数学学科教师业务学习材料.doc

第一次2011.3.10地点：办公室初中数学常用的10种解题方法数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。教师钻研习题、精通解题方法，可以促进教师进一步熟练地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提高解题技巧，积累教学资料，提高业务水平和教学能力。下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a0）根的判别，=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。6、构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。7、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。8、面积法平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。第二次2011.3.20地点：办公室9、几何变换法在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。10、客观性题的解题方法选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。（1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。（2）验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法（也称代入法）。当遇到定量命题时，常用此法。（3）特殊元素法：用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。（4）排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。（5）图解法：借助于符合题设条件的图形或图像的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。（6）分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，称为分析法。第三次2011.4.8地点：办公室初中几何常见辅助线作法歌诀汇编人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。第四次2011.4.20地点：办公室中考数学常用公式和定理大全1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数如：3，0.231，0.737373，无限不环循小数叫做无理数如：，0.1010010001(两个1之间依次多1个0)有理数和无理数统称为实数2、绝对值：a0丨a丨a；a0丨a丨a如：丨丨；丨3.14丨3.143、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，04、把一个数写成±a×10n的形式(其中1a10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法如：407004.07×105，0.0000434.3×1055、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：(ab)(ab)a2b2(a±b)2a2±2abb2(ab)(a2abb2)a3b3(ab)(a2abb2)a3b3；a2b2(ab)22ab，(ab)2(ab)24ab6、幂的运算性质：am×anamnam÷anamn(am)namn(ab)nanbn()nnan，特别：()n()na01(a0)如：a3×a2a5，a6÷a2a4，(a3)2a6，(3a3)327a9，(3)1，52，()2()2，(3.14)º1，()017、二次根式：()2a(a0)，丨a丨，×，(a0，b0)如：(3)2456a0时，a的平方根4的平方根±2（平方根、立方根、算术平方根的概念）第五次2011.5.10地点：办公室8、一元二次方程：对于方程：ax2bxc0：求根公式是x，其中b24ac叫做根的判别式当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根注意：当0时，方程有实数根若方程有两个实数根x1和x2，并且二次三项式ax2bxc可分解为a(xx1)(xx2)以a和b为根的一元二次方程是x2(ab)xab09、一次函数ykxb(k0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截距)当k0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)；当k0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)特别：当b0时，ykx(k0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点10、反比例函数y(k0)的图象叫做双曲线当k0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；当k0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)因此，它的增减性与一次函数相反11、统计初步：（1）概念：所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数（2）公式：设有n个数x1，x2，xn，那么：平均数为：；极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值；方差：数据、, 的方差为，则=标准差：方差的算术平方根.数据、, 的标准差，则=一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。12、频率与概率：（1）频率=，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频率分布直方图中各个小长方形的面积为各组频率。（2）概率如果用P表示一个事件A发生的概率，则0P（A）1；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；第六次2011.5.24地点：办公室13、锐角三角函数：设A是RtABC的任一锐角，则A的正弦：sinA，A的余弦：cosA，A的正切：tanA并且sin2Acos2A10sinA1，0cosA1，tanA0A越大，A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小余角公式：sin(90ºA)cosA，cos(90ºA)sinAhl特殊角的三角函数值：sin30ºcos60º，sin45ºcos45º，sin60ºcos30º， tan30º，tan45º1，tan60º斜坡的坡度：i设坡角为，则itan14、平面直角坐标系中的有关知识：（1）对称性：若直角坐标系内一点P（a，b），则P关于x轴对称的点为P1（a，b），P关于y轴对称的点为P2（a，b），关于原点对称的点为P3（a，b）.（2）坐标平移：若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移h个单位，坐标变为P（ah，b），向右平移h个单位，坐标变为P（ah，b）；向上平移h个单位，坐标变为P（a，bh），向下平移h个单位，坐标变为P（a，bh）.如：点A（2，1）向上平移2个单位，再向右平移5个单位，则坐标变为A（7，1）.第七次2011.6.10地点：办公室15、二次函数的有关知识：1.定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0, )(,0)(,)()4.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：，顶点是，对称轴是直线. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。 若已知抛物线上两点（及y值相同），则对称轴方程可以表示为：9.抛物线中，的作用 （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. （2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：时，对称轴为轴；（即、同号）时，对称轴在轴左侧；（即、异号）时，对称轴在轴右侧. （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）： ，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .11.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.12.直线与抛物线的交点 （1）轴与抛物线得交点为(0, ). （2）抛物线与轴的交点 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点()抛物线与轴相交； 有一个交点（顶点在轴上）()抛物线与轴相切； 没有交点()抛物线与轴相离. （3）平行于轴的直线与抛物线的交点 同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. （4）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点. （5）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，则 第八次2011.6.21地点：办公室1、多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n2)180º（n3，n是正整数），外角和等于360º2、平行线分线段成比例定理：（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如图：abc，直线l1与l2分别与直线a、b、c相交与点A、B、CD、E、F，则有（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。如图：ABC中，DEBC，DE与AB、AC相交与点D、E，则有：3、直角三角形中的射影定理：如图：RtABC中，ACB90o，CDAB于D，则有：（1）（2）（3）4、圆的有关性质：（1）垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：经过圆心；垂直弦；平分弦；平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质注：具备，时，弦不能是直径（2）两条平行弦所夹的弧相等（3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数（4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（5）圆周角等于它所对的弧的度数的一半（6）同弧或等弧所对的圆周角相等（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等（8）90º的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90º，直径是最长的弦（9）圆内接四边形的对角互补5、三角形的内心与外心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心三角形的内心就是三内角角平分线的交点三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心三角形的外心就是三边中垂线的交点常见结论：（1）RtABC的三条边分别为：a、b、c（c为斜边），则它的内切圆的半径；（2）ABC的周长为，面积为S，其内切圆的半径为r，则6、弦切角定理及其推论：（1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：PAC为弦切角。OPBCA（2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。如果AC是O的弦，PA是O的切线，A为切点，则推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）如果AC是O的弦，PA是O的切线，A为切点，则7、相交弦定理、割线定理、切割线定理：相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图，即：PA·PB = PC·PD割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。如图，即：PA·PB = PC·PD切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图，即：PC2 = PA·PB8、面积公式：S正×(边长)2 S平行四边形底×高S菱形底×高×(对角线的积)，S圆R2l圆周长2R弧长LS圆柱侧底面周长×高2rh，S全面积S侧S底2rh2r2S圆锥侧×底面周长×母线rb， S全面积S侧S底rbr2中考数学几何公式、定理汇编1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理 三角形两边的和大于第三边16 推论 三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c247勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理 四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论 任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc；如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质 如果ab=cd,那么(a±b)b=(c±d)d85 (3)等比性质 如果ab=cd=mn(b+d+n0),那么(a+c+m)(b+d+n)=ab86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111推论1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角121直线L和O相交 dr直线L和O相切 d=r直线L和O相离 dr122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上135两圆外离 dR+r 两圆外切 d=R+r两圆相交 R-rdR+r(Rr)两圆内切 d=R-r(Rr) 两圆内含dR-r(Rr)136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137定理 把圆分成n(n3):依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°n140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141正n边形的面积Sn=pnrn2 p表示正n边形的周长142正三角形面积3a4 a表示边长143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°n=360°化为（n-2）(k-2)=4144弧长计算公式：L=n兀R180145扇形面积公式：S扇形=n兀R2360=LR2146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)代数公式、定理汇编：第一章 有理数及其运算1 自然数及其运算11 自然数零的符号是“0”，它表示没有数量或进位制上的空位除0之外，任何自然数都是由若干个“1”组成的，“1”是数个数的单位，称作自然数的单位自然数的全体：0，1，2，3，4，n，叫做自然数的集合，简称自然数集能被2整除的数叫做偶数;不能被2整除的数叫做奇数12 自然数的运算1 加法: 求和的运算叫做加法2 减法: 减法是加法的逆运算3 乘法: 同一个自然数的连加运算，就叫做乘法4 除法: 除法是乘法的逆运算，零不能做除数13 自然数的运算性质用字母表示任一个自然数，来说明对于任何自然数的运算普遍成立的运算规律和运算特征即它们的共同性质，并简称为运算通性或运算律1 加法交换律:a+b=b+a2 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)3 乘法交换律:a?b=b?a4 乘法对加法的分配律:(a+b)?c=a?c+b?c5 加法结合律:(a?b)?c=a?(b?c)6 自然数0和1的运算特征14 乘法运算及指数运算律求同一个数得连乘运算，叫做乘方运算an中，a叫做底数，自然数n叫做指数，乘方的结果an叫做幂(读作“a的n次幂”或“a的n次方”)零的n次方总等于零，1的n次方总等于1同底数幂相乘，底数不变，只是指数相加指数运算律(一)同底数幂相乘，指数相加，底数不变，即am?an=a(m+n)，指数运算律(二)乘积的幂，等于各因数的幂的乘积，即(a?b)n=an?bn指数运算律(三)幂的乘方，指数相乘，底数不变，即(am)n=a(mn)指数运算律(四)同底数幂相除，指数相减，底数不变，即am/an=a(m-n)其中m>n，a!=0两个同底数(不为0)、同指数的幂相