人教版八年级下册《17.2勾股定理的逆定理》教学设计.docx

17. 2勾股定理的逆定理教学设计内容和教材分析内容为教材第31-33页，17. 2勾股定理的逆定理.“勾股定理的逆定理”这一节，是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直 角三角形的判断定理，它是前面知识的继续和深化.勾股定理的逆定理是初中几 何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一, 在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方 法证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔，所以本节也是本章的 重要内容之一.教学目标.理解勾股定理的逆定理及证明方法并能证明勾股定理的逆定理.理解原命题、 逆命题、逆定理的概念关系.1 .掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直 角三角形.2 .通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展与形成过程.在探究 勾股定理的逆定理的活动中，通过一系列具有探究性的问题，渗透与他人交流、 合作的意识和探究精神.教学重难点及突破重点1 .勾股定理的逆定理及运用.2 .灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题.难点.勾股定理的逆定理的证明.1 .说出一个命题的逆命题及辨别其真假性.教学突破.勾股定理的逆定理的题设实际上是给出了三条边的条件，其形式和勾股定理的 结论形式一致.证明在此条件下的三角形是一个直角三角形，需要构造直角三角 形才能完成，构造直角三角形是解决问题的关键.可以从特例推向一般，设置动 手操作问题.1 .勾股定理的逆定理给出的是判定一个三角形是直角三角形的方法，和前面学过 的一些判定方法不同，它通过计算来做判断.2 .几何中有许多互逆的命题、互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特 征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念.对互逆命题、互逆定理 的概念，理解它们通常困难不大.但对那些不是以“如果 那么.”形式给 出的命题，叙述它们的逆命题有时就会有困难，可以尝试首先把命题变为“如 果那么.”.3 .勾股定理的逆定理可以解决生活中的许多问题.在解决实际问题时，常先画出图形，根据已知条件计算出各边长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是否是 直角三角形，再回答问题.教学设计一、复习导入师:上一节课我们学习了勾股定理，请同学们回忆一下:勾股定理的内容是什么？ 生:如果直角三角形的两条直角边为a、b,斜边为c,那么三边满足的关系为a? +b2= c2.师:勾股定理反映了直角三角形三边间的数量关系，即直角边为a, b斜边为c,则 三边满足a2+b2=c2。（带领学生集体复习勾股定理）.思考:勾股定理的题设、结论 分别是什么？生:题设为直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边为c,结论为a2+b2=c20 师:如果把勾股定理的题设、结论交换一下位置，即如果三角形的三边长a,b,c 满足a2+b2=c2,那么这个三角形是否是直角三角形?本节课我们一起来研究这个 问题.板书课题：17. 2勾股定理的逆定理（设计意图:通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判 断一个三角形为直角三角形，自然地引出勾股定理的逆定理.）二、教学新知1 .发现勾股定理的逆定理.观察发现:师生共同学习古埃及人画直角的方法:把一根长绳打上等距离的13个 结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一 个三角形，其中一个角便是直角。师:相传，我国古人大禹治水也用类似的方法确定直角.下面我们来观察这个三角 形，如果把一个节间距看为一个单位长度，则三角形的边长分别是多少？ 生：3、 4、 5师:三边满足什么关系呢？生：3的平方加4的平方等于5的平方。师:也就是说，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5,满足关系“32+42=52”， 那么围成的三角形是直角三角形.（设计意图：介绍前人经验，启发思考，使学生意识到数学来源于生活实际，激 发兴趣.）师:对于其它的数，如：2.5、6、6.5; 6、8、10它们也满足两个数的平方和等 于第三个数的平方，那么以它们为边长的三角形是否为直角三角形呢?实验操作: 做一做：（1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为 边长（单位：cm）画出三角形： 2. 5, 6, 6.5； 6, 8, 10.（2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数。（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想。教师指导学生按要求画三角形、判断形状、猜想命题.学生展示:画出图形并说明做法.师:根据上面的验证，你会猜想到什么？生:如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.学生回答，教师板书:如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.师:这就是今天我们要学习的命题2.（设计意图:通过活动让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的 度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件，让学生经历测量、 计算、归纳和猜想的过程，了解几何知识的探索过程.）,介绍逆命题的概念师:命题2和之前我们学过的命题1有什么联系呢？生:这两个命题的题设和结论正好相反.师:像这样的两个命题我们叫做互逆命题.教师出示互逆命题的概念，并介绍原命题和逆命题.师:你能举出有关互逆命题的例子吗？学生举手回答，教师及时点评.并让学生思考:在我们大家举出的互逆命题中原命 题和逆命题都成立吗？设计意图：让学生在合作交流的基础上明确互逆命题的概念，在师生互动的过程 中掌握互逆命题的真假性是各自独立的.2 .证明勾股定理的逆定理.师:对于刚才的猜想命题2,你能给出证明吗?它的题设和结论是什么？生:题设是三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,结论是这个三角形是直角三角形.根据题设、结论师生共同写出已知、求证.已知：如图，AABC的三边长a, b, c,满足M+b2=c2.求证：AABC是直角三角形.已知:在ABC, AB=c BC=a CA=b ILa2+b2=c2 求证: ABC是直角三角形证明:画一个ABC，使/ C'=90。，B'C'=a, C A=bZ C'=90。/. A B 2= a2+b2a2+b2=c2Z C'=90。/. A B 2= a2+b2a2+b2=c2在 ABC和ABC中 BC=a=BCf< CA=b=CAI AB=c= A/. A B 2=c2边长取正值/. AB =c/. A B 2=c2边长取正值/. AB =c则 ABC是直角三角形(直角三角形的定义)ABC 全等于ABC (SSS) /. Z C= Z C'=90°小组讨论得出证明思路，证明猜想的正确性.教师适时点拨，总结证明步骤.师:通过刚才的证明，我们可以得出前面的猜想是正确的.正确的命题我们称为真 命题，通过证明的真命题我们称为定理，我们把它称为勾股定理的逆定理.师:要判定一个三角形是直角三角形，只需要知道三边是否满足“两边的平方和 是否等于第三边，即较小的两边的平方和是否等于较长边的平方”。(设计意图：引导学生构造直角三角形，让学生体会这种证明思路的合理性，帮 助学生突破难点.) 4.定理的应用例题解析例1判断由。、b、。组成的三角形是不是宜角三角形:(1) = 15 , b =8 , c=17(2) a = 13 , b =14, c=15分析：由勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直 角三角形，只要看两条较小边K的平方和是否等于最大边 氏的平方。像15,8,17,能够成 为“角：角形一条边 长的三个正整数，称 为勾股数.解：'1524-82 = 225+64=289172=289/. 152+82=172,根据勾股定理的逆定理,这个三角形是直角三角形解:-1 32 + 1 42 = 1 69 + d 96 = 365, 152 = 225,-0. 132 + 142 * -152.二根据勾股定理，这个三角形不星直角三角形.(设计意图:这是利用勾股定理的逆定理进行判断练习，通过练习把陈述性的定 理转换为认知操作，学会用勾股定理及其逆定理判断一个三角形是否为直角三角 形.)练习：客一竭说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗？(1)两条直线平行，同位角相等.逆命题：同位角相等，两条直线平行.成立(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等.逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.不成立(3)对顶角相等.逆命题:如果两个角相等，那么这两个加是对顶角.不成3(4)全等三角形的对应角相等.逆命题：三组角分别相等的两个三加形是全等三用形.不成V.感悟： 个命茎是其命题，它逆命题却不一定是真命题.(设计意图：让学生在规范的解答过程及练习中，提升对勾股定理逆定理的认识, 认识到原命题正确时，逆命题可以成立也可以不成立.)三、巩固应用能力提升己知：如图，四边形ABCD 中，ZB = 90°, AB=3, BC = 4, CD = 12 , AD = 13,求四边形 ABCD的面积？(设计意图：通过规范化的解答过程及练习，提升对勾股定理逆定理的认识以及 实际应用的能力，同时让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的 意识.) 四、总结提升引导学生参照以下问题回顾本节课所学主要内容，并进行相互交流：.(1)勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作用？本节课学了原命题、逆命题等知识，你能说出它们之间的关系吗？在证明勾股定理的逆定理的过程中，我们学到了什么？在应用勾股定理的逆定理时，我们应注意什么问题，常见的勾股数组你记熟 了吗？五、作业布置课本第33页练习第1,2题；习题17.2复习巩固1, 2题。