初中函数概念的几点思考.doc

关于初中函数教学的几点思考常州市翠竹中学 康爱琴 常州市翠竹新村128# 13961185521摘要：函数是初中数学中一个比较重要的内容，学生函数知识掌握的好坏，对整个初中数学知识的掌握有着极大的影响。本文从了解常量、变量，变量间的联系，深化函数概念的手段三个方面探讨了初中函数的教学。力争通过函数的教学，学生能了解事物的变化趋向及其运动的规律。同时能够培养学生的辩证唯物主义观点从而进一步提高学生解决实际问题的能力，养成良好的数学学习习惯。关键词：常量，变量，内在联系，函数概念函数概念是中学数学一个重要的基本概念，标志着常量数学向变量数学的迈进，其核心的意义是反映出了在某一个变化过程中，两个变量之间的依赖关系，即一个量随另一个量的变化而变化，因此，原本静止的数的概念之间便产生了一种动感的联系，例如，我们生活中熟悉的行程问题中路程、时间和速度的“一定两变”规律。而多年的教学实践发现，一部分学生往往就是这一部分知识学不好，其根本原因是把函数知识与以前所学的知识划上了不应有的界限，没有很好地把感性认识上升为理性认识。根据多年的教学经验总结，我认为学生要更好地掌握函数知识，可从以下几个方面着手。一、深入了解常量、变量1、常量的客观存在常量在现实生活中，随处可见，生活的每一个角落，社会的各个领域都有常量的身影例如：“三角形的内角和为中的180，“任意多边形的外角和为中的360，“圆周率”，“匀速运动”中的速度等以上所提到的都是常量。2、变量的普遍存在例如：“多边形的内角和”，“工人的日生产的零件个数”，“在某次数学测试中学生的成绩”，“一天中的气温”等等，这些量与我们前面提到的常量有区别，区别在哪里，让学生首先揭示出这些量的本质特征，从而给出变量的概念。并要求学生举出生活中的变量的例子，使学生认识到现实生活中变量存在的普遍性，指出研究变量的必要性，提出研究变量的任务，即探索变量间的关系。二、正确寻找函数关系-变量间的联系 1、挖掘变量间的内在联系通过引导学生考察以下一些变化过程中两个变量的联系，并分析比较，最后回答问题。序号变化过程变量X变量Y1某次测试某小组的成绩学生的编号从1到51至8号学生对应的成绩为80、75、88、80、902以30千米时匀速运动的汽车汽车运动的时间为x小时x小时内汽车所运动的路程为Y千米3多边形的内角和多边形的边数为xx边形的内角和为Y度4求正弦值x的正弦值为Y5求平方根x是非负实数x的平方根为Y6解绝对值方程x是实数绝对值等于x的数是Y通过观察思考，分析比较，回答以下问题问题1：每个变化过程中有几个变量，每个变化过程中变量间有无联系。答：每个变化过程中都有两个变量两个变量间都用一定的方式联系起来了。问题2：变化过程1、2、3、4、5与变化过程6有什么区别。答：变化1、23、4、5中变量x取一值时，变量都有值与的值对应，而变化过程6中变量取负数时变量就没有值与对应。问题3：变化过程1、2、3、4与变化过程5又有什么区别。答：变化过程1、2、3、4中对取值时，有且只有一个值与X对应，而变化过程5中，当取正数时，有两个值与对应。 2、充分理解函数概念的内涵变量间的联系引发了函数概念的产生。这种联系的产生反过来又要求考虑函数与其自变量间究竟存在怎样的关系，即所谓的对应。在教学中，针对每个问题都应引导学生考虑自变量是谁，函数是谁，它们之间存在怎样的关系，为正确理解函数解析式概念做好铺垫。函数表现出两个变量之间的相互依存关系，一个变量会随着另一个变量的变化而发生变化，两者处于相互牵制、共同变化发展的秩序之中，看似静止的数的概念之间存在着运动的联系。在初中函数教学中，教师应带领学生在学习函数基础知识以及解题过程中，培育学生们树立相互联系、运动发展的数学理念，在动态的思维模式中掌握函数知识的基本要领。两个变量间的相互影响关系，对于刚刚接触函数知识的学生来说不太容易理解。初中函数教师可以根据“一个量随另一个量的变化而变化”这一关系，让学生结合熟悉的数学知识以及日常生活实际来举例，比如“汽车的汽油消耗量随着行车路程的变化而变化”，或者“圆形的面积随着半径长的变化而变化”等等。这样，便使学生更迅速地理解自变量与变量的定义，并能在活跃的思维环境中锻炼分析、解决问题的能力。函数中的变量关系，与数学知识体系中的很多领域都存在着融会贯通的关系，比如求路程问题“路程=速度*时间”等，体现出函数的重要性。学习函数知识，实际上也打开了更多数学领域的视角。另外，函数同其他学科的联系也十分紧密，是解决实际问题的重要工具。初中数学教师可以利用函数的广泛联系性，在广征博引中激发学生的学习热情，从而达到真正的教学实效。寻找函数关系一方面是训练学生的思维能力，更主要的是帮助学生更深刻地认识函数的三要素。如路程、速度和时间的关系是，圆的面积和半径的关系是，物品的总价和单价间的关系是y=ax。在以上关系中可以说明： 表示自变量和函数的字母不影响问题的实质； 对应关系可以是一次式，也可以是二次式或其他形式； t和v可取任何非负数，自变量的取值除了受代数式有意义的制约还要受实际背景条件的制约； 在关系式和y=ax中，如果抛开它们所涉及的具体问题，从纯数学角度来考虑，完全是同一关系用不同的字母表示而已。从而进一步理解字母表示数的作用。关系式（0）中的字母代表的是一个量或系数，他们分别可以是一个字母，也可以是一个复杂的代数式。当然系数是一个常量。此关系式中于成正比例关系。一学生往往不能透彻理解这种关系，就会在这样的问题中屡屡犯错。如：与成反比例关系，且当时，则与的函数关系式是 。在这样的问题中，很多学生就会填。所以在新授函数课的时候，要真正理解函数概念和公式中的内涵很重要。那么怎样才能让学生更深入地理解函数概念呢？我总结了以下几种方法。三、深化函数概念的重要手段 1、数形结合数学知识范畴中存在着“数”与“形”两个基础概念，数量关系与空间图形往往有机结合在一起，相互映衬相互解释，这便是“数形结合”的思想。在初中函数中，函数变量关系与绘制图像同样密切联系起来，变量关系中彰显出隐含的图像信息，图像之中也能反映出函数的变量关系。在解答函数题目时，往往需要结合绘制图像，在较为直观的图形中把握函数关系，为分析、解答提供了一个方便的视角。初中数学教师在教授函数知识时，若能充分利用“数形结合”观念，将会更好地引导学生们探索、归纳函数基本要义，开拓解题思路。在初中函数的教学实践中，教师利用图像、坐标来阐明变量关系，将“数”与“形”两者灵活转化，使学生理解函数变量与图像的对应联系，从而更好地理解初中函数知识。“数形结合”是数学知识体系中的一个重要思想，可广泛应用于数学领域中的解题环节，以便于在数量关系与图形的转化中深入发掘数学的直观性与细微性，从而提高学生分析问题的敏锐性与解题效率。教师教学中应充分认识到函数概念在初中数学教学中的重要作用时刻注意函数概念的渗透。其实从数轴上的点与实数的对应关系开始，就蕴含了函数的概念。而在学习函数概念后，这种表现的明朗化是将函数与方程的解、不等式的解紧密联系在一起。可以说七年级学习的实数绝对值的意义、八年级学习一元一次不等式解集的几何表示对于研究函数的图象及其性质起着重要的奠基作用。函数关系可用“形”这一特殊方法来表现，一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是一条抛物线，其变化的趋势有升也有降，反比例函数的图象是双曲线，它可以无限接近轴，也可以无限接近轴。数缺形时少直观，形少数时难入微。“形”的引入不仅给研究函数问题带来了直观上的感受，更重要的是深化了学生最直接的理性认识。需要注意的是，在初中阶段对函数概念的学习不能要求过高，根据新大纲要求，学生能把图象和解析式结合在一起即可，即一见到图象就能够想到解析式和性质，反之，见到解析式就能够想到图象及图象所处的位置。2、发挥教材功能教材本身的主导思想是引导学生从生活中的某一个变化过程里两个存在特殊关系的变量中提炼出函数的概念，留绐师生很大的运作空间。几个例题中，例一试图用生活中熟悉的“摩天轮”引出生活中的数学，接着在例二中寻找具体的对应关系，例二让学生体会“唯一对应”的函数值，最后给出总结性的概念。设计思路非常明确，就是要让学生通过教师导引探索某些变化过程中存在的特殊的数学规律并加以概括、精练成数学概念。这正是新教材以学生发展为本的重要特殊性点，也代表了今后数学教学发展的时代要求。所以教学重、难点就是是如何引导，如何启发学生完成这一过程。而突破难点的关键在于教师的适时点拨，使学生在思维上有收有放，即教师要设法自始至终的抓住学生，精心设计问题并配置生动的情景画面，还要大胆地在教材的使用上进行创新，不但对结构进行调整、还要对例题进行深挖、展开探索，以便实现学生感知概念并形成概念的过程。3、渗透模型思想仅仅了解函数的定义，并不能很好地理解函数。理解函数一个重要方法，就是在头脑中留住一批具体函数的模型。在初中阶段，学生应掌握的基本函数模型如何让学生把这些模型留在头脑中，并能帮助思考问题呢？首先，应该把函数概念的整体理解与每一个具体的模型有机地结合起来。我们在对每一个具体函数模型教学的过程中，可以通过这些函数的解析式、函数图像、变量与变量之间的依赖关系来理解函数概念。 最后，帮助学生养成一种习惯，借助于具体的模型，思考抽象问题。在数学思维中，无论讨论什么样抽象的问题，脑子都不能空，需要有具体模型的支持，这样才能使抽象的问题变得简洁。4、分类讨论思想 分类讨论思想是如果某些问题涉及的数学定义、法则、公式、性质等都是分类给出的，或是问题的结论有多种情况存在，那么解答这些问题首先将对象按本质属性分类，然后逐类求解。 分类讨论思想解题的一般步骤： 1）确定讨论对象 2）合理进行分类 3）主类讨论解答 4）恰当归纳结论 例：如果一次函数ykx+b的自变量x的取值范围是3x6，相应函数值的范围是5y2，求此函数的解析式？ 分析提示：对k的符号分两种情况讨论，k0和k0，当k0时，y随x的增大而增大，即x=3，y5；x=6，y2。 当k0时，y随x的增大而减小，即x=3，y2，x=6，y5。5、与现实生活相结合 我们的生活离不开函数。函数与每个人都息息相关，从日常生活选取学生熟悉的实际问题是渗透函数思想方法的重要途径。近几年的各地中考经常出现类似下面的题目：例1  一个父亲，母亲，叔叔和个孩子组成的家庭去某地旅游，甲旅行社的收费标准是：如果买4张全票，则其余人按半价优惠；乙旅行社的收费标准是：家庭旅游算团体票，按原价的3/4优惠，这2家旅行社的原价均为100元/人，试比较随孩子人数的变化，哪家旅行社的收费额更优惠？ 解：甲旅行社的收费总额为：乙旅行社的收费总额为：后面的解法有两种：方法一、数形结合：画出两个函数的图像。由图像判断可知：当孩子数5时，乙旅行社的收费优惠；当孩子数=5时，两旅行社收费相同；当孩子数5时，甲旅行社的收费优惠。方法二、在学习了不等式以后，可以用直接列不等式的方法解决这类问题，用这种方法的关键的引导学生理解那家旅行社的收费额更优惠，就是指那家收费比另一家的收费少。6、重要方法-待定系数法在函数这部分内容中，还体现了一些基本的数学方法，如配方法、公式法、待定系数法等，其中待定系数法在确定各种函数解析式中有着重要的意义，不论是正、反比例函数，还是一次函数、二次函数，确定解析式时都离不开用待定系数法。在用待定系数法求函数的解析式时，需要启发学生注意以下两点：1）明确求函数解析式的一般步骤：（1）写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；（2）把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。（3）解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式。2）在设定解析式时，要注意不同类型的函数其待定系数的个数是不同的，因而所需要的独立条件的个数是不一样的。如正比例函数y = kx和反比例函数，分别只有一个未知的系数，因此只需要一个独立的已知条件来建立方程，一次函数y = kx+b中有两个未知的系数，因此需要两个独立的已知条件来建立方程组，而二次函数的形式丰富多样，有一般式、顶点式，甚至有的还可以借助两根式来设定,在一般式中还有几种特殊式，因此要根据具体情况来设定。3）用待定系数法求函数解析式，给出的独立条件常有以下几种方式： （1）已知函数解析式中两个变量的一对对应值；如：在一次函数y = kx+b中当x=1时，y=-3，当x=-1时，y=5，求这个一次函数的解析式。（2） 已知函数图象经过的点坐标；如：已知二次函数图象经过A(2,-4),B(0,2), C(-1,2)三点，求这个二次函数的解析式。（3） 直接给出函数的图像以及图像上的部分点的坐标；如：函数的图像如图所示,分别求出它们的解析式；（4）在二次函数中，结合抛物线顶点坐标公式的特点。如：已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式。总之，函数的学习能使学生懂得一切事物都是在不断变化、而且是相互联系与相互制约的,从而了解事物的变化趋向及其运动的规律。对于培养学生的辩证唯物主义观点、解决实际问题的能力是一个有力工具。在初中数学新课程教学过程中，我们应该强调基本知识、基本技能和基本能力，我们还应该强调整体地理解函数在初中数学课程中的地位和作用，才能更好地把握每一部分内容，才能提高教学的效率，并帮助学生学会整体地理解函数，不断地梳理头脑中的知识网络，养成良好的数学学习习惯。