北师大版八年级数学上册第1章勾股定理培优试题.docx

第一章 勾股定理专题一 有关勾股定理的折叠问题1. 如图，将边长为8的正方形折叠，使点D落在边的中点E处，点A落在F处，折痕为，那么线段长是A3B4C5D62. 如图，是正方形两对边中点的连线段，将A沿折叠，使它的顶点A落在上的G点，求的度数3 中，90°，有一个圆心角为45°，半径长等于的扇形绕点C旋转，直线、分别及直线交于点M、N1如图，当时，将沿折叠，点A落在弧的中点P处，再将沿折叠，点B也恰好落在点P处，此时，的形状是等腰直角三角形线段、之间的数量关系是；2如图，当扇形绕点C在内部旋转时，线段、之间的数量关系是222试证明你的猜测；3当扇形绕点C旋转至图的位置时，线段、之间的数量关系是222不要求证明 专题二 勾股定理的证明4在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用四个完全一样的直角三角形拼图的方式验证了勾股定理的正确性问题1：以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，探究S+ S及S的关系如图1问题2：以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，探究S及S的关系如图2问题3：以直角三角形的三边为直径向外作半圆，探究S+ S及S的关系如图35. 如图，是用硬纸板做成的两种直角三角形各有假设干个，图 中两直角边长分别为a和b，斜边长为c；图中两直角边长为c请你动脑，将它们拼成能够证明勾股定理的图形1请你画出一种图形，并验证勾股定理2你非常聪明，能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的图形无需证明答案：1A 【解析】设 ，那么8. 由折叠的性质知8，而4 ，在中，由勾股定理可知222，即82=162，整理得1648，所以3应选A2解：，30°90°，90°，30°2180°，75°3解：1根据折叠的性质知：，. 90°，.故是等腰直角三角形，222或2222.证明:如图,将沿折叠，得，连，那么，.同理可知，而45°，45°，90°，222，故2223222；解法同24解：探究1：由等边三角形的性质知：S2，S2，2，那么S+ S=a22.因为a222，所以S+ S探究2：由等腰直角三角形的性质知：S2，S2，2那么S=a22.因为a222，所以S探究3：由圆的面积计算公式知：S=a2，S=b2，c2那么S+ S=a22，因为a222，所以S+ S5解：1如下图，根据正方形的面积可得2=4×2，即a2222如下图专题 判断三角形形状1. a，b，c为的三边，且满足a2c22c244，那么它的形状为A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形2. 在中，22，22，2，且mn0，1你能判断的最长边吗？请说明理由；2是什么三角形，请通过计算的方法说明3. 张教师在一次“探究性学习课中，设计了如下数表：n2345a22-132-142-152-1b46810c22+132+142+152+11 请你分别观察a、b、c及n之间的关系，并用含自然数n n1的代数式表示a，b，c2猜测：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜测答案：1D 【解析】 a2c22c244，a2c22c2-a44=0，c2-a22=0，c222=0，0，0或c222=0，所以或c222，即它是等腰三角形或直角三角形应选D2解：1a是最长边，其理由是：m22-m22=2n20，m22-220，ab，ac，a是最长边.2是直角三角形，其理由是：b22=m222+22=m2222，是直角三角形3解：1由图表可以得出：2时，22-1，2×2，22+1；3时，32-1，2×3，32+1；4时，42-1，2×4，42+1.2-1，2n，2+12以a、b、c为边的三角形是直角三角形.a22=n2-12+4n24+2n2+1，c2=n2+124+2n2+1，a222，以a、b、c为边的三角形是直角三角形专题 最短路径的探究1. 编制一个底面周长为a、高为b的圆柱形花柱架，需用沿圆柱外表绕织一周的竹条假设干根，如图中的A1C1B1，A2C2B2，那么每一根这样的竹条的长度最少是.2. 请阅读以下材料：问题：如图1，一圆柱的底面半径和高均为5，是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱外表爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的线段.如以下图2所示：设路线1的长度为，那么；比拟两个正数的大小，有时用它们的平方来比拟更方便哦！路线2：高线 + 底面直径，如上图1所示，设路线2的长度为，那么. 所以要选择路线2较短。1小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1，高为5继续按前面的方式进展计算.请你帮小明完成下面的计算：路线1：；路线2： , ( 填>或<).所以应选择路线(填1或2)较短.(2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱外表爬行到C点的路线最短.3. 探究活动:有一圆柱形食品盒，它的高等于8，底面直径为，蚂蚁爬行的速度为2.1如果在盒内下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含根号2如果在盒外下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计答案：1. 【解析】 底面周长为a、高为b的圆柱的侧面展开图为矩形,它的边长分别为，所以对角线长为，所以每一根这样的竹条的长度最少是.2.解：125+2 49 12l122222+r2，l22=2=2r2，l12222+r2-2r2244h2-44h.r恒大于0，只需看后面的式子即可当时，l1222；当r时，l12l22；当r时，l12l223.解：1如图，÷2=9，4，那么蚂蚁走过的最短路径为：，所以÷2=s，即至少需要s 2如图，作B关于的对称点D，连接，交于点P，连接，那么蚂蚁走的最短路程是，由图可知，9，8+4=12所以15，15÷2=7.5s即至少需要s