线性代数知识点全归纳.docx
线性代数学问点1, 行列式1. 行列式共有个元素，绽开后有项，可分解为行列式；2. 代数余子式的性质：, 与的大小无关；, 某行列的元素乘以其它行列元素的代数余子式为0；, 某行列的元素乘以该行列元素的代数余子式为；3. 代数余子式与余子式的关系：4. 设行列式：将上, 下翻转或左右翻转，所得行列式为，那么；将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，那么；将主对角线翻转后转置，所得行列式为，那么；将主副角线翻转后，所得行列式为，那么；5. 行列式的重要公式：, 主对角行列式：主对角元素的乘积；, 副对角行列式：副对角元素的乘积；, 上, 下三角行列式：主对角元素的乘积；, 与：副对角元素的乘积；, 拉普拉斯绽开式：, , 范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；, 特征值；6. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；7. 证明的方法：, 反证法；, 构造齐次方程组，证明其有非零解；, 利用秩，证明；, 证明0是其特征值；2, 矩阵8. 是阶可逆矩阵： EMBED Equation.DSMT4 是非奇异矩阵； EMBED Equation.DSMT4 是满秩矩阵 EMBED Equation.DSMT4 的行列向量组线性无关；齐次方程组有非零解； EMBED Equation.DSMT4 ，总有唯一解； EMBED Equation.DSMT4 与等价； EMBED Equation.DSMT4 可表示成假设干个初等矩阵的乘积； EMBED Equation.DSMT4 的特征值全不为0； EMBED Equation.DSMT4 是正定矩阵； EMBED Equation.DSMT4 的行列向量组是的一组基； EMBED Equation.DSMT4 是中某两组基的过渡矩阵；9. 对于阶矩阵： 无条件恒成立；10. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数与；11. 关于分块矩阵的重要结论，其中均, 可逆：假设，那么：, ；主对角分块, ；副对角分块, ；拉普拉斯, ；拉普拉斯3, 矩阵的初等变换与线性方程组12. 一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；等价类：全部与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形态最简洁的矩阵；对于同型矩阵, ，假设；13. 行最简形矩阵：, 只能通过初等行变换获得；, 每行首个非0元素必需为1；, 每行首个非0元素所在列的其他元素必需为0；14. 初等行变换的应用：初等列变换类似，或转置后接受初等行变换、 假设，那么可逆，且；, 对矩阵做初等行变更，当变为时，就变成，即：；, 求解线形方程组：对于个未知数个方程，假如，那么可逆，且；15. 初等矩阵与对角矩阵的概念：, 初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置确定：左乘为初等行矩阵, 右乘为初等列矩阵；, ，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； , 对调两行或两列，符号，且，例如：；, 倍乘某行或某列，符号，且，例如：；, 倍加某行或某列，符号,且，如：；16. 矩阵秩的根本性质：, 假设，那么；, 假设, 可逆，那么；可逆矩阵不影响矩阵的秩, 假如是矩阵，是矩阵，且，那么：, 的列向量全部是齐次方程组解转置运算后的结论；, 假设, 均为阶方阵，那么；17. 三种特殊矩阵的方幂：, 秩为1的矩阵：确定可以分解为列矩阵向量行矩阵向量的形式，再接受结合律；, 型如的矩阵：利用二项绽开式；二项绽开式：；注：, 绽开后有项；, 组合的性质：；, 利用特征值与相像对角化：18. 伴随矩阵：, 伴随矩阵的秩：；, 伴随矩阵的特征值：；19. 关于矩阵秩的描述：, ，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；两句话, ，中有阶子式全部为0；, ，中有阶子式不为0；20. 线性方程组：，其中为矩阵，那么：, 与方程的个数一样，即方程组有个方程；, 与方程组得未知数个数一样，方程组为元方程；21. 线性方程组的求解：, 对增广矩阵进展初等行变换只能运用初等行变换；, 齐次解为对应齐次方程组的解；, 特解：自由变量赋初值后求得；22. 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：, 向量方程，为矩阵，个方程，个未知数, 全部按列分块，其中；, 线性表出, 有解的充要条件：为未知数的个数或维数4, 向量组的线性相关性23. 个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；24. , 向量组的线性相关, 无关有, 无非零解；齐次线性方程组, 向量的线性表出是否有解；线性方程组, 向量组的相互线性表示是否有解；矩阵方程25. 矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组与同解；(例14)26. ；(例15)27. 维向量线性相关的几何意义：, 线性相关 EMBED Equation.DSMT4 ；, 线性相关 EMBED Equation.DSMT4 坐标成比例或共线平行；, 线性相关 EMBED Equation.DSMT4 共面；28. 线性相关与无关的两套定理：假设线性相关，那么必线性相关；假设线性无关，那么必线性无关；向量的个数加加减减，二者为对偶假设维向量组的每个向量上添上个重量，构成维向量组：假设线性无关，那么也线性无关；反之假设线性相关，那么也线性相关；向量组的维数加加减减简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；29. 向量组个数为能由向量组个数为线性表示，且线性无关，那么；向量组能由向量组线性表示，那么； 向量组能由向量组线性表示有解；向量组能由向量组等价30. 方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；, 矩阵行等价：左乘，可逆与同解, 矩阵列等价：右乘，可逆；, 矩阵等价：, 可逆；31. 对于矩阵与：, 假设与行等价，那么与的行秩相等；, 假设与行等价，那么与同解，与的任何对应的列向量组有一样的线性相关性；, 矩阵的初等变换不变更矩阵的秩；, 矩阵的行秩等于列秩；32. 假设，那么：, 的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；, 的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；转置33. 齐次方程组的解确定是的解，【考试中可以干脆作为定理运用，而无需证明】, 只有零解只有零解；, 有非零解确定存在非零解；34. 设向量组可由向量组线性表示为： 其中为，且线性无关，那么组线性无关；与的列向量组具有一样线性相关性必要性：；充分性：反证法注：当时，为方阵，可当作定理运用；35. , 对矩阵，存在，, 的列向量线性无关； , 对矩阵，存在，, 的行向量线性无关；36. 线性相关存在一组不全为0的数，使得成立；定义 EMBED Equation.DSMT4 有非零解，即有非零解； EMBED Equation.DSMT4 ，系数矩阵的秩小于未知数的个数；37. 设的矩阵的秩为，那么元齐次线性方程组的解集的秩为：；38. 假设为的一个解，为的一个根底解系，那么线性无关； 5, 相像矩阵与二次型39. 正交矩阵或定义，性质：, 的列向量都是单位向量，且两两正交，即；, 假设为正交矩阵，那么也为正交阵，且；, 假设, 正交阵，那么也是正交阵；留意：求解正交阵，千万不要遗忘施密特正交化与单位化；40. 施密特正交化：41. 对于一般方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；42. , 与等价 EMBED Equation.DSMT4 经过初等变换得到；，, 可逆；，, 同型；, 与合同，其中可逆；与有一样的正, 负惯性指数；, 与相像；43. 相像确定合同, 合同未必相像；假设为正交矩阵，那么 EMBED Equation.DSMT4 ，合同, 相像的约束条件不同，相像的更严格；44. 为对称阵，那么为二次型矩阵；45. 元二次型为正定：的正惯性指数为；与合同，即存在可逆矩阵，使；的全部特征值均为正数；的各阶依次主子式均大于0；(必要条件)第一章随机事务互斥对立加减功，条件独立乘除清；全概逆概百分比，二项分布是核心；必定事务随意用，选择先试不行能。第二, 三章一维, 二维随机变量1离散问模型，分布列表清，边缘用加乘，条件概率定联合，独立试矩阵2连续必分段，草图细致看，积分是关键，密度微分算3离散先列表，连续后求导；分布要分段，积分画图算第五, 六章数理统计, 参数估计正态方与卡方出，卡方相除变F，假设想得到t分布，一正n卡再相除。样本总体相互换，矩法估计很便利；似然函数分开算，对数求导得零蛋；区间估计有点难，样本函数选在前；分位维数惹人嫌，导出置信U方甜。第七章假设检验检验均值用U-T，分位对称别大意；方差检验有卡方，左窄右宽不稀奇；不管卡方或U-T，维数减一要牢记；代入比拟临界值，拒绝必在否认域！第 8 页
