数学实验报告3.doc
数学实验报告院 系 计算机学院 班 级 2004级二学位 指导教师 张 兴 永 姓 名 田 琳 实 验 目 录1计算32. 求的fourier、Laplace、ztrans变换33矩阵高斯消去法44画出心型线、星型线、双纽线和四叶玫瑰线的图形55求fibonacci数66数据三次拟合曲线67递推公式的稳定性7实验程序:7实验结果:88迭代法的收敛性与收敛速度的比较9实验程序9实验结果119雅可比迭代法与高斯塞德尔法的收敛性与收敛速度11实验结果1310龙格现象的发生、防止和插值效果的比较13结算结果14龙格现象分析19111P129页拟合应用题19实验结果20121课题1数值积分的方法的使用、比较21实验结果2313数据样条插值2414统计应用2515油罐标尺刻度设计27课程体会 致谢31参考书31图表目录错误！未定义书签。1计算程序内容：源程序：s.m；程序清单：function s(x)s=1;for(i=1:8); s=s*cos(2i*x);ends实验结果：S(1)= 3.4160e-004;s(2)= 8.1827e-004;s(pi)=1; s(pi/2)=-1;s(pi/3)= 0.00392. 求的fourier、Laplace、ztrans变换程序内容： fourier、Laplace、ztrans变换源程序：bianhuan.m；程序清单：syms t;f=5*sin(2*t)-3*cos(2*t)fourier_f=fourier(f)laplace_f=laplace(f)ztrans_f=ztrans(f)实验结果：f =5*sin(2*t)-3*cos(2*t)fourier_f =pi*(5*i*Dirac(w+2)-3*Dirac(w+2)-5*i*Dirac(w-2)-3*Dirac(w-2)laplace_f =10/(s2+4)-3*s/(s2+4)ztrans_f =10*z*cos(1)*sin(1)/(-4*z*cos(1)2+z2+2*z+1)-3*(z+1-2*cos(1)2)*z/(-4*z*cos(1)2+z2+2*z+1)3矩阵高斯消去法对矩阵进行高斯消去法变换求三次初等变换的总的等价乘子,并用MATLAB求原来A的行列式、秩和迹源程序 ：gaosi.m程序清单：A=1 0 7;4 1 5;2 -1 9; A0=A;%输入A，并保留一个备份A(2,: ) = -4*A(1,: )+A(2,: )A1=A,B1=A1/A0% 消去A(2,1),求B1A(3,: ) = -2*A(1,: )+A(3,: )A2=A, B2=A2/A1% 消去A(3,1)A(3,: ) = -A(3,2)/A(2,2)*A(2,: )+A(3,: )A3=A,B3=A3/A2% 消去A(3,2)B0 = A3/A0% 求三次初等变换的总的等价乘子det_A=det(A0), rank_a=rank(A0), tr_A=trace(A0),%求原来A的行列式、秩和迹实验结果：det_A = -28rank_a =3tr_A =11 4画出心型线、星型线、双纽线和四叶玫瑰线的图形心形线绘制：Cleart=0:0.001:2*pi;subplot(2,2,1);polar(a, 1+cos(t)subplot(2,2,2);plot(cos(t).3,sin(t).3)subplot(2,2,3);polar(t,abs(sin(t).*cos(t)subplot(2,2,4);polar(t,(cos(2*t).0.5)图像：图表 1四曲线5求fibonacci数图表 2 fib 曲线实验结果：100以内的fibonacci 数：f = 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89实验结果：1000以内的fibonacci数：f= 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89144 233 377 610 987 6数据三次拟合曲线数据：12 34 56 78 99 123 165 198 243 277 353 345 303 288 275的三次拟合程序：nihe3.m图表 3 三次拟合曲线7递推公式的稳定性实验内容： 1P11页试验课题1实验程序:clear;clc;syms x;resualt=zeros(4);N_R=1;a=input('输入a的值:');%-方案1I1=log(a+1)-log(a);for n=1:10 I1=-1*a*I1+1/n; f=xn/(a+x); I0=int(f,'x',0,1); I0=vpa(I0,500); I0=vpa(I0,8); I=vpa(I1,6); wucha1=abs(I0-I1)/I0); wucha1=vpa(wucha1,8) ; db=n I0 I wucha1; if n=1 resualt=db; else resualt=resualt;db; endendresualt%-方案2resualt=zeros(4);N=13;if a>=N/(N+1) I2=(2*a+1)/(2*a*(a+1)*(N+1);else I2=0.5*(1/(a+1)*(N+1)+1/N);endfor n=N:-1:1 f=xn/(a+x); I0=int(f,'x',0,1); I0=vpa(I0,500); I0=vpa(I0,8); I2=(-1*I2+1/n)/a; I=vpa(I2,6); wucha2=abs(I0-I2)/I0); wucha2=vpa(wucha2,8); db=n I0 I wucha2; if n=N resualt=db; else resualt=resualt;db; end endresualt实验结果:输入a的值:0.05 次数 精确值 迭代值 相对误差 1, .84777388, .847774, .22248517e-8 2, .45761131, .457611, .85349539e-8 3, .31045277, .310453, .63500227e-8 4, .23447736, .234477, .68175840e-8 5, .18827613, .188276, .10198168e-7 6, .15725286, .157253, .44935959e-9 7, .13499450, .134994, .10844168e-8 8, .11825028, .118250, .42221299e-7 9, .10519860, .105199, .25088308e-7 10, .94740070e-1, .947401e-1, .13928927e-8 次数 精确值 迭代值 相对误差 13, .72971840e-1, .889587e-1, .21908205 12, .79024729e-1, -.112507, 2.4236878 11, .86172087e-1, 4.06831, 46.211490 10, .94740070e-1, -79.3663, 838.72635 9, .10519860, 1589.55, 15108.966 8, .11825028, -31788.4, 268824.43 7, .13499450, 635772., 4709611.4 6, .15725286, -.127154e8, 80859783. 5, .18827613, .254309e9, .13507216e10 4, .23447736, -.508617e10, .21691531e11 3, .31045277, .101723e12, .32766162e12 2, .45761131, -.203447e13, .44458454e13 1, .84777388, .406894e14, .47995561e14输入a的值:15 次数 精确值 迭代值 相对误差 1, .31922183e-1, .319222e-1, .19912866e-8 2, .21167256e-1, .211673e-1, .21971093e-8 3, .15824494e-1, .158245e-1, .19548773e-8 4, .12632590e-1, .126326e-1, .36732305e-7 5, .10511157e-1, .105112e-1, .37710110e-8 6, .89993133e-2, .899931e-2, .11542747e-6 7, .78674434e-2, .786746e-2, .19750588e-5 8, .69883483e-2, .698812e-2, .33252485e-4 9, .62858867e-2, .628937e-2, .55451370e-3 10, .57116994e-2, .565942e-2, .91538526e-2 次数 精确值 迭代值 相对误差 13, .44830339e-2, .482067e-2, .75313181e-1 12, .48293362e-2, .523418e-2, .83829670e-1 11, .52335998e-2, .571166e-2, .91344598e-1 10, .57116994e-2, .628589e-2, .10052873 9, .62858867e-2, .698835e-2, .11175216 8, .69883483e-2, .786744e-2, .12579441 7, .78674434e-2, .899931e-2, .14386756 6, .89993133e-2, .105112e-1, .16799544 5, .10511157e-1, .126326e-1, .20182674 4, .12632590e-1, .158245e-1, .25267218 3, .15824494e-1, .211673e-1, .33762608 2, .21167256e-1, .319222e-1, .50809264 1, .31922183e-1, .645385e-1, 1.0217452明显,对方案2 计算结果都不可靠.8迭代法的收敛性与收敛速度的比较实验内容： 1P37页试验课题二实验程序clear;clc;syms x;f=x3-sin(x)-12*x+1;resualt=solve('x3-sin(x)-12*x+1','x');disp('Matlab 求根结果:')r=vpa(resualt,8)pause;df=diff(f,'x');x0=input('输入迭代初值:');N=input('输入最多迭代次数:');e=input('输入迭代精度:');for k=1:N f0=subs(f,x0); df0=subs(df,x0); if df0=0 disp('导数为0,停止计算') break; else xx=x0-f0/df0; if abs(xx)<=1 E=abs(xx-x0); else E=abs(x0-xx)/xx); end if E<e disp('牛顿法_计算结果:') x=vpa(xx,8) disp('计算误差为:') error=vpa(abs(xx-r)/r),5) f_x=vpa(subs(f,xx),8) disp('最终迭代次数:') k break; else x0=xx; end endendif k=N disp('经过设置的迭代次数没有收敛,计算失败')endpause;disp('普通迭代法:')disp('迭代式 1:')x0=rand(-4,-3);f1=(12*x+sin(x)-1)(1/3);for k=1:N xx=subs(f1,x0); if abs(xx)<=1 E=abs(xx-x0); else E=abs(x0-xx)/xx); end if E<e disp('-4,-3计算结果:') x=vpa(xx,8) disp('计算误差为:') error=vpa(abs(xx-r)/r),5) f_x=vpa(subs(f,xx),8) disp('最终迭代次数:') k break; else x0=xx; endendif k=N disp('经过设置的迭代次数没有收敛,计算失败')endpause;x0=rand(3,4);f1=(12*x+sin(x)-1)(1/3);for k=1:N xx=subs(f1,x0); if abs(xx)<=1 E=abs(xx-x0); else E=abs(x0-xx)/xx); end if E<e disp('3,4牛顿法_计算结果:') x=vpa(xx,8) disp('计算误差为:') error=vpa(abs(xx-r)/r),5) f_x=vpa(subs(f,xx),8) disp('最终迭代次数:') k break; else x0=xx; endendif k=N disp('经过设置的迭代次数没有收敛,计算失败')endpause;disp('普通迭代法:')disp('迭代式 2:')x0=rand(0,0.2);f1=(12*x+sin(x)-1)(1/3);for k=1:N xx=subs(f1,x0); if abs(xx)<=1 E=abs(xx-x0); else E=abs(x0-xx)/xx); end if E<e disp('0,0.2计算结果:') x=vpa(xx,8) disp('计算误差为:') error=vpa(abs(xx-r)/r),5) f_x=vpa(subs(f,xx),8) disp('最终迭代次数:') k break; else x0=xx; endendif k=N disp('经过设置的迭代次数没有收敛,计算失败')end实验结果函数的图像为：图表 4方案初值迭代次数迭代结果误差牛顿法-35-3.49117880普通迭代（1）-3发散普通迭代（2）-3发散牛顿法353.41012510普通迭代（1）3发散普通迭代（2）3发散牛顿法-14.76963989e-1.74718010e-13牛顿法04.76963989e-10普通迭代（1）02.76964248e-1-.33644973e-53 402.77153212e-1-.24559693e-2普通迭代（2）02.14285360-.85369616图表 59雅可比迭代法与高斯塞德尔法的收敛性与收敛速度实验内容：1P71页试验课题（四），雅可比迭代法与高斯塞德尔迭代法的收敛性与收敛速度。实验程序 ：clear;clc;A=input('输入系数矩阵A:');b1=input('输入矩阵b1:');b2=input('输入矩阵b2:');disp('Matlab计算结果:')x1=inv(A)*b1;X1=vpa(x1,6)x2=inv(A)*b2;X2=vpa(x2,6)L=tril(A);U0=triu(A);U=L-A;L=U0-A;D=A+L+U;pause;N=input('输入最多迭代次数:');disp('雅可比迭代计算结果:')MJ=inv(D)*(L+U);disp('计算b1情况');X0=zeros(sqrt(numel(A),1); %与输入矩阵配置相同的初始值for k=1:N X=MJ*X0+D-1*b1; if(norm(X-X0)<1e-6) b1 disp('计算结果:') X1=vpa(X,6) disp('迭代次数') k AX=vpa(A*X,6) break; else X0=X; endendif k=N disp('迭代没有收敛') endpause;disp('计算b2情况');X0=zeros(sqrt(numel(A),1); %与输入矩阵配置相同的初始值for k=1:N X=MJ*X0+D-1*b2; if(norm(X-X0)<1e-6) b2 disp('计算结果:') X2=vpa(X,6) disp('迭代次数') k AX=vpa(A*X,6) break; else X0=X; endendif k=N disp('迭代没有收敛')endpausedisp('高斯-塞德尔迭代计算结果:')MG=(D-L)-1*U;disp('计算b1情况');X0=zeros(sqrt(numel(A),1); %与输入矩阵配置相同的初始值for k=1:N X=MG*X0+(D-L)-1*b1; if(norm(X-X0)<1e-6) b1 disp('计算结果:') X1=vpa(X,6) disp('迭代次数') k AX=vpa(A*X,6) break; else X0=X; endendif k=N disp('迭代没有收敛')endpause;disp('计算b2情况');X0=zeros(sqrt(numel(A),1); %与输入矩阵配置相同的初始值for k=1:N X=MG*X0+(D-L)-1*b2; if(norm(X-X0)<1e-6) b2 disp('计算结果:') X2=vpa(X,6) disp('迭代次数') k AX=vpa(A*X,6) break; else X0=X; endendif k=N disp('迭代没有收敛')end实验结果1结果：雅可比迭代法计算b1迭代24次，计算b2迭代30次。高斯塞德尔法计算b1迭代15次，计算b2迭代20次。2结果：雅可比迭代法计算计算不收敛。高斯塞德尔法计算b1迭代45次，计算b2迭代52次。3结果为但使用两种方法都不收敛。10龙格现象的发生、防止和插值效果的比较实验内容：1P102页实验课题（一）龙格现象的发生、防止和插值效果的比较实验程序：clear;clc;f='x/(1+x4)'N=input('输入插值次数');xi=zeros(1,N+1);h=10/N;for k=1:N+1 xi(k)=-5+(k-1)*h;endyi=subs(f,xi);xk=zeros(1,41);for k=1:41 xk(k)=-5+0.25*(k-1);end;% 拉格朗日插值算法ykl=zeros(1,41);for i=1:41 ykl(i)=0; for k=1:N+1 t=1; for j=1:N+1 if j=k t=(xk(i)-xi(j)/(xi(k)-xi(j)*t; ykl(i)=ykl(i)+t*yi(k); end end endendsubplot(2,2,1);plot(xk,ykl,'b')title('拉格朗日插值曲线')% 分段线性插值ykx=zeros(1,41);for i=1:41 k=1; k=k+1; while k<N&xk(i)>=xi(k) k=k+1; end ykx(i)=yi(k-1)*(xk(i)-xi(k)/(xi(k-1)-xi(k)+yi(k)*(xk(i)-xi(k-1)/(xi(k)-xi(k-1);endsubplot(2,2,2);plot(xk,ykx,'g')title('分段线性插值曲线')yky=zeros(1,41);yky=interp1(xi,yi,xk,'spline');subplot(2,2,3);plot(xk,yky,'r')title('三次样条插值曲线')disp('计算结果输出:')z=xk' ykl' ykx' yky'结算结果1的十次插值图像为：二十次插值图像：插值顺序：，拉格朗日插值、分段线形插值、I型三次样条插值： 十次插值： -5.0000 -0.0799 -0.0080 -0.0080 -4.7500 2.7400 -0.0099 -0.0007 -4.5000 2.3631 -0.0118 -0.0011 -4.2500 1.0023 -0.0137 -0.0068 -4.0000 -0.2309 -0.0156 -0.0156 -3.7500 -0.9262 -0.0208 -0.0252 -3.5000 -1.0791 -0.0261 -0.0334 -3.2500 -0.8821 -0.0313 -0.0380 -3.0000 -0.5846 -0.0366 -0.0366 -2.7500 -0.4067 -0.0569 -0.0300 -2.5000 -0.4943 -0.0771 -0.0309 -2.2500 -0.9042 -0.0974 -0.0549 -2.0000 -1.6096 -0.1176 -0.1176 -1.7500 -2.5185 -0.2132 -0.2259 -1.5000 -3.4987 -0.3088 -0.3508 -1.2500 -4.4042 -0.4044 -0.4547 -1.0000 -5.0994 -0.5000 -0.5000 -0.7500 -5.4794 -0.3750 -0.4593 -0.5000 -5.4828 -0.2500 -0.3463二十次插值： -0.2500 -5.0987 -0.1250 -0.1852 0 -4.3660 0 0 0.2500 -3.3669 0.1250 0.1852 0.5000 -2.2148 0.2500 0.3463 0.7500 -1.0388 0.3750 0.4593 1.0000 0.0337 0.5000 0.5000 1.2500 0.8946 0.4044 0.4547 1.5000 1.4702 0.3088 0.3508 1.7500 1.7337 0.2132 0.2259 2.0000 1.7117 0.1176 0.1176 2.2500 1.4847 0.0974 0.0549 2.5000 1.1809 0.0771 0.0309 2.7500 0.9625 0.0569 0.0300 3.0000 1.0063 0.0366 0.0366 3.2500 1.4796 0.0313 0.0380 3.5000 2.5136 0.0261 0.0334 3.7500 4.1787 0.0208 0.0252 4.0000 6.4666 0.0156 0.0156 4.2500 9.2847 0.0103 0.0068 4.5000 12.4715 0.0051 0.0011 4.7500 15.8418 -0.0002 0.0007 5.0000 19.2728 -0.0055 0.0080 -5., -.160, -.799e-2, -.799e-2 -4.75, 30.0, -.947e-2, -.932e-2 -4.50, -.304, -.109e-1, -.109e-1 -4.25, -3.70, -.133e-1, -.130e-1 -4., -.529, -.156e-1, -.156e-1 -3.75, -.194e-1, -.194e-1, -.188e-1 -3.50, -.894, -.232e-1, -.232e-1 -3.25, -1.38, -.299e-1, -.289e-1 -3., -1.52, -.366e-1, -.366e-1 -2.75, -1.90, -.495e-1, -.469e-1 -2.50, -2.67, -.624e-1, -.624e-1 -2.25, -3.68, -.900e-1, -.856e-1 -2., -4.94, -.118, -.118 -1.75, -6.81, -.183, -.164 -1.50, -9.76, -.247, -.247 -1.25, -14.1, -.374, -.379 -1., -19.6, -.500, -.500 -.750, -26.1, -.485, -.543 -.500, -33.3, -.471, -.471 -.250, -41.8, -.235, -.271 0., -52.9, 0., 0. .250, -69.0, .235, .271 .500, -93.3, .471, .471 .750, -129., .485, .543 1., -181., .500, .500 1.25, -252., .374, .379 1.50, -345., .247, .247 1.75, -464., .183, .164 2., -609., .118, .118 2.25, -782., .900e-1, .856e-1 2.50, -980., .624e-1, .624e-1 2.75, -.119e4, .495e-1, .469e-1 3., -.141e4, .366e-1, .366e-1 3.25, -.159e4, .299e-1,
