选修4-5不等式选讲.doc

第一节绝对值不等式考纲要求：1.理解绝对值不等式的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|ab|a|b|；(2)|ab|ac|cb|.2会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.1绝对值不等式的解法(1)|axb|c(c>0)和|axb|c(c>0)型不等式的解法|axb|ccaxbc.|axb|caxbc或axbc.(2)|xa|xb|c(c>0)和|xa|xb|c(c>0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想2绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)若|x|c的解集为R，则c0.()(2)不等式|x1|x2|<2的解集为.()(3)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()(4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立()(5)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()答案：(1)×(2)(3)×(4)×(5)2若关于x的不等式|xa|<1的解集为(1,3)，则实数a的值为_解析：由|xa|1，则1xa1，a1<xa1，a2.答案：23设不等式|x1|x2|>k的解集为R，则实数k的取值范围为_解析：|x1|x2|3，3|x1|x2|3，k(|x1|x2|)的最小值，即k3.答案：(，3)4f(x)|2x|x1|的最小值为_解析：|2x|x1|2xx1|1, f(x)min1.答案：15若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|的最大值为_解析：|x2y1|(x1)2(y2)2|x1|2|y2|25.答案：5典题1(2015·新课标全国卷)已知函数f(x)|x1|2|xa|，a>0.(1)当a1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围听前试做(1)当a1时，f(x)>1化为|x1|2|x1|1>0.当x1时，不等式化为x4>0，无解；当1<x<1时，不等式化为3x2>0，解得<x<1；当x1时，不等式化为x2>0，解得1x<2.所以f(x)>1的解集为.(2)由题设可得f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，)含绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对a(0，)，|x|<aa<x<a，|x|>ax<a或x>a.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号(3)零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解(2016贵阳模拟)已知函数f(x)|2x1|2x3|.(1)求不等式f(x)6的解集；(2)若关于x的不等式f(x)<|a1|的解集非空，求实数a的取值范围解：(1)不等式f(x)6，即|2x1|2x3|6，或或解得1x，解得x，解得<x2，即不等式的解集为1,2(2)f(x)|2x1|2x3|(2x1)(2x3)|4，即f(x)的最小值等于4，|a1|>4，解此不等式得a<3或a>5.故实数a的取值范围为(，3)(5，)典题2设不等式2|x1|x2|0的解集为M，a，bM.(1)证明：；(2)比较|14ab|与2|ab|的大小，并说明理由听前试做(1)证明：记f(x)|x1|x2|由22x10，解得x，则M.所以|a|b|××.(2)由(1)得a2，b2.因为|14ab|24|ab|2(18ab16a2b2)4(a22abb2)(4a21)(4b21)0，所以|14ab|24|ab|2，故|14ab|2|ab|.证明绝对值不等式的三种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明(2)利用三角不等式|a|b|a±b|a|b|进行证明(3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明已知x，yR，且|xy|，|xy|，求证：|x5y|1.证明：|x5y|3(xy)2(xy)|.由绝对值不等式的性质，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|3×2×1.即|x5y|1.典题3设函数f(x)|xa|(a>0)(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围听前试做(1)证明：由a>0，有f(x)|xa|a2.当且仅当“a1”时等号成立所以f(x)2.(2)f(3)|3a|.当a>3时，f(3)a，由f(3)<5得3<a<.当0a3时，f(3)6a，由f(3)<5得<a3.综上，a的取值范围是.解决含参数的绝对值不等式问题，常将参数分类讨论，将原问题转化为分段函数问题进行解决已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>1，且当x时，f(x)g(x)，求 a的取值范围解：(1)当a2时，不等式f(x)<g(x)化为|2x1|2x2|x3<0.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图象如图所示从图象可知，当且仅当x(0,2)时，y<0.所以原不等式的解集是(0,2)(2)当x时，f(x)1a.不等式f(x)g(x)化为1ax3.所以xa2对x都成立故a2，即a.从而a的取值范围是.课堂归纳感悟提升方法技巧1|axb|c，|axb|c(c>0)型不等式的解法(1)若c0，则|axb|c等价于caxbc，|axb|c等价于axbc或axbc，然后根据a，b的值解出即可(2)若c0，则|axb|c的解集为，|axb|c的解集为R.2|xa|xb|c(或c)(c0)，|xa|xb|c(或c)(c0)型不等式的解法(1)可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解零点分区间法的一般步骤：令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集(2)利用绝对值的几何意义由于|xa|xb|与|xa|xb|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|xa|xb|c(c0)或|xa|xb|c(c0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观3|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)(g(x)0)型不等式的解法(1)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(2)|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)易错防范在分类讨论含多个绝对值的不等式时，分类应做到不重不漏；在某个区间上解出不等式后，不要忘了与前提条件求交集1(2016·沈阳模拟)设函数f(x)|2x1|x4|.(1)解不等式f(x)>0；(2)若f(x)3|x4|>m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围解：(1)当x4时，f(x)2x1(x4)x5>0，得x>5，所以x4.当x4时，f(x)2x1x43x3>0，得x>1，所以1<x<4.当x<时，f(x)x5>0，得x<5，所以x<5.综上，原不等式的解集为(，5)(1，)(2)f(x)3|x4|2x1|2|x4|2x1(2x8)|9，当x4时等号成立，所以m<9，即m的取值范围为(，9)2(2016·南宁模拟)已知函数f(x)|xa|.(1)若f(x)m的解集为1,5，求实数a，m的值；(2)当a2且0t2时，解关于x的不等式f(x)tf(x2)解：(1)|xa|m，maxma.ma1，ma5，a2，m3.(2)f(x)tf(x2)可化为|x2|t|x|.当x(，0)时，2xtx,2t0，0t2，x(，0)；当x0,2)时，2xtx，x1，0x1，112，0t2时，0x1，t2时，0x2；当x2，)时，x2tx，t2，当0t2时，无解，当t2时，x2，)，当0t2时原不等式的解集为；当t2时xR.3(2016·辽宁联考)已知函数f(x)log2(|x1|x2|m)(1)当m7时，求函数f(x)的定义域；(2)若关于x的不等式f(x)2的解集是R，求m的取值范围解：(1)由题设知：|x1|x2|>7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集；或或解得函数f(x)的定义域为(，3)(4，)(2)不等式f(x)2，即|x1|x2|m4，xR时，恒有|x1|x2|(x1)(x2)|3，不等式|x1|x2|m4的解集是R，m43，m的取值范围是(，14(2016·九江模拟)已知函数f(x)|x3|xa|.(1)当a2时，解不等式f(x)；(2)若存在实数a，使得不等式f(x)a成立，求实数a的取值范围解：(1)a2，f(x)|x3|x2|f(x)等价于或或解得x3或x3，不等式的解集为.(2)由不等式性质可知f(x)|x3|xa|(x3)(xa)|a3|，若存在实数x，使得不等式f(x)a成立，则|a3|a，解得a，实数a的取值范围是.5(2016·兰州模拟)已知函数f(x)|2xa|a.(1)若不等式f(x)6的解集为2,3，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)mf(n)成立，求实数m的取值范围解：(1)由|2xa|a6得|2xa|6a，a62xa6a，即a3x3，a32，a1.(2)由(1)知f(x)|2x1|1，令(n)f(n)f(n)，则(n)|2n1|2n1|2(n)的最小值为4，故实数m的取值范围是4，)6(2016·郑州模拟)已知函数f(x)|3x2|.(1)解不等式f(x)<4|x1|；(2)已知mn1(m，n>0)，若|xa|f(x)(a>0)恒成立，求实数a的取值范围解：(1)不等式f(x)<4|x1|，即|3x2|x1|<4.当x<时，即3x2x1<4，解得<x<；当x1时，即3x2x1<4，解得x；当x>1时，即3x2x1<4，无解综上所述，x.(2)(mn)114，令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|x时，g(x)maxa，要使不等式恒成立，只需g(x)maxa4，即0<a.故实数a的取值范围为.第二节不等式证明的基本方法考纲要求：1.了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明(1)柯西不等式的向量形式：|·|·|.(2)(a2b2)(c2d2)(acbd)2.(3) (通常称为平面三角不等式)2会用向量递归方法讨论排序不等式3了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题4会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1x)n>1nx(x>1，x0，n为大于1的正整数)，了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立5会用上述不等式证明一些简单问题能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值6了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法1比较法作差比较法与作商比较法的基本原理：(1)作差法：ab>0a>b.(2)作商法：>1a>b(a>0，b>0)2综合法与分析法(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过推理论证而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立这是一种执果索因的思考和证明方法3反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法4放缩法证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法5数学归纳法数学归纳法证明不等式的一般步骤：(1)证明当nn0时命题成立；(2)假设当nk(kN*，且kn0)时命题成立，证明nk1时命题也成立综合(1)(2)可知，结论对于任意nn0，且n0，nN*都成立6柯西不等式设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，等号当且仅当adbc时成立1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时假设为“a，b，c全不为0”()(2)若实数x、y适合不等式xy>1，xy>2，则x>0，y>0.()答案：(1)×(2)2若ma2b，nab21，则m与n的大小关系为_解析：nmab21a2bb22b1(b1)20，nm.答案：nm典题1(2015·新课标全国卷)设a，b，c，d均为正数，且abcd.证明：(1)若ab>cd，则>；(2)>是|ab|<|cd|的充要条件听前试做(1)因为()2ab2，()2cd2，由题设abcd，ab>cd，得()2>()2.因此>.(2)必要性：若|ab|<|cd|，则(ab)2<(cd)2，即(ab)24ab<(cd)24cd.因为abcd，所以ab>cd.由(1)，得>.充分性：若>，则()2>()2，即ab2>cd2.因为abcd，所以ab>cd.于是(ab)2(ab)24ab<(cd)24cd(cd)2.因此|ab|<|cd|.综上，>是|ab|cd|的充要条件作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负设a，b是非负实数，求证：a3b3(a2b2)证明：由a，b是非负实数，作差得a3b3(a2b2)a2()b2()()()5()5)当ab时， ，从而()5()5，得()()5()5)0；当a<b时，<，从而()5<()5，得()()5()5)>0.所以a3b3(a2b2)典题2若a>0，b>0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由听前试做(1)由，得ab2，当且仅当ab时等号成立故a3b324，当且仅当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a3b24.由于4>6，从而不存在a，b，使得2a3b6.综合法证明不等式的技巧综合法证明不等式，主要从目标式的结构特征探索思路如果这种特征不足以明确解题方法时，就应从目标式开始，通过“倒推”探索解题思路已知a，b，c均为正数，且abc1，求证：9.解：(abc)·3··3·9当且仅当abc时等号成立 典题3(2015·陕西高考)已知关于x的不等式|xa|b的解集为x|2x4(1)求实数a，b的值；(2)求的最大值听前试做(1)由|xa|b，得baxba，则解得(2)· 24，当且仅当，即t1时等号成立，故()max4.柯西不等式的常见类型及解题策略(1)求表达式的最值依据已知条件，利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件；(2)求解析式的值利用柯西不等式的条件，注意等号成立的条件，进而求得各个量的值，从而求出解析式的值；(3)证明不等式注意所证不等式的结构特征，寻找柯西不等式的条件，然后证明已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23.解：(1)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当1x2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)证明：由(1)知pqr3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2q2r2)(121212)(p×1q×1r×1)2(pqr)29，即p2q2r23.课堂归纳感悟提升方法技巧证明不等式的方法和技巧(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据易错防范比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差变形判断差的符号下结论其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号个别题目也可用柯西不等式来证明1在ABC中，内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，证明：(1)abc2；(2)9.证明：(1)因为a，b，c为正实数，由基本(均值)不等式可得3，即，所以abcabc，而abc22，所以abc2.当且仅当abc时取等号(2)3，所以9，当且仅当ABC时取等号2(2016·云南模拟)已知a是常数，对任意实数x，不等式|x1|2x|a|x1|2x|都成立(1)求a的值；(2)设m>n>0，求证：2m2na.解：(1)设f(x)|x1|2x|，则f(x)f(x)的最大值为3.对任意实数x，|x1|2x|a都成立，即f(x)a，a3.设h(x)|x1|2x|则h(x)的最小值为3.对任意实数x，|x1|2x|a都成立，即h(x)a，a3.a3.(2)由(1)知a3.2m2n(mn)(mn)，且m>n>0，(mn)(mn)33，2m2na.3设函数f(x)|x4|x3|，f(x)的最小值为m.(1)求m的值；(2)当a2b3cm(a，b，cR)时，求a2b2c2的最小值解：(1)法一：f(x)|x4|x3|(x4)(x3)|1，故函数f(x)的最小值为1，即m1.法二：f(x)当x4时，f(x)1；当x<3时，f(x)>1；当3x4时，f(x)1，故函数f(x)的最小值为1，即m1.(2)(a2b2c2)(122232)(a2b3c)21，故a2b2c2，当且仅当a，b，c时取等号故a2b2c2的最小值为.4设a，b，c均为正数，且abc1.证明：(1) abbcac；(2) 1.证明：(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.5(2016·长春质检)(1)已知a，b都是正数，且ab，求证：a3b3>a2bab2；(2)已知a，b，c都是正数，求证：abc.证明：(1)(a3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2.因为a，b都是正数，所以ab>0.又因为ab，所以(ab)2>0.于是(ab)(ab)2>0，即(a3b3)(a2bab2)>0，所以a3b3>a2bab2.(2)因为b2c22bc，a2>0，所以a2(b2c2)2a2bc.同理，b2(a2c2)2ab2c.c2(a2b2)2abc2.相加得2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2，从而a2b2b2c2c2a2abc(abc)由a，b，c都是正数，得abc>0，因此abc.6设a，b，c为正数且abc1，求证：222.证明：22c2(121212)2221×1×b1×2121(abc)2×(19)2.即原不等式成立