【数学】14导数在实际生活中的应用课件（苏教版选修2-2）.pptx
第1章 导数及其应用1.4 导数在实际生活中的应用一、一、知识回顾知识回顾：1 1、求函数最值的常用方法：、求函数最值的常用方法：(1)(1)利用函数的单调性利用函数的单调性; ;(2)(2)利用函数的图象利用函数的图象; ;(3)(3)利用函数的导数利用函数的导数2 2、用导数求函数、用导数求函数f(x)f(x)的最值的步骤的最值的步骤: : (1) (1)求求f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内极值内极值 (2) (2)将将y=f(x)y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)f(a)、 f(b)f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值一个为最小值二、新课引入二、新课引入: : 导数在实际生活中有着广泛的应用导数在实际生活中有着广泛的应用, ,利用利用导数求最值的方法导数求最值的方法, ,可以求出实际生活中的某可以求出实际生活中的某些最值问题些最值问题. .1.1.几何方面的应用几何方面的应用2.2.物理方面的应用物理方面的应用 3.3.经济学方面的应用经济学方面的应用( (面积和体积等的最值面积和体积等的最值) )( (利润方面最值利润方面最值) )( (功和功率等最值功和功率等最值) )例例1 1 ：在边长为在边长为60 cm60 cm的正方形铁片的四角切去相的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起等的正方形，再把它的边沿虚线折起( (如图如图) )，做，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？箱底的容积最大？最大容积是多少？xx6060 xx三、新课讲授三、新课讲授1.1.几何方面的应用：几何方面的应用： 因此，因此，1600016000是最大值。是最大值。答：当答：当x=40cmx=40cm时，箱子容积最大，最大容积是时，箱子容积最大，最大容积是16000cm16000cm3 3 . .23( )602xV xx解：设箱底边长为解：设箱底边长为x xcmcm，则箱高，则箱高 cmcm，得箱子容积得箱子容积602xh(060)x23260( )2xxV xx h令令 ，解得解得 x=0 x=0（舍去），（舍去），x=40 x=40，23( )6002xV xx并求得：并求得：V(40)=16000V(40)=16000 060,40040, 0 xvx；xvx时当时当解：解：设圆柱的高为设圆柱的高为h h，底半径为，底半径为R R，则则表面积表面积例例2 2：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？2VhRS=2Rh+2RS=2Rh+2R2 2由由V=RV=R2 2h h，得得 ，则，则2222( )222VVS RRRRRR22( )40VS RRR 令令32VR解得，解得， ，从而，从而答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省3322342()2VVVVhRV即即: : h=2Rh=2R因为因为S(R)S(R)只有一个极值，所以它是最小值只有一个极值，所以它是最小值及时训练及时训练1、把长为、把长为60cm的铁丝围成矩形，长、宽各为多的铁丝围成矩形，长、宽各为多少时矩形的面积最大？少时矩形的面积最大？ 方法一方法一S=x(30-x)=-x2+30 x,是是x的二次函数当的二次函数当x=15时，时，S最大最大 答：长、宽都为答：长、宽都为15cm时，矩形的面积最大时，矩形的面积最大解：设长为解：设长为xcm,则宽为则宽为30-xcm，0X30方法二方法二S=x(30-x)=225，等号成立等号成立x=30-x=15 答：长、宽都为答：长、宽都为15cm时，矩形的面积最大时，矩形的面积最大230()2xx方法三方法三S= x(30-x)=-x2+30 x,S=-2x+30,0X0,S(x)；x15时时S0,S(x)；当当x=15时，时，S极大，在定极大，在定义域内无其他极值，故义域内无其他极值，故S最大最大 答：长、宽都为答：长、宽都为15cm时，矩形的面时，矩形的面积最大积最大说明1：解应用题一般有四个要点步骤：设-列-解-答 说明2：用导数法求函数的最值，与求函数极值方法类似，加一步与几个极值及端点值比较即可。 三、新课讲授三、新课讲授2.2.物理方面的应用：物理方面的应用：例3 在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r，电动势为，外电阻为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少?rR解：电功率PI2R，其中IE/(R+r)为电流强度，则PE/(Rr)2R= E2R/(Rr) 2由P0，解得：R=r列表分析列表分析，当R=r时，P取得极大值，且是最大值。最大值为PE2/(4r)答：当外电阻R等于内电阻r时，电功率最大，最大电功率是E2/(4r)2222243()()() ()()()ER R rER R rE r RPR rR r例4:强度分别为a,b的两个光源A,B的距离为d,试问:在连接两光源的线段AB上,何处照度最小?试就a=8,b=1,d=3时回答上述问题.(照度与光的强度成正比,与光源距离的平方成反比);8,22xkxka即APBx3-x解:如图如图,设点设点p在线段在线段AB上上,且且P距光源距光源A为为x,则则P距光源距光源B为为3-x(0 x3).P点受点受A光源的照度为光源的照度为,3,322xkxkbBP即光源的照度为点受（其中，（其中，k为比例为比例常数）常数） .303822xxkxkxI，P点的总照度为从而 03126218321633233xxxxxkxkxkxI由解得x=2,故当0 x2时， . 0)(,32; 0 xIxxI时当因此，x=2时，I取得极小值，且是最小值。答：在连结两光源的线段AB上，距光源A为2处的照度最小。2. 如图：质点P在半径为10cm的圆上逆时针做匀速圆周运动，角速度为2rad/s,设A（10，0）为起始点，时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度.PyXAMoN角的弧度数角的弧度数为为_2t( )(10sin 2 )20cos2V ttt分析：求M点位移的变化率。及时训练及时训练例5 在经济学中，生产在经济学中，生产x x单位产品的成本称为成单位产品的成本称为成本函数，记为本函数，记为C(x);C(x);出售出售x x单位产品的收益称为收单位产品的收益称为收益函数，记为益函数，记为R(x); R(x)- C(x)R(x); R(x)- C(x)称为利润函数，称为利润函数，记为记为P(x).P(x).（1 1）设）设C(x)=10C(x)=10-6-6x x3 3-0.003x-0.003x2 2+5x+1000+5x+1000，生产多，生产多少单位产品时，边际成本少单位产品时，边际成本C C(x) (x) 最低最低? ?（2 2）设）设C(x)=50 x+10000C(x)=50 x+10000，产品的单价，产品的单价p p =100-=100-0.01x0.01x，怎样定价可使利润最大？，怎样定价可使利润最大？三、新课讲授三、新课讲授3.3.经济学中的应用：经济学中的应用：3. 某产品制造过程中，次品数y依赖于日产量x，其函数关系为y=3x/(100-x) (x96)；又该产品售出一件可以盈利a元，但出一件次品就损失a/3元为获取该产品的最大利润，日产量应为多少？解：设利润为P（x）,则P（x）=y(-a/3)+a(x-y)即：33( )()1003100 xaxP xaxxx由：( ) 0P x 得：80 x 或120 x（舍去）列表分析列表分析得：当日产量为80时，能获得该产品的最大利润。及时训练及时训练四、课堂小结四、课堂小结用导数求函数用导数求函数f(x)f(x)的最值的步骤的最值的步骤: : (2) (2)将将y=f(x)y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)f(a)、 f(b)f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值一个为最小值 (1) (1)求求f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内极值内极值; ;( (极大值或极小值极大值或极小值) )；注意：注意：若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内只有一个极大内只有一个极大值值( (或极小值或极小值) )，则该极大值，则该极大值( (或极小值或极小值) )即为函数即为函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内的最大值内的最大值( (或最小值或最小值) )实际应用问题实际应用问题审 题（设设）分析、联想、抽象、转化分析、联想、抽象、转化构建数学模型构建数学模型数学化 （列列）寻找解题思路（解解）解答数学问题解答数学问题还原 （答答）解答应用题的基本流程解答应用题的基本流程
