60， B C，的面积为15，求边b的长解：由S C得，15×60× C， C，C30°或150°.又 B C，故BC.当C30°时，B30°，A120°.又60，b2.当C150°时，B150°(舍去)故边b的长为2.余弦定理源网1在中，假如6，4，那么等于()A6B2C3 D4解析：选A.由余弦定理，得 6.2在中，a2，b1，C30°，那么c等于() D2解析：选B.由余弦定理，得c2a2b2222(1)22×2×(1)30°2，c.3在中，a2b2c2，那么A等于()A60° B45°C120° D150°解析：选A，0°A180°，A150°.4在中，A, B, C的对边分别为a, b, c，假设(a2c2b2)，那么B的值为() 或 或解析：选D.由(a2c2b2)，联想到余弦定理，代入得··.明显B，.B或.5在中，a, b, c分别是A, B, C的对边，那么等于()Aa BbCc D以上均不对解析：选·b·c.6假如把直角三角形的三边都增加同样的长度，那么这个新的三角形的形态为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D由增加的长度确定解析：选A.设三边长分别为a，b，c且a2b2c2.设增加的长度为m，那么cmam，cmbm，又(am)2(bm)2a2b22(ab)m2m2c22m2(cm)2，三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形7锐角三角形中，|4，|1，的面积为，那么·的值为()A2 B2C4 D4解析：选|·|·×4×1×，又为锐角三角形，·4×1×2.8在中，b，c3，B30°，那么a为() B2或2 D2解析：选C.在中，由余弦定理得b2a2c22，即3a293a，a23a60，解得a或2.9的三个内角满足2BAC，且1，4，那么边上的中线的长为解析：2BAC，ABC，B.在中， .答案：10中，(1)(1)，求最大角的度数解：(1)(1)，abc(1)(1).设a(1)k，b(1)k，ck(k0)，c边最长，即角C最大由余弦定理，得，又C(0°，180°)，C120°.11a, b, c是的三边，S是的面积，假设a4，b5，S5，那么边c的值为解析：S，C60°或120°.±，又c2a2b22，c221或61，c或.答案：或12在中， A B C234，那么 A B C.解析：由正弦定理abc A B C234，设a2k(k0)，那么b3k，c4k， B，同理可得： A， C， A B C1411(4)答案：1411(4)13在中，a3， C，S4，那么b.解析： C， C.又S4，即·b·3·4，b2.答案：214的三边长分别为7，5，6，那么·的值为解析：在中，·|·|·(B)7×5×()19.答案：1915的三边长分别是a, b, c，且面积S，那么角C.解析：S·，1，C45°.答案：45°16(2021年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，那么最小角的余弦值为解析：设三边长为k1，k，k1(k2，kN)，那么2k4，k3，故三边长分别为2,3,4，最小角的余弦值为.答案：17在中，a，b，a，b是方程x22x20的两根，且2(AB)1，求的长解：ABC且2(AB)1，(C)，即.又a，b是方程x22x20的两根，ab2，2.2222··a2b22()a2b2(ab)2(2)2210，.18的周长为1，且 A B C.(1)求边的长；(2)假设的面积为 C，求角C的度数解：(1)由题意及正弦定理得1，两式相减，得1.(2)由的面积·· C C，得·，由余弦定理得 C，所以C60°.19在中，3， C2 A.(1)求的值；(2)求(2A)的值解：(1)在中，由正弦定理，得22.(2)在中，依据余弦定理，得 A，于是 A.从而 2A2 A， 2A2 A2 A.所以(2A) 2 2.20在中，(abc)(abc)3，且2 B，确定的形态解：由正弦定理，得.由2 B C，有.又依据余弦定理，得 A，所以，即c2b2c2a2，所以ab.又因为(abc)(abc)3，所以(ab)2c23，所以4b2c23b2，所以bc，所以abc，因此为等边三角形
