北师大版（2019）必修第一册《1.3.2 基本不等式》2021年同步练习卷（附答案详解）.docx
北师大版(2019)必修第一册132基本不等式2021年同步练习卷1.已知a > 0, b > 0,若ab = 1,则a + b的最小值是()A. 5A. 5B.4C. 3D. 212.已知工。0,那么函数丫 = "+W有()A.最小值2 B.最大值2 C.最小值4D.最大值43.已知q > 0, b > 0, q + b = 4,则下列各式中正确的是()A. H3一B.卜工之 1 C. 7ab 2 2a b 4a b4.已知% >0, y > 0, X +- = 8,则'的最大值为() y yA. 2V2B.4C. 6D. - > 1D. 85,若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是62()A. 5B. 10C. 20D. 256 .已知实数q, b满足ab = L则小+炉的最小值为()A. 4B.37 .A.充分不必要条件C.充要条件8 .若% >0,则2 3% % )A.有最大值2 - 43C.有最大值2 + 4百C. 2D. 1“m>4”是“函数/(%)=% +巴(% >0)的最小值大于4”的()XB.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件8 .有最小值2 - 4百D.有最小值2 + 4V39 .若居yeR, 2% + 2" = 1,则x + y的取值范围是()A. (-00,-2 B. (0,1)C. (-0 D. (1,+co)10 .已知a,匕都是正数，若2a + b = 2,则马+q的最小值是() a bA. 5B. 4C.D. I11 .若% >1,则+三的最小值是.X + 112 .已知实数x, y满足/+孙=1,则、2一2孙的最小值为.13 .函数y =空的最小值是.Vxz + 114 .已知a, b E R,且a 2b + l = 0,则2。+2的最小值为.15 .已知x, y都是正数，求证：(1)如果积犯等于定值P,那么当 = y时，和+ y有最小值26；(2)如果和x + y等于定值S,那么当 = y时，积孙有最大值S?.16. (1)用篱笆围一个面积为10。血2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱 笆最短？最短篱笆的长度是多少？(2)用一段长为36根的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园 的面积最大？最大面积是多少？第2页，共7页答案和解析1 .【答案】D【解析】解：因为a>0, b > 0,由基本不等式可知号> 4ab,即q + b > 24ab = 2,当且仅当。=b = 1时等号成立, 所以a+ b的最小值为2,故选：D.利用基本不等式直接计算即可.本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.2 .【答案】A【解析】解：。0,./ > 0,.y = / +3之2,当且仅当第2=3，即 = ±1时取 ,X2X2得.故选4可根据条件，利用基本不等式判断其最值.本题考查基本不等式，关键在于对基本不等式成立的条件的检验，属于基础题.3 .【答案】B【解析】解：因为。>0, b > 0, a + b = 4,rr* 1 . 11/Q+b . a+匕、 1/c ,匕,a、 、 1/c c、 所叱+ B = Z（H +丁）=Z（2+Ab）号（2 + 2） = l,当且仅当Q = b = 2时取等号，B正确，A错误;由基本不等式可知lab < （等¥ = 4,当且仅当a = b = 2时取等号, 乙故< 2, C错误；-> p Z）错误.ab 4故选：B.由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断.本题主要考查了基本不等式及相关结论的应用，属于基础题.4 .【答案】B【解析】解：因为8 = % +匕2户=4 R所以自工2,即入4, y y y yjyy当且仅当x = 立即% = 4, y = l时等号成立， y所以2的最大值为4. y故选：B.由于8 = x +士之2隹=4 E，从而可直接求出2的取值范围即可确定其最大值. y 7 ydyy本题考查基本不等式的运用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题.5 .【答案】D【解析】解：设矩形的一边为初1,则另一边为"(20-2%) = (10-%)血，. y = %(10 - %) < 广+(1°一")2 = 25,当且仅当 = 10 - %,即 = 5时，ymax = 25.2故选：D.设矩形的一边为xm然后求解面积的表达式，利用基本不等式求解最值即可.本题考查函数的实际应用，基本不等式的应用，是基础题.6 .【答案】C【解析】解：由基本不等式可得小+川22ab = 2,当且仅当a = b = 1或a = b = -1时等号成立.故小+炉的最小值为2.故选：C.利用基本不等式结合题意求解代数式的最小值即可.本题主要考查基本不等式求最值的方法，属于基础题.7 .【答案】C【解析】【分析】本题考查充分、必要、充要条件的判断，由基本不等式求取值范围，属于较易题.先利用基本不等式求出相的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断，即 可得到答案.【解答】解：若m > 4, v % > 0, /. /(x) = x + > 2Vm,当且仅当 =巴时取等号，/(%)min = 2，而> 4,充分性成立，若/(%) = % + (%> 0)的最小值大于4,X当m < 0时，函数/(%)在(0,+8)上为增函数，则函数无最小值，当TH > 0时，/(x)min = 23五，2/加> 4,m > 4,必要性成立，所以"m>4"是“函数/(%) = % +依。>0)的最小值大于4”的充要条件.故选：C.8 .【答案】A【解析】解：2 - 3% - ： = 2 - (3% +,因为0,所以2-(3% +,42-2因为0,所以2-(3% +,42-2=2 - 473,第4页，共7页当且仅当3% = 3时，上式取等号， X故2 3% 有最大值2 4V3, X故选：A.2-3%- = 2-(3% + -),利用基本不等式可知2 3% £有最大值. XXX本题考查了基本不等式及其应用，属于基础题.9 .【答案】A【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值的应用问题，属于基础题.利用基本不等式，即可求出+ y的最大值，从而求得x + y的取值范围.【解答】解：因为1 = 2久+ 2丫 - 2,2% 2y =所以2%+y 即+ /工一2,当且仅当2X = 2y = I，即 = y = -1时取“二"，所以 + y的取值范围是(-8, 2.故选：A.10 .【答案】C【解析】解：, a > 0, b > 0, 2a + b = 2,2 , 1 2a+b , 2a+b 5 , b , a、 5 ,仁二 + / 丁+ ，+江5 + 2当且仅当，即Q = b=削寸等号成立故选：C.利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.本题考查了 “乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题.11 .【答案】2V3-1【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.利用基本不等式，即可得解.【解答】解：因为% >-1,所以+ 1>0,所以 + = x + 1 +1 > 2 I(x + 1)工 - 1 = 2V3 - 1,当且仅当 + 1 =x + lX + 1XI v ' x + 1即 =次1时，等号成立,所以1 + W的最小值是2百一1.故答案为：2V3-1.12 .【答案】2遮一 4【解析】解：由2+%y=l,得y = ： 一 %,所以，y2 2xy = 3x2 + 4 > 23x2 4 = 2a/3 4,这里等号能成立. 故答案为：2a/3 4.由/+%y=l,得y =：一心再代入所求，结合基本不等式即可求解结论.本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题.13 .【答案】4【解析】解：令t =则、=佯=+ ：之4,当且仅当t = 2,即 = ±百Vxz+1 t时，7min = 4.所以函数y =篇的最小值是Q故答案为：4.令亡=口不121,然后利用换元法结合基本不等式可求出结果.本题主要考查基本不等式求最值的方法，属于基础题.14 .【答案】V2【解析】解：由Q 2b + 1 = 0得a -2b = -1,所以2a + 4=2。+ 2-2" > 2<2a-2b = V2,当且仅当2a = 2-2匕，即。=一士 b= 七寸取等号， 24所以2"吃的最小值为四，4°故答案为：V2.首先根据题意得到a 2b = -1,再利用基本不等式求解即可.本题考查了基本不等式的应用，属基础题.15 .【答案】解：(1)因为 >0,y >0,且xy = P,所以字之历=诉,所以x + yN 2g 当且仅当 = y时，上式等号成立，所以当 = y时，+ y有最小值2诉；(2)因为 >0, y > 0,且x + y = S,由工中= ：S,所以% 乙乙1,当且仅当 = y时，上式等号成立，所以，当 = y时，积孙有最大值$2.第6页，共7页【解析】（1）利用基本不等式，积定和最小，及基本不等式成立的条件，即可求得答案； （2）利用基本不等式，和定积最大，及基本不等式的成立条件，求得答案.本题考查基本不等式的运算及成立条件，包括积定和最小，和定积最大，考查基本不等 式应用，属于基础题.16.【答案】解：（1）设矩形篱笆的长、宽分别为男勿，ym,则孙= 100,矩形的周长为2（% + y） > 2 - 2xy = 40,（当且仅当 = y = 10时，等号成立），故当这个矩形的边长为10小时，所用篱笆最短，篱笆的长度是40帆；（2）设矩形篱笆的长、宽分别为加2, ym,则j + y=18,矩形的面积为孙 < （学产=81,（当且仅当 = y = 9时，等号成立），故当这个矩形的边长为9加时，菜园的面积最大，为81nl2.【解析】（1）所用篱笆的长度转化为矩形的周长，从而利用基本不等式求最值；（2）设矩形篱笆的长、宽分别为ym,由篱笆的长度知+ y= 18,从而利用基本不 等式求最值.本题考查了基本不等式在实际问题中的应用，考查了转化为数学问题的能力，属于基础 题.
