解三角形的知识点和题型汇总及练习.docx
解三角形的学问点和题型汇总及练习一、学问必备：1直角三角形中各元素间的关系：在ABC中，C90°，ABc，ACb，BCa。（1）三边之间的关系：a2b2c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：AB90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinAcosB，cosAsinB，tanA。2斜三角形中各元素间的关系：在ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：ABC。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等（R为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2b2c22bccosA； b2c2a22cacosB； c2a2b22abcosC。 3三角形的面积公式：（1）ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）absinCbcsinAacsinB；4解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和随意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要留意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在ABC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。（2）断定三角形形态时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.6求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。二、典例解析题型1：正、余弦定理例1（1）在中，已知，解三角形；（2）在中，已知cm，cm，解三角形。题型2：三角形面积例2在中，求的值和的面积。解法一：先解三角方程，求出角A的值。又, 解法二：由计算它的对偶关系式的值。 +得。 得。从而。题型3：三角形中的三角恒等变换问题例3在中，A、B、C所对的边分别是、，已知，则( )A. B. C. D.题型4：正、余弦定理推断三角形形态例4在ABC中，若2cosBsinAsinC，则ABC的形态确定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sinAcosBsinC =sin（AB）=sinAcosB+cosAsinBsin（AB）0，AB题型5：三角形中求值问题例5的三个内角为，求当A为何值时，获得最大值，并求出这个最大值。解析：由A+B+C=，得=，所以有cos =sin。cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin=2(sin )2+ ；当sin = ，即A=时, cosA+2cos获得最大值为。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。题型6：正余弦定理的实际应用例6如图，A,B,C,D都在同一个与程度面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。探究究图中B，D间间隔 与另外哪两点间间隔 相等，然后求B，D的间隔 （计算结果准确到0.01km，1.414，2.449） 解:在ABC中，DAC=30°, ADC=60°DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=180°60°60°=60°，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， 在ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的间隔 约为0.33km。 三、思维总结1解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = ，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要留意解可能有多种状况；（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C。2三角学中的射影定理：在ABC 中，3两内角与其正弦值：在ABC 中，4解三角形问题可能出现一解、两解或无解的状况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来扶植理解”。三、课后训练1.若的三个内角满意，则 （ ）（A）确定是锐角三角形. （B）确定是直角三角形.（C）确定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得，所以角C为钝角2.在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则A=( )（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，所以cosA=，所以A=3003.在中，a=15,b=10,A=60°，则=A B C D 【答案】D【解析】依据正弦定理可得解得，又因为，则，故B为锐角，所以，故D正确.4. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为，b，c，若，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小为（ ）A B C D5. 在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角2B=A+C，且=（ ）A BC D26. 在中，若，则是 （ ）A等边三角形 B等腰三角形 C锐角三角形D直角三角形7. 在中, 已知则 ( ) A 2 B 3 C 4 D 58.若(a+b+c)(b+ca)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ABC是（ ） A直角三角形 B等边三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形9、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinBsinA)x2+(sinAsinC)x +(sinCsinB)=0有等根，那么角B（ ） AB>60° BB60° CB<60° DB 60°10、D,C,B三点在地面同始终线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是, (<),则A点离地面的高度AB等于（ ）ABA B D CC D 11.在中,分别是角的对边,且,则角的大小为 12.A为ABC的一个内角,且sinA+cosA=, 则ABC是_ _三角形.13、在ABC中，若SABC= (a2+b2c2),那么角C=_.14、在ABC中，a =5,b = 4,cos(AB)=,则cosC=_.15.在锐角中，则的值等于 ， 的取值范围为 . 解析 设由正弦定理得由锐角得，又，故，16、在ABC中,求分别满意下列条件的三角形形态： B=60°,b2=ac； b2tanA=a2tanB； sinC= (a2b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(AB).分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可推断三角形的形态. 由余弦定理. 由a=c及B=60°可知ABC为等边三角形. 由A=B或A+B=90oABC为等腰或Rt. ，由正弦定理：再由余弦定理：.由条件变形为.ABC是等腰或Rt. 17.在中，角所对的边分别为且满意（I）求角的大小；（II）求的最大值，并求获得最大值时角的大小解析：（I）由正弦定理得因为所以 （II）又，所以即时 取最大值2 综上所述，的最大值为2，此时18.在中，分别为内角的对边，且 （）求的大小；（）求的最大值.解：（）由已知，依据正弦定理得即 由余弦定理得 故 ，A=120° （）由（）得：故当B=30°时，sinB+sinC获得最大值1 19.在中，内角A、B、C的对边长分别为、，已知，且 求b 解法：在中则由正弦定理及余弦定理有:（角化边） 化简并整理得：.又由已知.解得. 20.在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。 解（I）为锐角， （II）由（I）知， 由得，即又 第 9 页
