极坐标和参数方程基础知识及重点题型.docx
中学数学回来课本校本教材24 一根底学问 参数极坐标定义：M是平面上一点，表示OM的长度，是，那么有序实数实数对,叫极径，叫极角；一般地，。2.常见的曲线的极坐标方程1直线过点M,倾斜角为常见的等量关系：正弦定理， EMBED Equation.DSMT4 ；2圆心P半径为R的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理；3圆锥曲线极坐标：，当时，方程表示双曲线；当时，方程表示抛物线；当时，方程表示椭圆.提示：极点是焦点，一般不是直角坐标下的坐标原点。极坐标方程表示的曲线是 双曲线：1圆的参数方程： 2椭圆的参数方程：3直线过点M,倾斜角为的参数方程：即，即注：，据锐角三角函数定义，T几何意义是有向线段的数量；如：将参数方程为参数化为一般方程为 将代入即可，但是；4. 极坐标和直角坐标互化公式： 或，的象限由点(x,y)所在象限确定.1它们互化的条件那么是：极点及原点重合，极轴及x轴正半轴重合. 2将点变成直角坐标，也可以依据几何意义和三角函数的定义获得。5. 极坐标的几个留意点：1极坐标和直角坐标转化的必要条件是具有共同的坐标原点(极点) 如：圆的参数方程为 为参数，假设是圆及轴正半轴的交点，以圆心为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点的圆的切线的极坐标方程。如：抛物线，以焦点F为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求抛物线的极坐标方程。即。2对极坐标中的极径和参数方程中的参数的几何意义相识缺乏如：椭圆的长轴长为6，焦距,过椭圆左焦点F1作始终线，交椭圆于两点M, N，设,当为何值时，MN及椭圆短轴长相等？ 3直角坐标和极坐标一般不要混合运用：如：某曲线的极坐标方程为。1将上述曲线方程化为一般方程；2假设点是该曲线上随意点，求的取值范围。二根本计算：有序实数实数对,叫极径，叫极角；如：点的直角坐标是，那么点的极坐标为 提示：都是点的极坐标.2. 求曲线轨迹的方程步骤： 1建立坐标系；2在曲线上取一点P；3写出等式；4依据几何意义用表示上述等式，并化简留意：；5验证。如：长为的线段，其端点在轴和轴正方向上滑动，从原点作这条线段的垂线，垂足为，求点的轨迹的极坐标方程轴为极轴，再化为直角坐标方程.解：设点的极坐标为，那么，且，点的轨迹的极坐标方程为.由可得， 其直角坐标方程为.3.求轨迹方程的常用方法：干脆法：干脆通过建立, 之间的关系，构成,是求轨迹最根本的方法.待定系数法：可先依据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回方程代入法(相关点法或转移法). 如：从极点作圆的弦,求各弦中点的轨迹方程.解:设所求曲线上的动点的极坐标为,圆上的动点的极坐标为由题设可知,将其代入圆的方程得:.定义法：假如能够确定动点轨迹满意某曲线定义,那么可由曲线定义干脆写出方程.交轨法(参数法)：当动点坐标之间的关系不易干脆找到,也没有相关动点可用时,可考虑将, 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得一般方程.4.参数和极径的几何意义的运用：表示OM的长度；T几何意义是有向线段的数量；如：过点的直线及轴正半轴, 轴正半轴分别交于A B两点，那么AB最小值为 提示：设倾斜角为，那么或AB=，那么， 令，所以，留意：此题可以取倾斜角的补角为 如 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段的长度.解：对此抛物线有，所以抛物线的极坐标方程为，两点的极坐标分别为和， ， .线段的长度为16.-求最值： 如：点是圆上的动点，1求的取值范围；2假设恒成立，求实数的取值范围。.2 .如：在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值.解：设椭圆的参数方程为， EMBED Equation.DSMT4 当，即时，此时所求点为.C.选修4 4 参数方程及极坐标极坐标系的极点及直角坐标系的原点重合，极轴及轴的正半轴重合。假设曲线C1的方程为，曲线C2的方程为。1将C1的方程化为直角坐标方程；2假设C2上的点Q对应的参数为，P为C1上的动点，求PQ的最小值。提示：12当时，得，点到的圆心的距离为(图)xBAOP，所以的最小值为 在极坐标系中，求经过三点O(0，0)，A(2，)，B(，)的圆的极坐标方程解：设是所求圆上的随意一点，那么， 故所求的圆的极坐标方程为 极坐标系的极点及直角坐标系的原点重合，极轴及 EMBED Equation.3 的极坐标方程为.1把直线的极坐标方程化为直角坐标系方程；2为椭圆上一点曲线C的参数方程为，求到直线的距离的最大值.解：1直线l的极坐标方程，那么，即，所以直线l的直角坐标方程为； 2P为椭圆上一点，设，其中，那么P到直线l的距离，其中所以当时，的最大值为 在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为为参数，推断直线和圆的位置关系解：消去参数，得直线的直角坐标方程为； 即，两边同乘以得，得的直角坐标方程为：, 圆心到直线的距离，所以直线和相交曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是为参数1将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；2设直线及轴的交点是,是曲线上一动点,求的最大值.解：1曲线的极坐标方程可化为 又,所以曲线的直角坐标方程为2将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得 令,得,即点的坐标为(2,0). 又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1,0)，半径，那么 所以
